視頻標簽：算機繪制,函數圖像對勾函數,單調性與最值

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視頻課題：人教A版高中數學必修一第一章《信息技術應用 用計算機繪制函數圖像對勾函數的單調性與最值》浙江省 - 紹興

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信息技術應用 用計算機繪制函數圖像 
                 ——對勾函數0a
yxax的單調性與最值 
 
1 教材分析 
本節內容是人教A版必修一1.3節函數的基本性質——信息技術應用 用計算機繪制函數圖像.函數圖像將抽象的函數直觀化，具體化，豐富了函數在人們腦中的知識網絡，為我們研究函數及其性質提供了便捷. 
筆者將本節內容放在了學生學習了第二章基本初等函數之后，并以對勾函數為依托進行授課.此舉主要出于以下3個原因.（1）教材將用計算機繪制函數圖像放在函數基本性質之后，可能是考慮到學生初學高中函數定義及其基本性質，理解上有一定難度，而函數圖像可以降低函數的抽象性，降低理解難度.而且之后學基本初等函數時，學生也可自己畫函數圖像，幫助他們學習.但筆者考慮到如果在函數基本性質之后直接教用計算器畫函數圖像，可畫的函數一般都是學生已經會畫的，對學生的吸引力較小.而基本初等函數是高中數學的幾個重要函數.如果加入了這些函數， 課堂的函數素材會大大增加，增加對學生的吸引力，激起他們的求知欲望，也更能讓學生體會到用計算器畫函數圖像的強大性與便捷性.（2）函數圖像是研究函數性質的有力工具.因此本節課在教學生畫圖時，進一步教學生如何利用函數圖像讀取函數性質.（3）選取對勾函數作為教學內容是因為對勾函數是高中數學中一個比較重要的函數模型，有豐富的函數性質.而人教A版教科書（2007）沒有單獨給對勾函數安排課時，因此將它放在這一節.學生在系統學習對勾函數知識的同時，也可將他們在必修一第一章，第二章所學函數知識進行鞏固應用. 
2 學情分析 
此課面向高一學生，他們剛學完人教A版必修一第一章、第二章，有一定知識基礎.對勾函數在平時作業會遇到，但沒有系統學過.用圖形計算器畫函數圖像的過程學生在課堂上多次看教師演示過，但沒有進行實際操作.學生早已這個圖形計算器充滿好奇，躍躍欲試.因此，本節課的內容處于學生的最近發展區，是學生迫切想要學習的知識. 
3 教學目標 3.1知識與技能 
 
                    
             
                    
                            （1）會用圖形計算器畫具有函數解析式的函數圖像. （2）掌握用函數單調性定義證明對勾函數單調性. 
（3）會根據對勾函數及其復合函數的圖像研究函數單調性與最值. 3.2過程與方法 
（1）經歷用圖形計算器畫對勾函數圖像的過程來熟悉用圖形計算器畫函數圖像的操作，熟悉對勾函數圖像. 
（2）經歷用圖形計算器變換對勾函數圖像的過程，研究對勾函數單調性與最值. （3）利用圖形計算器畫出復合函數及其里函數、外函數的圖像來研究復合函數單調性. 3.3情感態度與價值觀 
體會用計算器畫函數圖像的便捷性和實用性，感受函數圖像變換之美.培養數學抽象、直觀想象、數學運算、邏輯推理、數據分析等核心素養. 
4 教學重難點 
教學重點：利用圖形計算器探究對勾函數單調性與最值. 教學難點：利用圖形計算器探究對勾函數及其復合函數的單調性. 5 教學工具 
Microsoft Office PowerPoint、圖形計算器與白板的交互使用.圖形計算器使用的是德州儀器TI-nspire CX-C. 
6 教學過程 
6.1新知引入——探究具體對勾函數的單調性與最值 問題1：你能利用圖形計算器畫出函數的圖像，并探究它的單調性與最值嗎？ 師生活動：生可能的操作為運用圖形計算器①新建文檔，添加圖形，輸入；②利用菜單中的“窗口縮放”功能，縮放窗口，觀察圖形的整體與細節，大致確定函數單調
區間；③ 利用菜單中的“圖像分析”功能，研究函數在0，與的最值.師觀察指導.預設部分教學片段如下. 
師：從函數的圖像中，你們觀察出了它具有怎樣的單調性，有幾個單調區間嗎？ 
1
yxx

