視頻標(biāo)簽：單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)新版必修13.2.1單調(diào)性與最大小值第1課時單調(diào)性教學(xué)設(shè)計合肥

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高中數(shù)學(xué)新版必修13.2.1單調(diào)性與最大小值第1課時單調(diào)性教學(xué)設(shè)計合肥

課題：3.2.1單調(diào)性與最大（小）值
（第一課時）
 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
函數(shù)的單調(diào)性.
2.內(nèi)容解析
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，它刻畫了函數(shù)的增減變化趨勢.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，即它通常是在函數(shù)定義域的某個子集上具有的性質(zhì).從初中到高中，函數(shù)單調(diào)性概念的形成，經(jīng)歷了從定性到定量的過程，實現(xiàn)了變化規(guī)律的精確化表達(dá)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的一般過程，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力具有重要意義.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：借助符號語言刻畫函數(shù)圖象從左向右的上升（下降），得到單調(diào)性定義，運(yùn)用定義證明常見函數(shù)的單調(diào)性，形成研究函數(shù)基本性質(zhì)的思路.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
(1)借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實際意義；
(2)會用定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）經(jīng)歷借助函數(shù)圖象變化趨勢，用數(shù)量刻畫特征，再到符號語言表達(dá)特征的探究過程，形成單調(diào)性定義.積累應(yīng)用從特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合等方法研究函數(shù)基本性質(zhì)的經(jīng)驗，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
（2）體驗利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的作用與過程，掌握證明的基本步驟：取值——作差——變形——判號——定論,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).
（3）在抽象函數(shù)單調(diào)性的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號表示的作用，體會通過引入“”的符號表示，把一個含有“無限”的問題轉(zhuǎn)化為一種“有限”方式表示的方法，感受數(shù)學(xué)符號語言的作用.
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)是,在初中階段,通過對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠結(jié)合具體的函數(shù)圖象，用自然語言定性的刻畫函數(shù)的性質(zhì)，并積累了一些利用函數(shù)單調(diào)性比較兩個實數(shù)大小的經(jīng)驗.在上一節(jié)內(nèi)容進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用集合語言刻畫函數(shù)的概念，認(rèn)識到構(gòu)成函數(shù)概念的三個要素，函數(shù)的本質(zhì)就是兩個非空數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系和函數(shù)的三種表示方法，能夠結(jié)合函數(shù)圖象，用集合語言描述具體函數(shù)的三個要素，積累了一些通過觀察函數(shù)圖象分析函數(shù)特征的經(jīng)驗.通過對集合的概念和表示、集合的性質(zhì)和運(yùn)算的學(xué)習(xí)，初步體會研究數(shù)學(xué)對象的一般路徑.通過對充分必要條件學(xué)習(xí)，對如何認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的“性質(zhì)”有了進(jìn)一步認(rèn)識.通過對邏輯語言的學(xué)習(xí)和不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，為用符號語言刻畫函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).
即便如此,由于高一新生處在由感性為主的經(jīng)驗型思維向理性為主的抽象型思維的過渡期，這需要一個較長的過程，因此在使用符號語言表述函數(shù)性質(zhì)的過程中,“任意”兩字是學(xué)生遇到的一個難點.另外,根據(jù)定義證明具體函數(shù)的性質(zhì)也是一個難點，原因是剛進(jìn)入高一的學(xué)生推理論證能力還比較薄弱，尤其是在代數(shù)方面的內(nèi)容上，前面缺少足夠的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.
根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點：符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用.
四、教學(xué)支持條件分析
利用信息技術(shù)，采用動態(tài)方式展現(xiàn)函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律，體會取值的任意性.
五、教學(xué)過程設(shè)計
（一）創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系生活
引導(dǎo)語：前面我們分別學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募�合和對�?yīng)語言表述了函數(shù)的概念，明確了函數(shù)的三要素是：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.之后又學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示法，分別是：解析法、列表法、圖象法.從中我們更深刻地感受到對于客觀世界中各種各樣的運(yùn)動變化現(xiàn)象，都可以借助函數(shù)模型來描述.
情境一：這是“神舟十二號載人飛船“的發(fā)射過程，飛船離發(fā)射點的距離隨時間的變化而變化，具體來說，隨著時間的增加距離在不斷變大.
情境二：這是一段過山車的體驗過程，隨著時間的增加體驗者離地面距離在交替地增大減小，也因此增強(qiáng)了體驗的刺激感.
以上的運(yùn)動變化反映在函數(shù)圖象上，便是圖象的變化趨勢.
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個情境中離地面距離隨時間變化而變化的函數(shù)關(guān)系，以及增減趨勢.
設(shè)計意圖：在現(xiàn)實世界的運(yùn)動變化中，增減趨勢是主要的變化規(guī)律之一，通過熟悉的生活情境讓學(xué)生感知這一點，為后面引進(jìn)函數(shù)單調(diào)性的概念來刻畫這種變化規(guī)律做好鋪墊，并讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是來源于生活并應(yīng)用于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)探索欲.
問題一：從上述變化的角度觀察下列函數(shù)圖象，說說它們的特點.
 
