視頻標簽：兩個原理應用,湖北省黃岡中學

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻《兩個原理應用》湖北省黃岡中學

教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻《兩個原理應用》湖北省黃岡

《兩個原理的應用》教學設計
湖北省黃岡中學  徐永杰
1、教學內容解析
“兩個原理的應用”是選修2-3第一章“計數原理”的內容。計數原理是高中數學中獨立性較強的一部分，但與實際生活聯系緊密，是現實生活中處理計數問題的基本思想方法，貫穿于排列、組合、二項展開式乃至概率等應用問題的始終。因此，本章的學習應該以理解、掌握與應用兩個原理為主線。對于實際問題不能只會套用模型、結論解題，應引導學生運用兩個原理分析問題，逐步提升學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養。
本節課是計數原理、排列組合基礎知識講授完后安排的一節綜合習題課。重點講授運用兩個原理解決排列組合綜合問題。教學圍繞我校學生生活故事“選課走班，安排課表”展開。通過故事中的三個問題情境（由易到難，層層遞進）引導學生從學習生活中抽象出數學模型，運用兩個原理解決實際問題。學生在小組討論、方法分享、錯解展示、錯因分析、思維碰撞、教師點評中掌握原理的應用方法，反思錯解成因。
2、學生情況分析
   本班是實驗班，學生普遍基礎較好，有一定的自學能力、邏輯推理能力及運算能力，思維活躍。學生對于排列問題中的特殊元素優先考慮法、捆綁法、插空法、倍縮法和組合問題中的均勻分組、分組分配等基本方法、模型已經熟知。但是，稍復雜的排列組合綜合問題對學生的邏輯思維能力要求較高，一般都無固定模型、方法可模仿套用，需要綜合應用兩個原理才能解決。
由于學生的思維靈活性和嚴密性差距大，所以一道綜合題的解答方法包括錯解常常是五花八門 ,有些錯解迷惑性較大，讓人難以發現錯因。通過問卷調查和課后訪談發現許多學生常感到老師的方法與自己的所想有距離、難以理解，接受起來生硬不自如，甚至出現“一聽就懂 ,一做就錯”的現象。因此，提高學生的解題興趣、增加學生的思維寬度，引導學生展示錯解思維過程、分析錯因是本節課要突出的重難點。
3、教學目標設置
依據課程標準，結合學生的認知水平，確定本節課的教學目標如下：
（1）經歷對問題情境“選課走班，排課程表”的探究，掌握解決實際問題中的分類、分步方法，學會確定分類標準，認識典型錯誤成因，養成邏輯思維嚴密的習慣，體會數學知識在生活中的廣泛應用。
（2）通過獨立思考、多角度的合作交流、成果展示、相互啟發等活動充分展示思維過程、實現思維碰撞，提高思維寬度，激發學習興趣，提振自信心，培養良好的個性品質及團隊合作意識。
4、教學重點難點
重點：靈活應用兩個原理，運用數學語言交流表達思維過程。
突出重點方法：通過設置情境“安排學科教室”、“排課程表”等引導學生通過獨立思考、交流討論、展示成果、歸納總結得到運用分步乘法計數原理解題時注意步驟完整，步步相依；運用分類加法計數原理解題時注意標準確定，不重不漏。
難點：正確應用兩個原理，對運用兩個原理解題時產生的錯解進行錯因分析。
突破難點手段：從學生認知水平來看，學生的邏輯思維能力和運用數學語言交流的能力還有待提高。從知識本身特點來看，兩個原理的應用題抽象、復雜，思考方式、解題方法多樣。但無論哪種方法都要求學生能夠充分理解兩個原理，結合實際情況恰當的分類、分步。我通過學生身邊的故事“選課走班、排課程表”等抓住學生情感和思維的興奮點，激發他們的探究興趣。鼓勵他們大膽嘗試、積極探索、勇于展示，通過討論一題多解、錯解糾正、總結點評得到準確分類、合理分步的方法。
5、 教學策略分析
（1）運用生成性教學理論做指導，通過創設情境將數學知識、實際生活進行有機融合，以故事的發生、發展推動知識和方法的生成，使得知識的形成水到渠成。
（2）教學過程采取學生獨立思考、相互討論、成果展示，教師點評、引導分析、討論錯解的方式突破難點，對于分類討論“標準確定”理解不夠深刻的同學，可以通過其他同學的辨析、教師的點評對分類討論“從一而終”有更深刻的認識。
（3）在“最近發展區”設問，引導學生自己去發現問題，提出有價值的方法，驅動知識、方法生成。
（4）動態生成策略：捕捉學生的精彩回答并總結升華，鼓勵課堂爭論和思想碰撞，對學生課堂的意外生成提前預設，機智回應。如排課表問題，學生一般都會想到用間接法，但是運用間接法解題很容易因分類討論重復、遺漏現象而出錯。所以，我課前用樹形圖把所有反面情況表示出來（提前預設）。面對學生的“意外”生成首先通過追問、暗示等先引導學生反思，再從容的幫助學生糾錯。
6、教學過程設計
  播放我校宣傳片“選課走班”節選
【設計意圖】以我校教學新常態下出現的“選課走班，排課程表”問題為明線引入本節課的主題——研究計數原理在排列組合綜合問題中的應用。通過學生的學習生活變化設置問題情境，提升學生的探究熱情。
（一）兩個原理直接應用
【情境一】選課走班問題
大家好，我叫小文。新學年開始了，學校開設了很多選修課，每門開設一個班，每周一節課。我想選修一門信息技術或藝術課，有多少種選擇呢？如果我高二上學期想選語文類，下學期想選數學，高二學年一共有多少種選課方案呢？

