視頻標簽：正態分布

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版高二數學選修2-3第二章2.4《正態分布》第一課時-山東省 - 青島

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《正態分布》教學設計 
【教學內容解析】 
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版選修2-3中的2.4《正態分布》第一課時，屬于新授概念課． 
正態分布是選修2-3第二章隨機變量及其分布的最后一節，本節課內容是在學生學習了離散型隨機變量及其分布的基礎上進行研究的，正態分布的隨機變量是一種連續型隨機變量，這讓學生對隨機變量由離散到連續有一個深入的認識.正態分布是高中學習內容中唯一一種連續型分布，它反映了連續型隨機變量的分布規律，連續型隨機變量可能取某個區間上的任何值，它等于任何一個實數的概率都為，所以我們感興趣的是它落在某個區間的概率.離散型隨機變量的概率分布規律用分布列描述，而連續型隨機變量的概率分布規律用分布密度函數（曲線）描述，本節課是對本章知識體系的一個完善，也是必修3統計和概率知識的一種拓展.同時本節課內容反映了數形結合的思想方法，以及統計思維與確定性思維的差異. 
生活中除了離散型隨機變量更多的是連續型隨機變量的例子，因此正態分布在統計中是很常用的分布，它能刻畫很多隨機現象，廣泛存在于自然現象、生產和生活實際之中.從形式看，它屬于概率論的范疇，但同時又是統計學的基石，它在概率和統計中占有重要的地位.一方面，本節課內容為學生初步應用正態分布知識解決實際問題提供了理論依據；另一方面，正態分布具有許多良好的性質，許多分布都可以用正態分布來近似描述，因此在理論研究中，正態分布占有很重要的地位. 
【學生學情分析】 
所帶班級的學生在通用技術課上自己制作過高爾頓板，課前也已經把高爾頓班的演示實驗程序通過pad發送給學生，方便他們分組進行實驗研究小球的分布規律. 
認知基礎方面：學生學習了統計與概率的相關知識，能夠畫出所給數據的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，并根據頻率分布直方圖和頻率分布折線圖初步分析數據的分布規律，具有一定的統計思想.大部分學生會用數形結合思想方法研究一些簡單的數學問題，能夠收集、整理和分析一些簡單的統計問題. 
 
                    
             
                    
                            但是，本節課需要學生由離散型隨機變量到連續型隨機變量，由離散型隨機變量的分布列得到連續型隨機變量的分布密度函數，這對學生來說是一個挑戰，如何認識正態曲線的特點及其表示的意義也是學生學習的難點. 
正態曲線的特點和意義學生可通過高爾頓板試驗、畫頻率分布直方圖和頻率分布折線圖的探究活動來學習，正態分布密度函數的得出需要教師給予適度的指導.  
【教學目標設置】 
課程目標是通過具體實例，認識正態曲線的特點及曲線所表示的意義.在課程目標的指導下，根據前面的分析，確定了本次課的教學目標： 
（一）通過數學試驗、觀察和理性分析，歸納小球分布的規律，感知引入正態曲線、正態分布的意義；借助圖象認識正態曲線的特點及曲線所表示的意義； 
（二）通過經歷正態分布概念的形成過程，體驗從具體到抽象研究問題的方法，嘗試用數據和圖形理性分析問題、用規律推斷解決問題的過程； 
（三）通過數學史介紹正態分布密度函數，感受數學文化；通過數據的分析，能對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷. 
教學重點：正態分布密度曲線的特點及其所表示的意義. 
教學難點：正態分布密度曲線所表示的意義 
【教學策略分析】 
基于學生已經在通用技術課上自己制作了高爾頓板，以及學生思維從具體形象到抽象邏輯的特點，本節課在教學材料的組織上選擇了學生進行高爾頓板試驗、畫頻率分布直方圖和頻率分布折線圖的活動.高爾頓板試驗需要小組合作來完成，正態曲線特點及其所表示的意義需要在教師的指導下小組討論交流，因此為了更好的讓學生認識正態曲線的特點及其所表示的意義，本節課采用傳統教學和信息技術相結合的手段，應用問題探究式教學方法，給不同認知基礎的學生提供了自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，使學生主動地學習，發揮學生的主動性. 
 
