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視頻標簽：三角函數模型,簡單應用
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學必修四第一章三角函數模型的簡單應用-四川省 - 成都
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數學建模活動
——三角函數模型的簡單應用
一、內容和內容解析
1.教學內容
三角函數既是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點，是進一步學習數學和其他自然學科的基礎，是研究現代科學技術必不可少的工具．
本節課學習的內容是在學習了“函數模型及其應用”以及“三角函數的圖像與性質”的基礎上的一個新增內容，主要以舉例的方式說明三角函數模型的應用方法，為學生以后學習回歸分析做好方法上的鋪墊．
教材安排本節內容的課程目標是要讓學生感受到三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯系，以使學生體會三角函數的價值和作用，增強應用意識，同時還要使學生加深理解有關知識．在安排內容時，強調數學的人文價值，突出現代信息技術與數學課程的整合．特別注意了數學應用過程的完整性，加強了對問題情境和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個環節．這樣做可以保持數學應用中的數學思維水平，提高學生對數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想方法的認知層次，提升學生的直觀想象、數學建模、數學運算等數學核心素養和培養學生良好的解題習慣．
因此基于對教材內容和本節課程目標的分析與理解，本節課教學設計問題1選擇大致成周期變化的成都月平均氣溫問題，考察已知函數模型的求解和簡單應用；問題2背景為綠色環保的四川水力能源問題，考察函數模型的建立、求解和簡單應用．這樣的處理既尊重教材，又尊重學生實際，選擇貼近學生生活的成都城市發展作為文化背景和環保主題，也為了提升學生的文化素養，發揮數學學科德育育人功能．
2.教學重點
本節課的重點是：從實際問題分析、理解、整合信息，從中發現周期變化的規律，抽象出數學關系建立三角函數模型，并使用三角函數模型解決實際問題．
二、目標和目標解析
本節課的教學目標是：
1.能夠運用已知三角函數函數模型解決實際問題，能夠將具有周期變化規律的實際問題抽象為三角函數模型，并會用三角函數模型解決一些實際問題；
2.經歷由實際問題選擇、建立、求解數學模型，經歷解決實際問題的數學建模過程，體驗實際問題的特征與函數模型的關聯，體驗三角函數與日常生活的聯系，體驗三角函數模型的功能與價值，提升數學知識的應用意識．
為此選擇一類問題：解決實際生活中形如sin()yAxb的三角函數的應用問題作為本節課的教學內容，希望學生在探究問題的活動體驗中獲得對三角函數模型簡單應用的深入理解．這類問題的內涵十分豐富：（1）通過觀察圖象認識事物的形態變化的規律，構建恰當的函數模型，探索解決問題的思路，重點培養學生數形結合的數學思想和直觀想象的核心素養；（2）通過建立三角函數模型解決實際問題，繼續培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，重點培養學生轉化與化歸的數學思想和數學建模的核心素養；（3）通過有效選擇運算方式解決實際問題，培養學生程序化思考問題的品質，重點培養學生函數與方程的數學思想和數學運算的核心素養．
三、教學問題診斷分析
1.學情分析
學生已經學習了分段函數、指數函數、對數函數、冪函數等基本函數模型，也學習了函數模型應用的基本步驟與方法．經歷過收集數據，觀察散點圖，選擇函數模型，求解函數模型，檢驗，運用函數模型解
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釋、檢驗實際問題的數學建模過程，使用過Excel、Geogebra軟件等信息技術輔助學習，體會到了數形結合、函數與方程等數學思想，在數學知識與方法、數學實驗操作上都具備一定的基礎．同時，學生在學習了三角函數和其他學科知識后，了解到三角函數與天文、物理、地理等學科中周期變化現象是有密切聯系的．