追問：除了變化趨勢外，圖象還有哪些其他特征嗎？
師生活動：請不同的學(xué)生代表回答，盡可能多地從不同角度作出回答，老師予以肯定，并指出所回答的特征與之后學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系，體現(xiàn)本單元的整體性與聯(lián)系性.
預(yù)設(shè)回答：1.第一個圖象是上升的，第二個第三個圖象有升也有降.
2.第一個圖象關(guān)于原點對稱，第三個圖象關(guān)于y軸對稱.
3.第二個圖象有最高點，第三個圖象有最低點.
4.第一個圖象雖然一直在上升，但是一開始上升的越來越慢，后來又越來越快等等.
教師指出：函數(shù)圖象所反映的這些特點就是函數(shù)的性質(zhì)，有我們即將要學(xué)習(xí)的單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性.對于圖象在某個區(qū)間保持上升或下降的特點的就是函數(shù)的單調(diào)性，也是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)圖象從多角度得出圖象特征，提高學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)，為大單元教學(xué)中知識的延續(xù)性、思維的連貫性、方法的一致性做好指引.
(二)探究新知，引出概念
問題二：以二次函數(shù)為例，探究單調(diào)性的符號語言.
思考1:觀察函數(shù)圖象，如何描述圖象在y軸左側(cè)的變化趨勢？
預(yù)設(shè)回答：是下降的.
追問1：能不能說是上升的？
預(yù)設(shè)回答：按照習(xí)慣自左向右觀察圖象，所以是下降的.
追問2：為了更直觀地感受圖象的下降，可在左側(cè)圖象上選取點A進(jìn)行拖動，按什么方向拖動？點除了從左向右變化外，還伴隨著怎樣的變化？
預(yù)設(shè)回答：沿著圖象從左向右拖動，發(fā)現(xiàn)點除了從左向右變化外還伴隨著從上到下的變化.
設(shè)計意圖：發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，為后面的以數(shù)解形做好鋪墊，明確圖象變化趨勢的觀察方向，方便得出相應(yīng)的符號語言.
思考2：對于上述變化我們能不能從數(shù)量的角度進(jìn)行刻畫呢？
追問1：點的位置是由什么確定的呢？
預(yù)設(shè)回答：坐標(biāo).
追問2:在點A從左向右的變化過程中坐標(biāo)如何在變？
預(yù)設(shè)回答：橫坐標(biāo)在變大，縱坐標(biāo)在減小，而且縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的增大而減小.
教師指出：站在函數(shù)的角度，又可以說成當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小.
追問3:“增大”“減小”如何用數(shù)量刻畫？
師生活動：在教師的啟發(fā)下，請學(xué)生代表上黑板經(jīng)歷實踐過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，師生一起完善思路，明確探究方向.
“增大”“減小”意味著需要兩個量來比較，那么在點A的拖動過程中，隨機(jī)暫停，便可以得到一些點，請兩位同學(xué)上來展示一下獲取點的過程并記錄下它們的坐標(biāo)，完成表格.讓學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)來具體描述“函數(shù)值隨自變量的增大而減小”，如：當(dāng)自變量從-4增大到-3時，則函數(shù)值y從16減小到9等等.我們可以借助不等式來表示不等關(guān)系.
由于我們可以在這個過程中獲取更多的點，所以這樣的不等式寫不完，更重要的是，具體數(shù)值無法表示“一直變化”的過程，所以我們需要借助具有一般性的符號來表示.
設(shè)計意圖：探究對“y軸左側(cè)圖象自左向右是下降的”進(jìn)行數(shù)量刻畫的過程，結(jié)合第二章已學(xué)習(xí)不等式表示大小，得到一些特殊的不等式，為推廣到一般的符號語言埋下伏筆.
思考3:如何用符號語言表示“時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小”？
師生活動：學(xué)生小組討論，然后展示，得出結(jié)論.
初中就學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)，而且字母具有一般性.所以在y軸左側(cè)圖象上選取一點A,記坐標(biāo)為（f）,也就是在上取一個數(shù)，相應(yīng)函數(shù)值為f，隨自變量的增大，也就是從左向右，所以在A點右側(cè)選取一點B，坐標(biāo)為（f），顯然而函數(shù)值減小便是f>f.
追問1：“隨著”說明了兩個不等式之間是怎樣的關(guān)系？
預(yù)設(shè)回答：是條件與結(jié)論的關(guān)系，在的條件下，有f>f的結(jié)論.
追問2：的取值有多少對？
預(yù)設(shè)回答：無數(shù)對.
教師指出：回憶點A、B的產(chǎn)生過程，結(jié)合第一章所學(xué)內(nèi)容可知，的取值是任意的.綜上所述，，此時我們稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
追問3:類比上述過程，你能用符號語言刻畫圖象在y軸右側(cè)的變化趨勢嗎？
圖象在y軸右側(cè)是上升的，也就是時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，所以在y軸右側(cè)圖象上選取一點A,記坐標(biāo)為（f）,也就是在上取一個數(shù)，相應(yīng)函數(shù)值為f，隨自變量的增大，也就是從左向右，所以在A點右側(cè)選取一點B，坐標(biāo)為（f），顯然而函數(shù)值增大便是f<f.完整來說，，此時我們稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，其核心是通過具體到抽象的過程，讓學(xué)生學(xué)會用嚴(yán)格的符號語言刻畫“時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小”.在“圖象從左向右下降——y隨x的增大而減小——任取”的不斷精確化的過程，引導(dǎo)他們體會借助符號，體會用“任意”刻畫“無限”的數(shù)學(xué)方法的威力，并有效地突破x取值任意性這一難點.
（三）二次體驗，抽象定義
問題三：函數(shù)各有怎樣的單調(diào)性？
師生活動：學(xué)生結(jié)合圖象說出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，對于第二個函數(shù)再用符號語言進(jìn)行描述.
設(shè)計意圖：從數(shù)形結(jié)合的角度感悟函數(shù)圖象的變化趨勢和符號語言的刻畫.
問題四：一般函數(shù)