                    
             
                    
                            【教學過程】 
教學流程圖： 
  
一、情境引入——高爾頓板試驗 
學生沒有接觸過正態曲線，對正態曲線的來源也沒有認識，因此，教師向學生出示高爾頓板模型引入本節課，并提出問題.為了增加趣味性，特意準備了一個數學家龐加萊買面包的小故事并播放小視頻《統計的樂趣》，視頻中對高爾頓頂板的實驗裝置做了說明。 
  
問題1：同學們是否見過此模型？在哪見過？  
預設學生活動：學生不僅見過還在通用技術課上自己制作過高爾頓板，并知道高爾頓板試驗是讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層障礙物碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內. 
活動1：高爾頓板試驗 
 
                    
             
                    
                            為了觀察到小球的運動，得到小球的分布規律，我把全班分成6個小組，以小組為單位進行高爾頓板試驗，并制作了預習任務單. 
問題2：試驗過程中，小球碰撞和落入的位置，隨著試驗次數增加，球槽中小球堆積的高度及形狀特點. 
學生以小組為單位邊試驗邊觀察，并思考教師提出的問題，教師以小組選派代表的方式總結小組的試驗觀察結果. 
預設學生活動：學生能夠觀察到小球從高爾頓板上方下落的過程中，小球經過每一層都要和其中的一個障礙物發生碰撞，碰撞有兩種可能，從左落下或從右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪個球槽是隨機的；隨著試驗次數的增加，掉入各個球槽內的小球的個數就會越來越多，球槽中小球堆積的高度也會越來越高；隨著試驗次數增加，小球堆積的形狀具有中間高兩邊低的特點，如果有學生觀察出左右對稱的特點，教師應給與鼓勵和表揚. 
 【設計意圖】采用高爾頓板試驗的方法引入，一方面可以激發學生學習探究的興趣，另一方面使學生對正態曲線的來源有一個直觀的印象.  
二、建立概念——鐘形曲線——正態曲線——正態分布 
（一）鐘形曲線 
感性認識要上升到理性認識，為方便研究問題，我們從左到右給球槽編號，小球落入哪個球槽是不是有一定規律可遵循. 
問題3：如何用我們所學的知識研究落在各個球槽內的小球的分布情況？ 
生1：用表示球槽編號，則是一個隨機變量，每投放一個小球就可以看做1個試驗，重復投放
個小球，相當于做了次獨立重復試驗，某一槽中球的個數就是小球落在這個槽中的頻數，可以在大量重復的試驗下，用頻率估計概率，列出球槽編號
的分布列； 
生2：以球槽的編號為橫坐標，可以畫出小球分布的頻率分布直方圖. 
學生討論比較2種預案，哪種預案好？ 
 
                    
             
                    
                            預設學生活動：對于離散型隨機變量而言，其分布列完全刻畫了它的概率分布規律，但只能通過頻率來近似，現在無法知道所構造的隨機變量的分布列.而頻率分布直方圖更加準確直觀形象，所以經過學生討論用頻率分布直方圖進一步探究小球的分布規律. 
【設計意圖】借助頻率分布直方圖更加準確直觀形象的研究小球的分布規律，為正態曲線的得出做鋪墊. 
活動2：畫頻率分布直方圖 
由于課堂時間所限，讓學生在課前進行試驗，并記錄落入各個球槽內小球的頻數，利用畫頻率分布畫直方圖，課上請1個小組的同學展示在課前畫的頻率分布直方圖.教師出示課前收集到的其他小組畫出的頻率分布直方圖，并思考下面問題. 
問題4：觀察頻率分布直方圖有何共同特點？ 
預設學生活動：學生可發現頻率分布直方圖具有中間高兩邊低（左右兩邊對稱）的特點，并且頻率分布直方圖的外形與試驗中小球的堆積形狀是一樣的. 
【設計意圖】引導學生歸納頻率分布直方圖的共同特點，有利于學生觀察發現、歸納概括能力的初步鍛煉，進一步加深正態曲線的印象. 
活動3：畫頻率分布折線圖 
問題5：是不是只有小球的分布具有中間高兩邊低的特點？ 
預設學生活動：教師引導學生調用在必修3統計的學習中，收集過的身高、體重、成績等數據，借助圖形計算器，可以畫出這些數據的頻率分布直方圖，發現這些數據都具有中間高兩邊低的特點. 
既然這么多數據都具有中間高兩邊低的特點，我們有必要進一步研究它們的分布規律，教師引導學生畫數據的頻率分布折線圖，并思考下面問題. 
問題6：畫出身高、體重、成績等數據的頻率分布折線圖，隨著試驗次數增加或組距不斷縮小，觀察頻率分布折線圖有何特點？ 
 