1fxxx

0+，
1
yxx

                    
             
                    
                            生（全體）：函數圖像像兩個對勾，有4個單調區間. 
師：（投影多個采用不同坐標尺寸的學生的計算器屏幕）因為圖像像對勾，所以人們叫它對勾函數，還有些人叫它耐克函數、勾函數、雙飛燕函數等.那具體是哪四個單調區間呢？ 
生1：（投影生1的計算器屏幕，如圖1）函數在1，上單調遞增，在10，上單調遞減，在01，上單調遞減，在上單調遞增.   
圖1 生1所做的圖像 師：你是怎么做出這個單調區間的？ 生1：邊說邊操作. 師：函數的最值呢？ 
生(全體)：在整個定義域上不存在. 
師：在0x，上是否存在最值？在上是否存在最值？ 生（全體）：當0x，時，，無最小值.當時，，無最大值. 
設計意圖：學生實際操作，實際演示，可以讓他們更加熟悉圖形計算器的操作，為后續畫圖打下基礎.選取最基礎的對勾函數進行研究，符合學生認知規律. 6.2新知探究——探究對勾函數單調性與最值的一般性結論 問題2：你能利用圖形計算器探究的單調性與最值嗎？ 1
yxx

1
+，1
yxx

0+，
max12fxf0+x，min12fxf1
yxx

0a
yxax


                    
             
                    
                            師生活動：生可能的操作為利用圖形計算器的“游標”功能，建立參數的游標，拖動a的值，進行觀察探究.師觀察指導，然后展示生2的計算器屏幕（如圖2），讓他動態展示對于不同的，單調區間的變化.引導他說出函數在a，，
a，上是增函數，在0a，，
0a，上是減函數.且當0x，時，，無最小值.當時，，無最大值. 
 
圖2 生2所做的圖像 設計意圖：合理利用圖形計算器功能，探究參數a對函數圖像的影響，從而讓學生歸納出函數的單調性與最值規律，鍛煉學生直觀想象、數據分析和邏輯推理等核心素養. 
6.3新知證明 
問題3：你能證明函數的單調性嗎？ 師生活動：生在草稿紙上寫下證明過程.師巡視指導，并邀請生3上去板演，再對板演過程進行點評. 
設計意圖：華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形少數時難入微.因此利用圖形得到的結論，還需用代數證明，這體現了數學的嚴謹性與數形結合思想，考察了學生利用單調性定
0aa0aaa
yxx

0a
yxax


max2fxfaa0+x，
min2
fxf
aa0a
yxax

0a
yxax
0a
yxax


                    
             
                    
                            義證明函數單調性的知識掌握情況. 
6.4新知深化——探究函數00b
yaxabx

，的單調性 問題4：你能說出函數00b
yaxabx

，的單調區間嗎？ 師生活動：生可能的操作為①從形的角度：利用圖形計算器，探究參數的變化對函數圖像的影響，從而歸納出函數00b
yaxabx

，的單調區間.②從數的角度：將函數解析式變形為00bb
ayaxaxabxx

，，所以
00byaxabx，在區間ba，，上是增函數，在0ba，，0ba
，上是減函數.③從數的角度：利用單調性定義，類比問題3進行求解.師巡視觀察，并請采用不同方法求解的生4，生5，生6回答問題，再進一步請學生回答函數00b
yaxabx

，的最值情況. 設計意圖：探究對勾函數更一般情況的單調性與最值，推廣了結論的適用范圍，鍛煉了學生數學抽象、數學運算、數據分析等核心素養. 
6.5知識應用 
例1：求下列函數的單調減區間： 
（1）；  
（2）. 師生活動：生可能的操作為①利用紙筆求解.②利用圖形計算器畫出復合函數及其里函數、外函數的函數圖像，根據圖像結合數學運算求出復合函數單調區間.教師引導學生可利用②的方法進行求解.具體講解時，例1（1）教師現場演示畫函數圖像過程，并引導學生集體回答解題過程，理解復合函數“同增異減”.例1（2）展示生7所做的函數圖像（如圖3），并叫他分享解題過程，教師板演. 
,ab+ba，212
21
logxfxx1x
x
fxee
 