師生活動：先由學(xué)生獨立完成，然后小組交流，再組織全班交流，在充分交流的基礎(chǔ)上，請學(xué)生代表相互補(bǔ)充，教師給出嚴(yán)格的單調(diào)性定義表述.
定義：一般地，設(shè)函數(shù)定義域為I，區(qū)間，那么就稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增.
，那么就稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減.
教師強(qiáng)調(diào)：區(qū)間D體現(xiàn)了單調(diào)性是局部性質(zhì)；體現(xiàn)了從左向右觀察的角度;在前提下判斷f()與f()的大小的有限操作.此時我們就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
設(shè)計意圖：通過聚焦研究幫助學(xué)生逐步勾勒出函數(shù)單調(diào)性的符號語言，讓學(xué)生充分參與到概念的建構(gòu)過程中，切身體驗數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象、從文字到符號、從粗疏到嚴(yán)密的過程,讓他們充分感悟到數(shù)學(xué)概念符號化的建構(gòu)原則,通過逐層分解、逐步抽象的微觀建構(gòu)，真正提升學(xué)生在建構(gòu)中的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).
概念辨析：你能結(jié)合圖象舉例說明，若區(qū)間上的取值不滿足任意性，還能根據(jù)定義得到函數(shù)的單調(diào)性嗎？
師生活動：學(xué)生獨立思考完成，教師可以提醒學(xué)生用多種方法表示函數(shù)，特別是利用圖象直觀說明問題.
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生辨析定義中的“任意”二字.
追問：函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)嗎？
師生活動：學(xué)生容易想到初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)，教師正好給出增（減）函數(shù)的定義.
特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增（減）時，我們就稱它是增（減）函數(shù).
設(shè)計意圖：為了區(qū)分在定義域內(nèi)某些區(qū)間上“增”而在另一些區(qū)間上“減”的函數(shù),避免混淆.
(四)學(xué)以致用，解決問題
例1.根據(jù)定義，研究函數(shù)的單調(diào)性.
追問：觀察圖象，你對函數(shù)的單調(diào)性有怎樣的判斷？利用定義證明單調(diào)性時，你的思路是什么？
師生活動：先讓學(xué)生獨立思考，再請學(xué)生代表說證明思路.
教師板書過程，再請其他同學(xué)指出不足.強(qiáng)調(diào)判斷函數(shù)值與的大小關(guān)系，就是基于兩實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，只需要將函數(shù)值大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷它們差的正負(fù)，即與0比大小，這種方法形象地稱為作差法，操作過程為作差——變形——判號——定論，其中變形的手段多樣，對于整式常采用因式分解，配方，對于分式采用通分，而對于根式采用有理化，在證明單調(diào)性的過程中，需要先給出的前提條件，我們稱為取值.通過作差將“無限”的問題轉(zhuǎn)化為了具體可操作的“有限”過程.
設(shè)計意圖：關(guān)于一次函數(shù)的單調(diào)性，初中是通過觀察圖象得到的，這里是利用定義通過嚴(yán)格的邏輯推理證明結(jié)論.由此，不僅體現(xiàn)了形式化定義的作用，而且通過比較簡單的推理過程，讓學(xué)生理解用單調(diào)性定義考察函數(shù)單調(diào)性的基本方法.
例2.物理學(xué)中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)p增大，試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明.
追問：定律中的公式是哪種函數(shù)模型？自變量的取值范圍是什么？你能結(jié)合圖象對單調(diào)性作出判斷嗎？“體積V減小時，壓強(qiáng)p增大”的含義是什么？
師生活動：讓學(xué)生獨立完成證明，進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點評完善.
設(shè)計意圖：例2是一個物理學(xué)中的公式，本例要使學(xué)生體會函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，而且數(shù)學(xué)研究的不是一個現(xiàn)象而是抽象概括出來的一般性問題，將一些不同的現(xiàn)象抽象成一類函數(shù)，通過研究這一類函數(shù)的性質(zhì)獲得事物的變化規(guī)律.