                    
             
                    
                            組內討論交流后，以小組選派的代表的方式請1-2名學生展示. 
預設學生活動：隨著試驗次數增加或組距不斷縮小，頻率分布折線圖的形狀也越來越光滑.  
【設計意圖】為引入新知搭橋鋪路，為了讓學生由特殊到一般歸納正態曲線的概念做鋪墊，同時也說明了正態分布在概率統計理論和實際應用中都占有重要的地位. 
（二）正態曲線 
對鐘形曲線有了初步的認識，如何由鐘形曲線得到正態曲線. 
  
活動4：教師用計算機演示 
教師借助幾何畫板演示，引導學生思考當試驗次數增加或組距不斷縮小時，頻率分布折線圖有什么變化特點？ 
預設學生活動：頻率分布折線圖越來越光滑，越來越像一條曲線. 
【設計意圖】這個步驟實現了由離散型隨機變量到連續型隨機變量的過渡，突破學生由離散到連續認知上的障礙.通過幾何畫板讓學生直觀形象地感受正態曲線的形成過程.  
問題7：生活中我們是否見過類似形狀的東西？ 
預設學生活動：象我們生活中的鐘、鈴鐺等類似形狀的東西，我們稱之為鐘形曲線. 【設計意圖】引導學生，逐步經歷概念的形成過程，初步體會正態曲線的特點. 
 
                    
             
                    
                            對于這條鐘形曲線，早在十八世紀30年代，棣莫弗、斯特靈等數學家經過十幾年的努力，應用求導、
對數、無窮級數、積分、變量代換等數學方法就推導出這條鐘形曲線就是函數的圖象，其中
和
（
）為參數，我們稱
的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.  
【設計意圖】對高中生學生來說，正態分布密度函數的推導是十分困難的，因此，從數學史的角度介紹正態分布密度曲線的解析式，既使學生易與接受又滲透了數學文化. 
在對正態曲線認識的基礎上進入理性分析，得到正態分布的概念. 
（三）正態分布 
知道了小球的分布規律是正態曲線，為了引導學生由正態曲線認識正態分布設計了下面的問題. 問題8：一個小球從高爾頓板口落下，會落在哪？為什么？ 
預設學生活動：一個小球從高爾頓板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中間的可能性大，概率大. 
問題9：如何計算小球落在某個區間內的概率？ 
引導學生思考當試驗用的小球很小時候如何刻畫小球的具體位置，學生能夠想到用坐標，采用小組討論的方式探究如何建立適當的坐標系，以及如何計算小球落在某個區間
的概率.教師巡視并參與學生
的討論，做適當的指導.這樣就需要我們建立適當的坐標系，如果去掉高爾頓板最下邊的球槽，沿高爾頓板底部建立一個水平坐標軸，刻度單位為球槽的寬度，若用表示落下的小球第1次與高爾頓板底部
接觸時的坐標. 引導學生認識
是一個隨機變量，這樣計算小球落在某個區間
的概率，就是求
.引導學生回憶頻率分布直方圖是用面積來表示概率的，這樣學生能夠結合定積分和概率的
知識，想到用曲邊梯形的面積計算概率，進一步可以對求定積分來求曲邊梯形的面積，這樣曲邊梯形的面積就是小球落在某個區間
的概率的近似值，即
＜
≤
≈
.  
 
                    
             
                    
                              
進一步引導學生思考，此公式是不是只對特殊的和成立.學生可以發現對于任意的實數和（
＜），隨機變量都滿足＜≤≈. 
【設計意圖】正態曲線的意義是本節課的重點也是本節課的難點，通過設疑，引起學生對問題的深入思考，通過復習、鞏固原有知識，以確保新內容的自然引入，同時加深了對定積分幾何意義的理解.以舊引新，雖然概念較抽象，但這樣的處理過程學生不會覺得太突兀，易于接受新知識，引導學生逐步揭示正態曲線的意義.同時培養了學生把前后知識聯系起來進行思維的習慣 
表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標，
是一個隨機變量，請同學們通過下面的
問題總結
是什么樣的量？引入連續性隨機變量。 
【設計意圖】分析的特點以及影響的因素，突破學生認知上的障礙，初步體會什么樣的隨機變
量
服從或近似服從正態分布. 
由學生給出描述小球分布規律的正態分布的定義，教師給與補充進一步完善正態分布的概念. 
一般地，如果對于任何實數，（＜），隨機變量滿足 
＜≤＝，  
則稱隨機變量服從正態分布，記為～，參數可以用樣本的均值估計，可以用樣本的
標準差估計.  
在現實生活中，長度測量誤差，某一地區同齡人群的身高、體重、肺活量等，一般都服從正態分布. 正態分布廣泛存在于自然現象、生產和生活實際中，正態分布在概率和統計中占有重要的地位.因此，在對概念有初步認識的基礎上，就需要我們提升認知，探究正態曲線的特點. 
 