                    
             
                    
                             
圖3  生7在回答例1（2）時所做的圖 
設計意圖：此題考查了對勾函數分別作為里函數、外函數，和基本初等函數復合后的函數單調區間求解，是新知的一個應用.考慮到復合函數的單調性一直是學生學習的難點，他們較難理解口訣“同增異減”的內涵，容易出錯.此次借助圖形計算器畫函數圖像的便捷性，將復合函數及其里函數、外函數的圖像均畫出，對比求解，幫助學生理解這個知識點. 
6.6知識小結 （1）對勾函數0a
yxax

的單調性與最值. （2）對勾函數與其他函數復合的函數單調性與最值. 6.7作業布置 
（1）利用圖形計算器探究函數0a
yxax

的單調性. （2）編制函數0a
yxax

與其他函數復合的函數兩個，并利用圖形計算器研究它們的單調性與最值，寫下解題過程. 
7 教學反思 
近十年，“互聯網+”、大數據、人工智能等新詞不斷進入眼簾，信息技術在生產生活中的應用越來越廣泛.在教育領域，國家提出了《教育信息化十年發展規劃（2011-2020）》.教育部提出了《教育信息化2.0行動計劃》（2018）.因為信息技術融入課堂能給教學帶來較大便利.它能多方面的展示知識，增加學生理解知識的角度，讓學生眼中的知識更加豐富多彩，“活靈活現”，激起學生的學習興趣，降低知識的理解難度.對于本課，筆者有如下體會。 
7.1圖形計算器加入數學學習順應時代潮流 
 
                    
             
                    
                            圖形計算器的出現源于人們發現中學數學學業難度大，學生家長在輔導孩子作業時感到力不從心[1]，而電子技術發展到了一定的程度，圖形計算器便應運而生了.目前，歐美發達國家的中學生幾乎人手一臺圖形計算器，他們大部分考試允許帶圖形計算器.我國引入圖形計算器后，也積極推廣，多地多所學校開辟了“數學實驗室”，讓圖形計算器加入到學生的數學學習中.而現在的孩子，出生于信息時代，對電子產品有天生的熟悉感和親切感，上手容易，樂于把玩，不僅助于他們學習，也為之后適應信息化社會打下基礎.值得注意的是信息技術不能代替紙筆演算，紙筆演算的過程是學生思維鍛煉的過程，是學生用數學語言表達的過程.在教學過程中應該兩者結合，相輔相成. 
7.2圖形計算器有助于學生自主探究 
筆者所用的圖形計算器版本為德州儀器的TI-nspire CX-C，它功能強大，覆蓋中學數學中的函數、數列、不等式、圓錐曲線、幾何體、統計與概率等方面，還可自主編程.比如，本課中學生自己畫函數圖像，利用游標功能展示圖像的連續變化.再比如，幾何中的動點軌跡，概率中的隨機抽樣，學生均可自主摸索探究，增加了學習的樂趣，改變了傳統的老師講，學生看的教學模式，實現了讓知識在學生手中產生的教學愿景. 
7.3圖形計算器幫助學生理解數學知識 
數學知識具有一定的抽象性，復雜性，對于有些學生，理解上存在較大困難.而圖形計算器能多方面展示知識，增加學生理解知識的角度，還能讓學生自主動手操作，自主探究，讓知識更加豐富多彩，“活靈活現”.以本課為例，課中多次讓學生自己運用圖形計算器畫函數圖像，探究函數單調性與最值，化抽象為直觀，不僅激起了學生學習興趣，幫助他們更好的理解所學知識，也鍛煉了他們的自主探究能力和動手操作能力. 
 
參考文獻 
[1]王光生，何克抗.Microsoft Student Graphing Calculator支持下的函數學習[J].中國電化教育，2007（1）：91-94

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