科目	課程類型
數學	數學建模，數學文化，微積分
語文	古詩選讀，蘇軾在黃州，議論文寫作，中國小說欣賞
藝術	書法，民樂，管弦樂，合唱，話劇，拉丁舞，戲曲表演，播音與 主持，營養與廚藝，中國畫，陶藝，造型基礎
通用技術	網絡技術應用，微電影拍攝制作，動漫，Flash動畫設計，汽車技術，智能機器人，3D打印，

問題1：學校部分選修課設置如上圖
（1）小文想選修一門通用技術或藝術課，有多少種選擇
（2）若小文上學期想選語文類，下學期想選數學，本學年一共有多少種選課方案（學生口答）
（1）；（分類加法計數原理）（2）（分步乘法計數原理）
師：問題（1）、（2）的解答分別用到了什么樣的計數原理？
【設計意圖】通過小文選課的情境引發的兩個簡單問題引入本節課的主題“兩個原理的應用”。本問題情境以動畫形式呈現，引發學生的探究興趣。
（二）兩個原理初步應用
 【情境二】安排教室問題
     學校為了更好的實行選課走班的教學模式，打造了一批學科教室，計劃將語文和數學選修課安排在教學樓凝暉樓5樓的空教室，該怎么安排呢？
問題2：（3）將語文4節和數學3節選修課安排在6間不同的教室上，要求有兩門數學課共用一間教室，其余的每門課程各占一間教室，一共有多少種安排方法？
解：
【設計意圖】通引導學生過對例題的分析和解答得到運用分步乘法計數原理解決排列組合問題時要做到步驟完整，步步相依。
（三）兩個原理綜合應用
【情境三】排課程表問題
    由于學習需要，語文和數學的7節選修課安排在周二上，上午4節課，下午3節課。和小文一起來計算滿足特殊要求的排課方案數。
問題3：（1）若數學建模和數學文化必須連堂上，有多少種方案？
（2）若古詩選讀和議論文寫作不能連堂上，有多少種方案？
（3）若古詩選讀不排在第四節課，數學建模和微積分均不排在第1節課和最后一節課，有多少種方案？（小組討論）
（1）方法一：以數學建模和數學文化第1,2；2,3；3,4；5,6；6,7節上為分類標準，每種情況由分步計數原理都可得方案數是，總方案數是
方法二：以數學建模和數學文化在4,5節課和不在4,5節課（相鄰）分類運用間接法，總方案數是
【設計意圖】引導學生初步體會運用兩個原理解決綜合問題時一般先分類后分步，分類標準不同可能會導致解法不同，分類應根據實際情況從特殊元素、特殊位置入手，學會運用樹形圖展示思維過程。
（2）方法一：（間接法）以古詩選讀和議論文寫作連堂或不連堂分兩類。
方法二：以古詩選讀和議論文寫作同在上午、同在下午、一個上午一個下午三種情況分三類，古詩選讀和議論文寫作同在上午又分在兩節課在1,3；2,4；1,4節三類。，
方法三：以古詩選讀和議論文寫作在第4,5節課和不在4,5節課（節數互不相鄰）為分類標準。
【設計意圖】改變問題（1）的條件得到問題（2），引導學生一題多解，拓寬思維寬度。學生通過解題、討論進一步體會到運用兩個原理解決綜合問題時分類標準的確定至關重要，標準不同會導致問題解答時的方法和簡繁程度不同。
（3）方法一：從古詩選讀排在或不排在第1、7節課分類：
①古詩選讀排在第1節課或第7節課；
古詩選讀有2種站法，數學建模和微積分可以排中間的5個位置，有種站法，其余的剩余4個位置，有種排法，此時有種不同排法，
②古詩選讀排不在第1節課也不排在第7節課；
古詩選讀有4種排法，中間還有4個位置可以排數學建模和微積分，有種排法，其余課排剩下4個位置，有種排法，此時一共有種排法，
。
方法二：以數學建模和微積分均不排在第1節課和第7節課為大前提，以古詩選讀排或不排在第四節課為分類標準：
方法三：以古詩選讀為分類標準討論，運用間接法。它的反面請況可以用樹形圖表示成如下圖所示：