                    
             
                    
                            【設計意圖】體會正態分布廣泛存在于自然界、生產和生活實際之中，正態分布在概率統計中占有重要的地位. 
三、探究曲線特點 
正態曲線一方面是函數的圖象，另一方面正態曲線是刻畫隨機變量的概率
分布規律，因此我們可以從函數和概率兩個方面探究正態曲線的特點. 
問題11：結合的解析式及概率的性質，說一說正態曲線都有哪些特點？ 
預設學生活動：學生可以從函數的定義域、最值和對稱性等方面探究曲線的特點，也可以利用圖形計算器，畫出函數的圖象探究曲線的特點. 
  正態曲線特點 
（1） 曲線位于軸上方，與軸不相交 （2） 曲線是單峰的，它關于直線
對稱 
（3） 
曲線在
處達到峰值 
（4） 
曲線與軸之間的面積為1 
為了調動學生的探究熱情，采用組內合作，組間競爭的學習方式，分組討論后采用小組選派代表的方式交流探究成果. 
【設計意圖】加深對正態曲線特點的認識，鍛煉了學生表達能力.采用生生互動小組合作學習，培養學生的合作精神和競爭意識. 
問題12：正態分布中的參數和可以用樣本的均值和標準差去估計，正態分布完全由和確
定，如何研究兩個參數對正態曲線的影響？具體如何操作？ 
預設學生活動：需要控制變量，讓（或）固定，作出（或）取不同值的圖象，觀察正態曲
線的變化. 
 
                    
             
                    
                            當一定時 曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移 
當
一定時 
曲線形狀由
確定， 
越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中； 
越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散 
讓學生明確任務之后請同學們分組討論完成正態曲線特點的探究，考慮到各組的水平可能有所不同，教師巡視，對個別組做適當的指導. 
【設計意圖】讓學生通過自主探索、小組合作交流的方式探究正態曲線的特點，突出了本節課的重點，也調動了學生學習的熱情和主動性，提高合作交流的意識和能力. 四、3原則 
  
 
 列舉生活中的實例，如床的長度，食品的保質期等等，讓學生充分體會數學與生活的聯系。 
五、例題展示 
例1： 在一次測試中，測量結果X服從正態分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)內取值的概率為0.2，求： 
  (1)X在(0,4)內取值的概率. 
;
                   XP;
                   22
XP.
                   33XP.
由圖可知，正態分布幾乎總取值于區間               
之內,而在此區間以外取值的概率只有0.0027, 由于這些概率值很小（一般不超過5％），通常稱這些
情況發生為小概率事件.通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生.  
3,3
                    
             
                    
                              (2)P(X＞4)． 
例2、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 
例題用pad發送給學生，學生直接在pad上作答，提交之后展示正確解法，規范步驟。 
六、歸納小結  
為了進一步培養學生的概括和語言表達能力，課堂小結設置了3個問題： 
（1）本節課我們學習的知識有哪些？ 
（2）在正態曲線、正態分布概念的得出和正態曲線特點的探究上，我們用了哪些研究問題的方法，體現了哪些數學思想？ 
(3)3原則是什么？ 七、當堂檢測 
1．設兩個正態分布N(μ1，21  )(σ1＞0)和N(μ2，2
2  ) 
(σ2＞0)的密度函數圖象如圖所示，則有 (   ) 
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2   B．μ1＜μ2，σ1 ＞ σ2 
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2    D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 
 
 
                    
             
                    
                            我們用一節課的時間認識了正態曲線及其所表示的意義，事實上，從歷史上看，正態分布從1733年問世到作為分析統計數據的概率模型經歷了100多年，經過棣莫弗、高斯、凱特萊和高爾頓等很多科學家的辛苦努力.課后請同學們查閱相關的資料，了解正態分布的發展史.

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