要達成本節課的教學目標，需要學生能敏銳地發現實際問題中的三角函數模型背景，合理地分析理解數據，掌握完整的數學建模的步驟．但學生對建立和應用函數模型往往還停留在求解層面上，實際問題中的數學背景、意義，以及其中蘊含的數學思想、方法、素養的理解并不深刻．當面對利用三角函數解決具有周期變化規律的實際問題中的陌生背景、復雜數據處理等，學生會有畏難情緒和思維障礙；尤其是理解問題的實際背景、分析問題的復雜條件，建立和求解數學模型，檢驗模型的實際意義，利用模型最終分析和解決問題等環節都可能遇到一定的困難．導致實際問題的解決不能順利完整的完成．同時，本節課對學生的信息技術輔助數學探究性學習要求較高，特別是運用互聯網+平板電腦操作Excel、Geogebra等數學軟件，可能會遇到網絡傳輸不流暢，反應較慢，操作不熟練等因素的影響．
因此，需要教師引導學生分析實際問題，回顧已有的處理實際問題的知識與方法，甚至在課前熟悉互聯網+平板電腦操作Excel、Geogebra等數學軟件；學生采用自主探究和小組合作交流的學習模式，完善解決方案，梳理解題思路．
本節課的授課對象為成都市第十二中學理科實驗班（信息技術智慧課堂班）的學生，數學基礎扎實，思維較活躍，教師運用Excel、Geogebra、幾何畫板軟件輔助教學較多，學生平板電腦信息技術輔助學習較為熟練，具有豐富的探究活動經驗，但在抽象概括能力和語言的規范表達上還有待進一步提升．
2.教學難點
本節課的難點是：分析、整理、提取和利用信息，將實際問題抽象轉化成三角函數模型，并解決實際問題．
突破難點的策略是：在教學時，引導學生重視分析實際問題，整理、提取和利用關鍵信息，抓住實際問題的重要數據，善于提煉和處理數據，發現數據的內在規律，尋找數量之間的關系；同時借助散點圖，引導學生從“形”的特征發現各個量之間的關系以及變化規律，進而建立實際問題的函數模型；最后注意指導學生根據問題的實際意義對問題的解進行分析，做出合理的解釋，最終達成突破難點的目的．
四、教學支持條件分析
1.教學策略分析
基于對教學內容、教學目標的分析和學情分析，本節課采用如下的教學策略：
（1）數學文化為引線：以四川成都實際生活和綠色環保的發展理念的學生生活背景為引入，激發學生的學習興趣，培養學生的文化素養，數學文化育人．
（2）核心問題探究為主線：運用核心問題探究，子問題串的設置層層遞進．問題1（宜人的氣候環境）感受實際生活中呈周期變化的三角函數問題，運用三角函數模型求解實際問題；問題2（充足清潔的水電能源）自主分析實際問題，建立三角函數模型并解決實際問題，加深對三角函數與實際生活的關聯體驗，掌握數學建模完整的步驟與方法，熟練運用信息技術輔助學習，體會數學思想，提高數學素養．
教學中采用我校全國規劃課題、省級重點課題研究成果——核心問題教學模式：提出問題——解決問題——反思歸納——運用檢測。以核心問題“三角函數模型的簡單應用”為主要引領，圍繞子問題串（問題1和問題2解決核心問題．學生通過獨立探究活動、小組討論修正、全班展示交流，展示探究方法和思維活動，教師通過交流追問、課堂評價，達成核心問題的解決：回顧舊知（三角函數模型的求解），啟迪方法（數學建模的完整步驟和輔助工具），突破難點（將實際問題抽象轉化成三角函數模型），突出重點（建立、使用三角函數模型解決問題）．然后全班反思核心問題和子問題串的解決，歸納本節課的數學新知識、數學方法和數學思想等，最后進行運用反饋，檢測學習目標和進行點檢測．
學生通過自主探究，合作交流的方式掌握知識，體會思想．在分析問題時注意針對全體學生的主體認知水平，理清關鍵詞、句子的數學關系，幫助學生順利地建立問題特征與數學建模的關聯；在學生活動階段針對學生具體的完成情況進行指導，點評．通過課堂反饋及時進行糾正、鼓勵、總結，并對學生目標檢
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測的完成情況進行收集，整理，分析，完成《四川大學附屬中學體驗性目標點檢測表》，在課后再進行指導．
2.媒體分析
黑板：板書教學流程及重要要點．
多媒體投影：顯示教學環節，快速及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結果；暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞．