錯誤解法剖析：學生課堂展示錯解思維過程，教師組織全班同學討論、糾錯。
【設計意圖】問題（3）相對問題（2）難度更進一步，問題中“不”字連續出現多次，學生很容易想到從反面考慮，但是從反面考慮很容易出現分類討論重復、遺漏的情況，通過師生合作、畫樹形圖的方法找到常見錯誤解答的不嚴謹之處和錯因，提高學生邏輯思維的嚴謹性。
（四）課堂總結反思
 師：大家說說這節課學到了什么？
    分類和分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，解決實際問題往往需要步與類交叉使用、有機結合。我們要抓住問題的本質特征，準確合理的進行分類與分步。分類必須做到標準確定，不重不漏；分步必須做到步驟完整，步步相依。具體解題方法可以用以下順口溜表達：
審明題意，排組分清；合理分類，用準加乘；周密思考，防漏防重；
直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真偽。
【設計意圖】師生共同總結、反思運用兩個原理解決排列組合綜合問題的分類、分步方法，回顧、體驗數學知識在實際生活中的應用。
7、課堂教學反思
本節課以“選課走班”為線索，引導學生由易到難探索兩個原理在實際問題中的應用。學生通過一題多解、一題多變層層深入的探究問題，總結出運用分步乘法計數原理時要注意步驟完整，步步相依；運用分類加法計數原理時要注意標準確定，不重不漏。
課堂教學中引導學生從不同的思維角度解決排課表中的三個問題，學會運用分類討論思想方法解決計數問題，體會只有優先考慮特殊元素和位置，分類標準從一而終才可以防止重、漏現象的發生。學生通過課堂探究、討論既鞏固了知識，又形成了數學抽象、邏輯推理等核心素養，還體會到數學和生活的緊密相連，體驗到探究的樂趣，獲得了滿足感和成功感，這正是本節課的目的所在。此外，民主和諧的課堂氛圍幫助學生養成了自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質。
    但本節課也存在著一些缺陷。由于追求方法的自然生成、課堂學生的思維展示以及教學故事情境的連貫性，本節課以思想、方法的探究為主，導致題型講解不全面，學生的訓練落實還不是很到位。例如課前準備的“多面手問題”沒有探究，這些將留在課外讓學生進一步研討。
 

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