視頻標簽：基本不等式

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版高中數學選修4-5第一講1.1.2基本不等式-甘肅省優課

本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服

1.1.2 基本不等式 
 
一、教學目標 
1、學會推導并掌握基本不等式，用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程;理解它的幾何意義，掌握基本不等式等號成立條件 ；（重點）       
2、會應用基本不等式解決一些簡單的實際問題；（難點） 
3、滲透“化歸與轉化”的數學思想，提高運算能力和邏輯推理能力。經歷幾何與代數的結合運用，體會各種事物之間的普遍聯系。 
二、課時安排 1課時 三、教學重點 
理解定理1和定理2(基本不等式)． 四、教學難點 
掌握用基本不等式求一些函數的最值及實際的應用問題． 五、教學過程 （一）導入新課 
(導入語)在必修五中我們已經學習了重要不等式和基本不等式，同學們還記得它們的內容是什么？常可以用來干什么？ 
定理一（重要不等式）：如果
那么當且僅當a=b時取“=” 
定理二（基本不等式）：如果 a,b是正數，那么（當且僅當a=b時
取“=”） 
本節課我們進一步從數和形兩方面來認識這兩個不等式，體會在解題當中的作用即注意事項。 
（二）講授新課 
1.定理一的代數證明（由學生完成）（作差法）： 
0)(2222baabba 
abba222，當ba時取等號．  
,abR
22
2ababab
b
a2
                    
             
                    
                            2. 定理一的幾何解釋 
如圖：正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b，其面積分別為多少？       長方形DCJI和長方形BCGH的長和寬都是a和b,其面積分別為多少？       兩個正方形的面積和與兩個長方形的面積和有什么關系？ 
    3.如果0,0ab,我們用,ab分別代替,ab,可得什么不等關系? 
abb
a2
 【證明】由于Rba,，于是要證明  
abb
a2
， 只要證明  abba2，  即證  22()()20abab， 即  0)(2ba，該式顯然成立，所以
abb
a2
，當ba時取等號． 4．你能通過下列方案,得到上述不等式的幾何解釋嗎? 
如圖,AB是圓的直徑,點C是AB上一點, ,ACaBCb,過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD. 
【分析】根據射影定理可得：abBCACCD  
由于RtCOD中直角邊CD斜邊OD， 
于是有2
b
aab 
當且僅當點C與圓心O重合時，即ba時等號成立． 故而再次證明： 當0,0ba時，2
b
aab
（當且僅當ba時，等號成立） abE
D
O
A
B
C
 
                    
             
                    
                            （進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性） 
5.你能給出基本不等式的其他解釋嗎？ 
6.我們把
2
ab
叫做正數,ab的算術平均數,把ab叫做正數,ab的幾何平均數.請用這兩個概念描述上述不等關系. 
兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數 7我們把
2
ab
看做正數,ab的等差中項,把ab看做正數,ab的等比中項.請用這兩個概念描述上述不等關系. 
兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項 
（三）、應用舉例 
（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？ 
（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 1.解決上述問題。 
解：(1)設該矩形的長、寬分別為x米、y米，則根據題意有：xy=100 由基本不等式可知：2xyxy（等號在x=y時取得） 所以當x=y=10時，x+y有最小值20 
答：這個矩形的長、寬分別為10米時，所用籬笆最短，最短的籬笆是20米。 (2) 設該矩形的長、寬分別為x米、y米，則根據題意有：2x+2y=36，即x+y=18
[來
源學#科#網Z#X#X#K]
 
由基本不等式可知：2xyxy（等號在x=y時取得） 所以2
(
)812
xyxy，等號在x=y=9時取得 答：這個矩形的長、寬分別為9米時，菜園的面積最大，最大面積是81平方米。 
由這個例子可以得到如下結論： 
（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大； （2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。  
例2、某居民小區要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖如圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200平方米的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為每
 
                    
             
                    
                            平方米210元，再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為每平方米80元。 
 
（1）設總造價為S元，AD長為x米，試建立S關于x的函數關系式； （2）當x為何值時S最小，并求出這個最小值。  
規律總結： 
設出變量――→建立數學模型――→定義域利用均值不等式求最值――――→“＝”成
立的條件結論 （四）歸納小結 
基本不等式—
 
—定理的理解
—證明不等式—求最值—實際應用
 
六、板書設計 
1.1.2基本不等式 
1．兩個定理  
例1： 例2： ： 
 
學生板演練習 
七、作業布置 
習題1.1 5，10，13，14

視頻來源：優質課網 www.www.fsyixinda.com -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“基本不等式”其中的單個詞或詞組，搜索以字數為3-6之間的關鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“人教A版高中數學選修4-5第一講1.1.2基本不等式-甘肅省優課”，所屬分類為“高中數學優質課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“人教A版高中數學選修4-5第一講1.1.2基本不等式-甘肅省優課”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優質課網 的成長和發展，離不開您的支持，感謝您的關注和支持！有問題請【點此聯系客服QQ：983228566】 -----