視頻標簽：幾何畫板,探究點的軌跡,橢圓

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學選修1-1第二章1《幾何畫板》探究點的軌跡—橢圓-湖南省 - 邵陽

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《幾何畫板》探究點的軌跡——橢圓教學設計 
一、 背景分析： 
本節(jié)課是在學生學習完了橢圓定義及其標準方程、橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎上進行
的；是對橢圓性質(zhì)（離心率）在應用上的進一步認識；著重引出橢圓的第二定義、準線方程，掌握橢圓定義的應用。教學中力求以教師為主導，以學生為主體，充分結(jié)合多媒體技術，以“形”為誘導，以橢圓的二個定義為載體，以培養(yǎng)學生的思維能力、探究能力、歸納總結(jié)的能力以及等價轉(zhuǎn)化思想為重點的教學思想. 
二、 教材的地位和作用： 
圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，而橢圓又是高考的熱點問題之一；能否學好橢圓
的定義、標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)，是學生能否比較系統(tǒng)地學好另外兩種圓錐曲線的基礎，甚至是學生能否學好解析幾何的關鍵。而橢圓在教材中具有“承上啟下”的作用，從圖形和第一定義來看橢圓與圓比較接近，從而對于學生來說學習完圓后再學習橢圓比較容易接受；而橢圓的第二定義即“到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡”，正好可以把橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線有機地統(tǒng)一起來，使學生對圓錐曲線有個整體知識體系，所以說這個定義在整章起到了一種“紐帶”的作用. 
三、 學法指導： 
以問題為誘導，結(jié)合圖形，引導學生進行必要的聯(lián)想、類比、化歸、轉(zhuǎn)化. 
   
四、教學目標 
知識目標：橢圓第二定義、準線方程； 
能力目標： 
1、使學生了解橢圓第二定義給出的背景； 
          2、了解離心率的幾何意義； 
          3、使學生理解橢圓第二定義、橢圓的準線定義；           4、使學生掌握橢圓的準線方程以及準線方程的應用；           5、使學生掌握橢圓第二定義的簡單應用； 
情感與態(tài)度目標：通過問題的引入和變式，激發(fā)學生學習的興趣，應用運動變化的觀點看待
復習回顧 問題推廣 引出課題 
典型例題 
課堂練習 歸納小結(jié) 
                    
             
                    
                             
2 
問題，體現(xiàn)數(shù)學的美學價值. 
五、教學重點：橢圓第二定義、準線方程； 六、教學難點：橢圓的第二定義的簡單運用； 
七、教學方法：創(chuàng)設問題、啟發(fā)引導、探究活動、歸納總結(jié). 八、教學過程 
（一）、概念重溫 
1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是  A.橢圓       B.雙曲線       C.拋物線    D.圓     
（二）新知引例 
2．點M與定點F（2，0）的距離和它到定直線 l:  x=8  的距離的比為1:2,求點M的軌跡方程.（課本50頁B組第3題） 
求軌跡方程的基本步驟： 建、設、限、代、化、驗 
（請學生自己探索，并引導學生從以前學的求曲線方程的方法進行證明，請學生板書） 證明過程： 設d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合||1
|
2
MFPMd禳镲
==睚镲鉿
 由此得
()2
2
21
|8|
2
xyx-+=
-， 將上式兩邊平方，并化簡，得
22
11612
xy+= 這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為8、4的橢圓。（如圖所示）  
【設計目的】  
通過“前節(jié)課的例題”一方面引導學生注意對前面學過的知識的反思和鞏固。另一方面想通過數(shù)學符號與文字語言的互譯讓學生自己注意命題“橢圓上的一點到焦點的距離可以表示成橫坐標的函數(shù)”然后再由這個函數(shù)關系推導出橢圓的標準方程，這樣對于學生來說可能就不會那么突然地給出那么多巧合的數(shù)據(jù)了。  
（三）新知探究 
問題：F是定點，l是不經(jīng)過F的定直線，動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離比e是小于1的常數(shù)。猜想M的軌跡是什么？ 
 
M 
L 
F1 
F2 
L’ 
 
                    
             
                    
                             