平板電腦、Geogebra軟件、Excel軟件：繪制散點圖，擬合三角函數圖象，擬合求解函數解析式，幫助學生對比、驗證自己所求函數的正確性；借助軟件的計算功能，快速準確地解決問題，體會借助現代信息技術解決問題的便利性．
五、教學過程設計
教學 環節
教學過程
學生活動
教師活動與評價
設計意圖
一、提出問題 2018年1月28日，全球化與世界級城市研究小組與網絡（GAWC）公布2018年世界城市體系排名，全球共有361個城市入選．其中成都以第98名的排名，連續第三次成為繼“北上廣深”之后的“中國大陸第五城”． 恰逢在2017年12月通過的《成都市城市總體規劃（2016—2035年）（送審稿）》中，成都市也明確提出今后的城市定位：四川省省會，國家中心城市，國
際門戶樞紐城市，世界文化名城．
下面讓我們一起走進美麗的成都．
成都為什么能取得如此矚目的成就呢？ 其中有兩個重要的原因：一是宜人的氣候環境；二是充足清潔的水電能源． 了解本節課的人文背景：成
都的發展現狀；
觀看圖片演示，體會成都優美的自然、人文環境，激發學生對家鄉的自豪感和學習興趣． 大致講解成都現階段的發展成就，展示成都城市成就圖片．創設情境，引出本節課核心問題．
通過展示成都的發展成就圖片，激發學生的學習興趣和求知欲．從學生的經驗和已有知識出發，通過密切聯系學生的實際和生活環境，創設生動有趣、有助于學生自主學習、合作交流的問題情境，讓學生感受到生活需要數學．
二、解
決
問
題 一、宜人的氣候環境
成都位于四川盆地的西部，河川縱橫，群山環繞．屬于亞熱帶季風性濕潤氣候．四季分明，
夏季高溫多雨，冬季溫和濕潤． 問題1 如圖，據成都氣象局多年統計資料顯示，成都市從1月初到7月初的月平均氣溫近似滿
足函數：sin()yAxb．
問題1（1）、（2）
學生獨立思考，自主探究．
巡視指導，對不同的解決方法進行觀察、點評． 以與學生生活密切相關的氣候問題為引入，
讓學生初步感受實際生活中的三角函數問題，讓學生通過觀察曲線的幾何特征，結合三角函數的圖象
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0,0,π<0A
（1）寫出這段曲線的函數解析式；
（2）根據求解出的函數解析式，預測成都全年月平均氣溫低于10℃的是哪些月份？ 解：
（1）π2π
10sin()1563
yx
,1,7x；
（2）1、2、12月．
與性質的知識、
方法，獨立解決問題．
借助函數圖象的形態變化分析數學問題，建立數與形的聯系求解函數模型．
滲透數形結合的數學思想，培養直觀想象的核心素養．
問題1（1）
（預設一）學生通過觀察圖象特征，結合三角函數的圖形與性質，運用已經掌握的方法，求解得出函數解析式：
π2π
10sin()1563
yx；
（預設二）學生通過仔細審題，發現問題要求是“寫出這段曲線的函數解析式”，所以需要對函數定義域加以補充：
π2π
10sin()15
63
yx,1,7x.
追問1：如何根據函數
sin()yAxb
的部分圖象求解特征量：A、b、、？ 追問2：同學們所求解出來的函數解析式是否完整？
復習回顧由圖象求三角函數解析式的基本
方法．
發展學生思維的嚴密性，培養學生良好的解題習慣．
問題1（2）
（預設一）學生利用已經解得的函數解析式，演算求解出結果：1、2、12月．
（預設二）學生利用信息技術（Geogebra等軟件）快速求解結果，驗證演算結果的正確性．
點評：利用已得函數解析式，將實際問題轉化為數學問題并求解，體現了很好的轉化與化歸的數學思想．
點評：使用已經學習過的信息技術是解決問題的另一種手段．并
通過解決一些簡單的實際問題，引導學生認識到：建立三角函數模型后，可以把握事物的周期性發展規律，預測事件的發生，使我們能夠快速解決實際問題．
使用信息技術能快速準確的
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且當實際問題的數據更為復雜和變化時，利用信息技術能快速準確的解決程序化的計算問題．
的解決程序化的計算問題． 滲透轉化與化歸、函數與方程的數學思想，培養數學運算的核心素養．
聆聽、思考．
總結問題1的題目特點和解題步驟．
及時總結已知模型的三角函數應用問題的解題步驟，為反思歸納三角函數模型的簡單應用的步驟做好鋪墊．
二、充足清潔的水電能源
