視頻標簽：用二分法求,方程的近似解

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視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《用二分法求方程的近似解》十堰

教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《用二分法求方程的近似解》十堰

用二分法求方程的近似解教學設計
十堰市東風高級中學  高會琴
一、概述
本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學1必修本（人教A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本節課要求學生根據具體的函數圖象能夠借助計算機或信息技術工具計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數與方程之間的聯系；它既是本冊書中的重點內容，又是對函數知識的拓展，既體現了函數在解方程中的重要應用，同時又為高中數學中函數與方程思想、數形結合思想、二分法的算法思想打下了基礎，因此決定了它的重要地位．
二、教學目標：
1.知識與技能：
  理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法。
2.過程與方法：
   通過價格競猜體會二分法的思想；
通過學生的自主探究，借助計算器用二分法求方程的近似解，體現逼近思想，為學習算法做準備；
體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法。
3.情感、態度與價值觀            
在具體的問題情境中感受無限逼近的過程，感受精確與近似的相對統一
三、教學重點：運用二分法求方程的近似解。
四、教學難點：用二分法求方程的近似解的步驟的歸納
五、教學過程：
（一）情境導入：（猜價格）
書的價格在0—80元之間，每次猜后，學生會給出多了還是少了的提示，當誤差不超過2元時算猜中。
問題1：給出多了還是少了的提示有什么作用？
生：縮小價格范圍
問題2：誤差不超過2元，怎么理解？
生：價格多或少2元都算猜中
問題3：參賽者應當如何猜才能最快猜出正確的價格？
生：每次取價格的中點進行猜想。
那么，在誤差允許的范圍內，要找某個特定值的近似解，可以通過取特定值所在范圍的中點的方法逐步縮小其范圍，從而取得近似解。
（二）求方程的近似解
問題1：解方程lnx+2x-6=0,若不能求出，能否解出上述方程的近似解？
回顧舊知
1、求lnx+2x-6=0的根，可以轉化為求函數y=lnx+2x-6的零點
2、課本第88頁例1：求函數y=lnx+2x-6的零點個數。
那么我們試著用剛才猜價格的方法來求一下函數的零點或近似解。
類比剛才的實際問題有如下關系（PPT展示）
有了這樣的關系后，我們來看：
3、已知精確度ε=0.1，求方程lnx+2x-6=0的近似值?
學生簡述上述求函數零點近似值的過程。
4、通過這種方法,是否可以得到精確度為0.01的近似值?
第一步：取區間(2，3)的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084.因為 f(2.5)·f(3)＜0，所以零點在區間(2.5，3)內.                                        
第二步：取區間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得f (2.75)≈0.512. 因為
f(2.5)·f (2.75)＜0，所以零點在區間(2.5，2.75)內. 
　結論:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零點所在的范圍確實越來越小了.如果重復上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小(見下表和圖)

因為|2.5390625-2.53125|< 0.01在區間（2.53125,2.5390625）內任何點的值與精確值的誤差都不超過0.01，所以區間內任何值以及區間端點的值都可表示此函數零點的近似解，所以此函數零點的近似解為x=2.53125
5、揭示二分法的定義。
上述求函數零點近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
6、師生共同探索二分法求方程近似解的步驟：
問題一：求函數f(x)零點近似值第一步應做什么？
問題二：為了縮小零點所在區間的范圍，接下來做什么？
問題三：f(c)=0說明什么？若f(a).f(c)<0說明什么？
若f(b).f(c)<0說明什么？
用二分法求函數零點近似值的基本步驟：
確定區間[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，給定精度ε；
2. 求區間(a,b)的中點c
3. 計算f(c)：
（1）若f(c)=0，則c就是函數的零點；
（2）若f(a)·f(c)<0 ，則令b=c，此時零點x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，則令a=c，此時零點x0∈(c,b).
4. 判斷是否達到精確度ε：若 |a-b|<ε，則得到零點近似值a（或b）；
否則重復步驟 2～4．
例題剖析
例1：利用計算器，用二分法求方程2＋3x＝7的近似解（精確度0.1）
分析思考:原方程的近似解和哪個函數的零點是等價的?
解:原方程即2＋3x＝7 ,令f（x）＝2＋3x －7,用計算器作出函數                                  的對應值表與圖象（如下):

x	0	1	2	3	4	5	6	7
f(x)=2x+3x-7	-6	-2	3	10	21	40	75	142

 

觀察上圖和表格,可知f(1)·f(2)<0,說明在區間(1,2)內有零點x0.取區間(1,2)的中點x1=1.5,用計算器可得f(1.5)≈0.33.因為f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中點x2=1.25,用計算器求得
f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5),
x0∈(1.375,1.4375),
由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精確度為0.1的近似解為1.4375.
（多媒體）練習：
1.下列函數圖像與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是(       )
 

三、課堂小結
師：通過本節課的學習，你學習了哪些知識與方法？你有哪些收獲？
 （生總結，并可以互相交流討論，師投影顯示本課重點知識）
四、布置作業與思考
第92頁習題3.1A組3、4、5
 

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