3 
 
發(fā)現(xiàn)：M的軌跡是橢圓 
1、 橢圓的定義（第二定義） 
定義：平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線 l （F不在 l上） 的距離的比為常數(shù)e(0<e<1)的點M的軌跡，叫橢圓。定點F叫焦點，定直線 l 叫準線。 2、 定義式：
11||MFed=或22
||
MFed=（左對左，右對右） 3、 橢圓的標準方程與準線方程 
（1） 焦點在x軸  
左準線方程：22221(0)xyabab+=>>2
axc
=- 
右準線方程：2
axc
= 
（2） 焦點在y軸 
22
2
21(0)yxabab
+=>> 上準線方程：2
ayc
= 
下準線方程：2
ayc
=- （四）知識應用 
例1.已知橢圓22
221(0)xyabab
+=>> 的右焦點為 F(c,0)，M(x0,y0)是橢圓上任意一點，求|MF|
的最大值與最小值，并寫出相應點M的坐標 解：思路1     用幾何畫板直觀感受
 
思路2     用所學知識推理證明 
結(jié)論：當M(-a,0) 時MF最大，最大值是a+c  
當M(a,0) 時MF最小，最大值是a-c 
 
例2.若橢圓：22
143
xy+=內(nèi)有一點 P(1，-1),F為右焦點，橢圓上有一點M，求
|MP|+2|MF|的最小值及此時點M的坐標  
 
 
 
                    
             
                    
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（四）課堂小結(jié) 
1、本節(jié)課我們學習了哪些知識 (1)橢圓的第二定義；  
(2)橢圓的準線方程與焦半徑公式  （五）課堂練習 
1.橢圓
22
110036
xy+=上一點P到右準線的距離是10，求P到左焦點F的距離。 2.已知橢圓滿足：1
2
e=
，右準線方程為4x=，求橢圓的標準方程。 解：1、記橢圓的左右焦點分別為21,FF到左右準線的距離分別為21,dd 由橢圓的第二定義：
22
||
PFed=，所以
2||81010PF=，得2||8PF=  又由橢的第一定義可知：12||||220PFPFa+==，所以1||12PF= 
【小結(jié)】橢圓第二定義的應用和第一定義的應用；注意橢圓中的幾個定值的靈活使用， 
2、由12cea==，準線24axc==得
22
143
xy+=  【小結(jié)】注意準線方程給出的信息，焦點的位置和2
ac
的值； 
【設計目的】通過例題教學，使學生掌握橢圓標準位置時準線方程的兩種形式，能根據(jù)標準方程寫出其準線方程，能結(jié)合第一定義與第二定義解題，并能將第二定義應用到與距離有關的問題中，靈活進行距離的轉(zhuǎn)化，深刻體會數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想。 
 
（六）、課后作業(yè) 
1、（思考） 已知 ， 為橢圓 上的兩點， 是橢圓的右焦點．若 
， 的中點到橢圓左準線的距離是 
，試確定橢圓的方程． 
（七）、板書設計： 
引例推導過程  
橢圓第二定義 
 
典型例題 1． 2．  
課堂練習：  
課堂小結(jié)：  
課后作業(yè)：  
思考： 
 
                    
             
                    
                             5 
 
《幾何畫板》探究點的軌跡——橢圓公開課反思 
《幾何畫板》探究點的軌跡——橢圓在教材中是利用信息技術應用的形式給出的，我想采取習題與推廣的形式先給出一個命題“橢圓上的一點到焦點的距離可以表示成橫坐標的函數(shù)”然后再由這個函數(shù)關系推導出橢圓的標準方程，這樣對于學生來說可能就不會那么突然地給出那么多巧合的數(shù)據(jù)了。也從而引導學生要注意課本上的習題加以反思，立足教材。橢圓的第二定義其實在圓錐曲線這一章來說是非常重要的同時也是一個難點，而正是“比值定義”可以把圓錐曲線的三種形式有機的統(tǒng)一起來。 
教本節(jié)課采用多媒體信息技術教學，可大大增加本節(jié)課的容量與直觀感受，通過“習題與推廣”引導學生要對一些習題加以反思，通過數(shù)學符號與文字語言的互譯讓學生自己寫出命題，從而激發(fā)學生學習的興趣。同時結(jié)合多媒體尤其是幾何畫板的動畫功能吸引學生的注意力，加深對“比值定義”的理解。但在實際操作過程中，講解新課的速度太快，學生的思維還比較難跟上來，在講解例題時，給學生思考的時間太短了，另外還要注意板書設計的合理性。 
總之，做為一名教師，要對教材進行反復地研究，多參考一些教師用書吸取別人的長處，多向老教師學習，多與同事交流，要善于改變自己平時的傳統(tǒng)教學思維，大膽創(chuàng)新，努力學習，不斷地探索，不斷反思。不斷加強業(yè)務素質(zhì)和教研能力，完善自己，提高素質(zhì)。在教學過程中一定要注意學生的思維能力，加強如何對學生進行啟發(fā)性的引導，從而真正使學生能進行主動思考，充分體現(xiàn)學生的主體性，教師的指導性。

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