成都的城市發展需要充足的能源支持，而能源的結構會對產業的規劃產生重大的影響．在《成都市城市總體規劃（2016—2035年）（送審稿）》中明確提出的一個原則就是：以能定業：即以能源資源的供給約束和節能減排為前提，確定產業發展目錄，擬定產業負面清單.這也是成都大力發展信息產業等高新產業的重要原因.而地處四川腹地的成都擁有一個全國為之羨慕的巨大優勢：充足清潔的水電能源．
問題2 據國家統計局統計資料顯示，2016年四川省每月水力發電量如下表所示： 月份 發電量（億千
瓦時） 月份 發電量（億千瓦時） 1 104.737 7 297.263 2 90.003 8 310.011 3 106.569 9 295.262 4 144.779 10 254.883 5 199.992 11 200.009 6
254.857
12
144.688
聆聽老師的講解、了解成都發展的有利條件、思考水電能源可能蘊含的數學知識．
僅有宜人的氣候
環境還不足以讓家鄉成為享譽華夏的天府之國．充沛的水能從古至今不僅灌溉著千里沃土，更在現代為城市提供著強大的發展動力：充足清潔的水電能源．
由于問題1不足以讓學生深刻體驗到從實際問題中抽象并建立數學模型的方法，更不足以體驗到利用三角函數模型解決實際問題的完整步驟．因此重新整合教材內容，設置問題2，讓學生再一次感受到三角函數模型與實際生活的關聯，并在更充分體驗的基礎上，掌握函數模型應用的步驟，提升直觀想象、數學建模、數學運算等核心素養，進一步突出重點和突破難點． 回顧函數模型應用的解題步
帶領學生回憶在
回顧舊知，為有
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（1）選用一個函數來近似描述水力發電量與時間的函數關系；
（2）2016年4-12月四川省全社會用電量y（億千瓦時）與月份x近似滿足函數：
15sin(1.170.78)180yx． ①四川省在豐水期（6-10月）共需要外輸水電1000億千瓦時，則為了滿足省內用電需求，共需要補充其他類型的電力（如火電、風電、光電）約多少億千瓦時？（精確到個位）
②4-12月期間，是否存在水力發電量不能滿足省內用電需求的時候？若是，請求出相應月份；否則，請說明理由． 解：
（1）π5π
110sin()20066
yx；
（2）①大于444億千瓦時；
②4、12月.
驟和探究方法，回憶使用過的信息技術工具．將其遷移到問題2的解答過程中．
高中必修1中學習函數模型及其應用時的解題步驟和使用過的輔助工具． 效地解決問題2作好知識、方法和工具上的鋪墊．
問題2（1）
學生獨立思考，自主探究．
巡視指導，對不同的解決方法進行觀察．
讓學生通過描繪散點圖，觀察曲線幾何特征，結合三角函數的相關知識、方法，獨立探究解決問題． 小組合作學習、交流討論．
指導點撥，收集不同的解決方案．
讓學生在交流、探討中實現思維火花的碰撞，完善自我的解決方案，梳理解題思路． 問題2（1）
（預設一）學生能通過問題1的理解和對函數模型的應用解題步驟的回憶，較為完整地按照：收集數據、畫散點圖、選擇函數模型、求函數模型、檢驗、解決實際問題的步驟解決問題2（1），但是解題步驟可能不完整，需要教師引導、點評、總結．
追問3：根據數據做出散點圖，觀察圖形，你們認為可以用怎樣的函數模型來刻畫其中的規律？
追問4：你能否求出這個函數模型？
評價：學生類比問題1 ，結合以往所學的函數模型知識，抓住散點圖明顯的幾何特征，構造三角
幫助學生認真閱讀題意，抓住關鍵的詞句，弄清題意，建立數量關系．
引導學生根據散點圖的特點選擇函數模型． 再次強化數形結合的數學思想，提升直觀想象的數學素養．
引導學生根據散點圖及有關數據求函數解析式．
盡管問題2（1）是三角函數模型的實際應用，但方法與步驟與此前學習的函數模型的應
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（預設二）部分學生通過Excel軟件描繪散點圖，選擇多項式函數進行擬合；部分學生采用平板電腦和Geogebra軟件繪制散點圖，擬合圖象，求解三角函數解析式．并對兩類函數都能較好的擬合函數產生困惑．
函數模型解決問題2（1）．很好地體現了知識方法的遷移與應用以及良好的數學建模素養．
追問5：為什么使用同樣的數據會求得不同的結果？我們應該如何對待這種差異和選擇函數模型？
兩類方法所得的函數解析式雖然從類型上不一樣，且可能有多種情況，但是它們在本質是一樣的：因為多項式函數本質上就是三角函數的泰勒展開式．在檢查計算后發現與實際數據可能不一致，但是不影響最終的使用．
