視頻標(biāo)簽：基本不等式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-5第一講《基本不等式》浙江省優(yōu)課

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《基本不等式》教學(xué)設(shè)計 
 
 
一、教材分析 
1. 地位與作用 
本節(jié)課是人教版（A版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書選修4-5不等式選講第一講《不等式與絕對值不等式》的第二節(jié)內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容教材共分兩課時，第一課時主要證明兩個定理，理解它們的幾何意義，簡單應(yīng)用不等式解決函數(shù)的最值問題，第二課時主要應(yīng)用兩個定理證明不等式以及求一些復(fù)雜函數(shù)的最值問題，解決一些生活中的實(shí)際問題。本節(jié)課是第一課時，是前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的延續(xù)，同時又為求更復(fù)雜的函數(shù)最值問題，以及證明不等式作鋪墊。 2. 學(xué)情分析 
學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了必修5的基本不等式 ，因此通過提問的形式讓學(xué)生回憶前面學(xué)過的重要不等式，然后為了學(xué)習(xí)方便，將它以定理的形式給出，既讓學(xué)生回憶起了不等式又從代數(shù)的角度證明了定理，然后通過一個折紙實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生從形的角度理解了定理1，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)基本思想。 
二、教學(xué)目標(biāo) 
1. 知識與技能 
理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。提升了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。 
2.過程與方法 
按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 代數(shù)驗(yàn)證→ 幾何解釋→ 應(yīng)用的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。提升了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 
3.情感態(tài)度與價值觀 
通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。 
 
                    
             
                    
                            三、教學(xué)重難點(diǎn) 
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式)0,0(2
bab
aab。 難點(diǎn)：基本不等式成立時的三個限制條件。 
四、教法分析 
本節(jié)課采用啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對基本不等式的理解。 
五、教學(xué)準(zhǔn)備 
多媒體課件、正方形紙片。 
教學(xué)過程 
一、設(shè)置問題，新課引入 
  在必修5我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式，前面我們學(xué)習(xí)了基本不等式的性質(zhì)，掌握了利用作差法比較兩個數(shù)的大小，現(xiàn)在請同學(xué)們比一比2
2
ba和ab2的大小，既回顧了上一節(jié)的內(nèi)容，又給出了重要不等式，同時也證明了不等式，為了方便同學(xué)們學(xué)習(xí)，我們將它以定理的形式給出，引出新課。 
【設(shè)計意圖】通過學(xué)生熟悉的問題，自然的給出了重要不等式，引出了新課，提升邏輯推理素養(yǎng)。 
二、新知建構(gòu)，形成體系 
定理1 如果Rba,，那么abba22
2，當(dāng)且僅當(dāng)ba時，等號成立。 
接下來我們通過一個實(shí)驗(yàn)，從幾何圖形的角度驗(yàn)證定理1 折紙游戲：準(zhǔn)備兩張大小不同的正方形紙片 
步驟1：將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形； 
步驟2：用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）； 
步驟3：假設(shè)兩個正方形的面積分別為 2a和2
b（ba），考察兩個直角三角形的面
積之和與矩形面積的大小關(guān)系，我們可以直觀的得出
)0,0(2
2
2baabba 
                    
             
                    
                            【設(shè)計意圖】通過實(shí)驗(yàn)，鍛煉了學(xué)生分析、觀察、總結(jié)問題的能力，又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 
問題1：如果我們將上述式子中的a用a，b用b來代替，那么會得出什么結(jié)論呢？ 定理2（基本不等式）如果,0,ba那么abb
a2
，當(dāng)且僅當(dāng)ba時等號成立 問題2：ba,可以取其它值嗎？ 
問題3：你能用作差法證明這個定理嗎？ 如果ba,都是正數(shù)，我們就稱
2
b
a為ba,的算術(shù)平均，ab為ba,的幾何平均，于是，基本不等式可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。 
問題4：下面我們討論基本不等式的幾何意義，我們看下面的幾何圖形，得出幾何意義  
                            ,,,,900bBDaADABCDACB____________
CDOC 基本不等式的幾何意義：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高 問題5：你還能得出基本不等式幾何意義的不同解釋嗎？ 三、小試牛刀 練一練 
的最大值
求、已知的最小值求、已知xybyxyxyxaxyyx,,0,02,,0,01 
注意   四、綜合應(yīng)用，能力提升 例1、（1）已知1x，求1
1
xxy的最小值；     （2）已知2
3
0
x，求)23(xxy的最大值。 分析完（1）之后，請學(xué)生對它進(jìn)行變式，可以改條件，可以改問題，并解出來。 例2、已知0,0yx且
19
1y
x，求yx的最小值 變式：1.已知,1yx求
19
1y
x的最小值。 C 
A O D 
B “ :使用定理的前提條件以及等號成立的要求。 
                    
             
                    
                            2. 已知10x，求
x
x191的最小值。 【設(shè)計意圖】通過對題目的變式，加深對應(yīng)用不等式解決最值問題的理解 高考題欣賞 
____2),2,1()0,0(12017(1的最小值為則過點(diǎn)年山東卷文）若直線
、babab
y
ax    
_____
8
1
2,063,,2018(2的最小值為則且年天津卷文）已知、babaRba
 
思考題： 
.
_________,,3,122的最小值為的最大值為則滿足、若實(shí)數(shù)ababbababa)0,0(22112
222bababaabb
a、證明 
【設(shè)計意圖】通過這個思考題對定理1有進(jìn)一步的認(rèn)識 
五、課堂總結(jié)，經(jīng)驗(yàn)升華 
1.兩個定理 
2、基本方法：利用基本不等式求最值； 3、數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想 
六、布置作業(yè)，鞏固提高 
習(xí)題1.1：5,6,7,8,9,10,13,14 
七、板書設(shè)計 
基本不等式 
定理1 
定理2（基本不等式）   
例1    例2 高考題 課堂總結(jié) 
八、教學(xué)反思 
  課堂中充分調(diào)動了學(xué)生利用已有知識和技能去探究新知，學(xué)生的綜合思維能力得到了培養(yǎng)。其次，突出學(xué)生的主體地位，整節(jié)課堂始終以學(xué)生為主體，教師始終是參與者、引導(dǎo)著、
 
                    
             
                    
                            解答疑惑者。讓學(xué)生充分的展示自己的學(xué)習(xí)成果，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及語言表達(dá)能力。但是在學(xué)生變題活動中，由于時間有限探究還不夠充分，需要今后進(jìn)一步改進(jìn)。 

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