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視頻標簽：向量數乘運算,幾何意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《向量數乘運算及其幾何意義》湖北省潛江
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《向量數乘運算及其幾何意義》湖北省潛江
§2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義
湖北省潛江中學 楊金鎖 高二
【內容和內容解析】
本節在完成對向量加減法運算學習的基礎上引入向量的數乘運算。其知識的內涵就是向量數乘運算的概念，及其運算律的揭示，同時在此基礎上與其幾何意義相聯系來共同揭示此節知識的本質。讓學生真正領會數乘運算的意義、運算律，向量共線定理。
【目標和目標解析】
(1) 在經歷了特殊情況下的向量變化后，理解向量數乘運算及其幾何意義。
(2) 通過比較的體驗，發現并掌握向量數乘的運算律。
(3) 在合作探究的基礎上，理解掌握向量共線定理及其證明過程，并會根據向量共線定理判斷兩個向量是否共線。
(4)讓學生領會數形結合的思想，掌握從特殊到一般的方法，培養學生的觀察、分析、歸納、抽象思維能力，以及運算能力和邏輯推理能力。
【教學問題診斷分析】
學生在理解數乘運算的幾何意義時可能會出現障礙，其原因是學生已經習慣了數的運算法則，他們難以區別數的運算法則與數乘運算規律，同時他們對共線與平行的位置關系的理解，也給向量共線定理的探究設置了一定的障礙，因此數乘運算的幾何意義的理解以及向量共線定理的探究及其應用就成了教學的難點。
【教學支持條件分析】
運用多媒體輔助教學。通過幾何畫板，flash等演示，揭示規律。
【教學過程設計】
一、課題引入
類比數的乘法，從相同向量的連加引入向量數乘運算，由探究引入：已知非零向量
，作出++和（
）+（）+（）。
問題一：相同向量相加后，和的長度與方向有什么變化？如何表示？
二、向量數乘運算的定義及其幾何意義
一般地，我們規定實數
與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作
，它的長度與方向規定如下：
（1）
（2）當
時，的方向與的方向相同；
當
時，的方向與的方向相反；
當
時，
。
三、類比探索，發現規律
1.向量數乘運算律
問題二：根據定義，求作向量
和
，并比較它們的關系。
結合律（1）
分配律（2）
（3）
例5 計算
（1）
；
（2）
；
（3）
.
我們把向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。
對于任意的向量，
以及任意實數
1，
2恒有
2.向量共線定理
問題三：引入向量數乘運算后，你能發現數乘向量與原向量之間的位置關系嗎？
已知（
）與，實數。
①若
，則由向量數乘的定義知，與共線。
②若，共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即
當與同向時，有
；
當與反向時，有
。
定理：向量（）與共線，當且僅當有唯一一個實數，使
四、應用舉例
例6 如圖，已知任意兩個非零向量、，試作
，
，
。你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？
分析：判斷三點之間的位置關系，主要是看這三點是否共線。由于兩點確定一條直線，如果能夠判斷第三點在這條直線上，那么就可以判斷這三點共線。本題中，應用向量知識判斷A、B、C三點是否共線，可以通過判斷向量
、
是否共線，即是否存在，使
成立。
例7 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且
，
，你能用、表示
、
、
和
嗎？
分析：引導學生運用向量加、減法、平行四邊形法則。指出用向量表示幾何元素是用向量方法證明幾何問題的重要步驟。
五、歸納總結
（1）回憶整理向量數乘運算的定義，幾何意義，運算律。
（2）理解兩向量共線定理及其證明，總結判斷三點共線的方法。
定義
實數與向量的積————實數與向量的積滿足的運算律
向量與非零向量共線的充要條件
【目標檢測設計】
一，隨堂練習 P90 4、看學生能否對向量的共線作出準確快速的判斷。
5．看學生對向量數乘運算的運算律能否正確使用，解決問題。
二，課后作業
1：課本習題2.2A組第9、12、13。
鞏固當天所學知識，達到熟練掌握的目的。
2（選做）：B組第3、4、5題
鍛煉思維，提高能力。
附：選手簡介
楊金鎖，女，生于1982年10月。2004年畢業于湖北師范學院數學系本科，畢業后到潛江中學工作自今。現為中教二級。
在工作的5年多時間里先后獲得校級，市級教學比武一等獎。多次獲先進個人，優秀競賽輔導員等獎勵。
視頻來源：優質課網 www.www.fsyixinda.com