評價：同學們采用不同的方法求解出函數解析式，既體現了扎實的數學功底，也體現了應用現代信息技術解決用是完全一致的．即便學生有一定的知識儲備，但是依舊要加強對問題情境和解題思路的分析，進一步突出教學重點并突破難點． 強化轉化與化歸的數學思想，提升數學建模的核心素養．
建立數學模型解決實際問題，所得的模型往往是近似的，并且得到的解也是近似的．所以應該把握模型的核心特征，簡化模型，優化方法．
解題后的反思開拓了學生的視野，再次激發學習興趣．既體現了數學應用過程的完整性，還可以保持數學應用中的數學思維水平，提高學生對相應的數學方法、數學素養的認知層次，培養學生良好的解題習慣．
由于實際問題常常涉及一些復雜的數據，因此要鼓勵學生利用計算機或
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問題的意識．兩種方法都體現了很高的數學建模素養．使用現代信息技術會使得計算更便捷、準確．
計算器處理數據，包括建立有關數據的散點圖，根據散點圖進行函數擬合等．
問題2（2）①
（預設一）首先通過題干數據計算出6-10四川水力發電總量，再計算出6-10月四川全社會用電總量，進而得出答案：494億千瓦時．
（預設二）個別學生認為補充的電量應該超過494億千瓦時，因為要考慮到電力傳輸過程中的損耗．
評價：同學們的回答準確把握住了問題本質，條理清晰，計算準確．借助現代信息技術解決程序化的計算問題，大大縮短了計算時間，提高了計算的準確性．
教師引導學生根據問題的實際意義，對答案的合理性做出解釋．
通過三角函數模型的實際應用，再次使學生體會到建立函數模型的現實指導意義． 利用計算器和軟件快速求解復雜函數的函數值，引導學生更多的使用現代信息技術．
使學生懂得從函數模型中得到的答案，還需要檢驗它是否與實際意義相符．
問題2（2）②
（預設一）學生通過平板電腦和Geogebra軟件繪制出水力發電量和全社會用電量的函數圖象．通過觀察圖象，借助軟件求解交點坐標，得出答案．
（預設二）學生通過平板電腦和Geogebra軟件繪制出水力發電量和全社會用電量的函數圖象．通過觀察圖象，借助計算器，用二分法求出交點坐標的近似值．
評價：同學們越發熟練、靈活地使用現代信息技術繪制函數圖象，求解交點坐標，得出結論．更值得高興的是有的同學用二分法求方程的近似解，基礎扎實，學以致用．
強化Geogebra軟件的應用意識．通過一題多解，將新知與舊知關聯起來，融會貫通．
再次強化轉化與化歸、函數與方程的數學思想，提升數學運算的核心素養．
三、反思歸
1.三角函數模型的簡單應用的步驟： 基于對問題的探究和理解，對照函數模型的應用解題過程的步驟，總結歸納三角函數模型的簡單應用的步驟，
引導學生回顧解決問題的過程，提出該環節學習任務，師生共同在充分體驗的基礎上，生成邏輯連貫、前后一致的知識體系，
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納
2.思想與方法： 方法：數學建模
思想：數形結合的思想、
轉化與化歸的思想、 函數與方程的思想．
理解由于實際問題的周期變化規律對函數模型選擇的影響；強化對求解函數模型的一般步驟的理解．
揭示探究過程中的數學思想．
反思總結、修正完善所涉及的知識、方法、思想． 使得研究過程中的知識和方法顯性化，具體
化，規范化．
（預設）學生能用較為規范的語言總結三角函數模型的簡單應用的步驟．在表述時可能不夠完整與規范，尤其容易忽略檢驗數學結果的實際意義這一步驟．
指出學生步驟中的不足，引導學生一起完善．
評價：雖然本節課的實際問題因為具有周期變化規律從而選擇了特殊的三角函數模型解決問題，但是從本質上與函數模型的應用解題過程的步驟是一致的． （預設）學生在解決問題的過程中感受到數與形的關聯，并使用函數模型解決實際問題，自然生成數形結合、轉化與化歸、思想和函數與方程思想．
評價：解決問題的過程中，我們抓住圖象周期性的幾何特征，尋找到圖象與三角函數的關系，得到了函數解析式，從數的角度描述了幾何圖象，這是典型的數形結合思想；將實際問題轉化為數學問題，這體現了轉化與化歸思想；同時運用函數解析式建立方程或不等式解決實際問題，這又是典型的函數與方程思想．
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