思考1：對于反比例函數(shù),（k為正常數(shù)）如何描述它在定義域上的單調(diào)性？
思考2：是否每個函數(shù)都會畫出它的圖象？如我們可以通過什么方法知道它圖象的變化趨勢呢？
（五）歸納反思，深化總結(jié)
1.我們是如何探究單調(diào)性的？探究過程是怎樣的？
2.單調(diào)性的定義是什么？如何用定義證明一個函數(shù)的單調(diào)性？
3.本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？你有哪些感悟？
4.單元框架
師生互動：學(xué)生概括,教師補(bǔ)充.
下節(jié)課我們將繼續(xù)從不同角度觀察函數(shù)圖象，沿用單調(diào)性的探究路徑，將圖象特征符號化，得到更多的性質(zhì)，如最大（小）值和奇偶性，之后會學(xué)習(xí)進(jìn)入高中以來遇到的第一類函數(shù)——冪函數(shù)，結(jié)合所學(xué)性質(zhì)去認(rèn)識它.
設(shè)計意圖：1.讓學(xué)生準(zhǔn)確敘述單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、增函數(shù)、減函數(shù)的概念，使學(xué)生進(jìn)一步把握單調(diào)性的要點.
2.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解“函數(shù)有意義”是討論函數(shù)單調(diào)性的前提，“”的含義，如何對“”進(jìn)行代數(shù)變形.
3.使學(xué)生體會“從定性到定量的”研究思路，即通過圖象直觀及自然語言刻畫得到函數(shù)性質(zhì)的定性刻畫，再用符號語言進(jìn)行定量刻畫，從而使函數(shù)性質(zhì)得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá).
（六）作業(yè)布置，自我提升
1.基礎(chǔ)作業(yè)：課本79頁，練習(xí)第4題；
            習(xí)題3.2第1-3題.
2.提升作業(yè)：對于函數(shù)，可以利用定義證明單調(diào)性來判斷圖象的變化趨勢嗎？
3.探究作業(yè)：函數(shù)單調(diào)性定義有怎樣的等價形式？用信息技術(shù)畫出的圖象，區(qū)別在哪？能否從等價形式的角度作出解釋？
六、目標(biāo)檢測設(shè)計
A組  適用普通高中學(xué)生
1.函數(shù)在區(qū)間[−2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的增區(qū)間是(     )
A．[－2,0]                  B．[0,1]
C．[－2,1]                  D．[－1,1]
 
 
2.函數(shù) 的減區(qū)間是(     )
A．[0，＋∞)                B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)     D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
 
 
 
3.在下列函數(shù)中，滿足對任意，當(dāng)時，都有 (     )
   A.                  B．
C．                D．f(x)＝2x＋1
 
4.證明函數(shù)在上是增函數(shù)．
 
B組  適用重點高中學(xué)生
1.若函數(shù)是定義在 R 上的減函數(shù)，則a的取值范圍為(     )
A.                      B．
C.                   D． 
 
2.已知在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且，求a的取值范圍.
 
3.已知函數(shù) f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，若 且，則有(     )
 
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)           B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)         D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
4.判斷并證明函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性．
設(shè)計意圖：考查學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性，感受“形”的直觀以及“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)，使學(xué)生能更熟練地應(yīng)用定義來證明單調(diào)性，掌握證明步驟,初步感受單調(diào)性在研究不等式方面的應(yīng)用.

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