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視頻標簽：幾何畫板,點的軌跡橢圓
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修1-1第二章用《幾何畫板》探究點的軌跡橢圓-四川省 - 成都
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用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓
教學設計
一、教學內容分析
本節課是人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修1-1第二章2.1橢圓中的信息技術應用。教材內容是讓學生通過《幾何畫板》演示，感受其變化，獲得點與直線的相對位置的變化并不影響動點的軌跡仍是一個橢圓，其實質就是橢圓的第二定義。當然，此內容可以和前面橢圓的第一定義完美的結合一起。現行教材中增加一些探究性問題的目的，就是要促使學生親自動手去發現、提出、解決一些數學問題，有利于增強學生的綜合素質。個人認為，開展探究性問題的教學目的并不在于獲得一個具體的數學結論或答案，而在于整個學習過程給學生所帶來的積極影響，也是研究數學的一種思路和方法。沒有固定的模式，沒有可以借鑒的經驗，要開展這樣的探究性問題的教學，一切都是“摸著石頭過河”。本節課就利用《幾何畫板》軟件對橢圓的四種生成方式進行發散思維的一個教學設計，也是對開展數學探究性問題作一些思考和探索。 二、學情分析
1．該班學生是高二文科生，數學基礎整體一般。 2．學生已學完橢圓的定義及其基本性質，但是對涉及動態的軌跡問題沒有立體畫面感，急需本節幾何畫板動態演示來充實、答疑和解惑！ 三、教學目標分析
（1）知識與技能：使學生了解《幾何畫板》的作用，理解并掌握應用《幾何畫板》探究點的軌跡的方法。
（2）過程與方法：先利用《幾何畫板》可以動態追蹤的優勢，直觀的去感受所形成的點的軌跡（橢圓），再用代數的方法進行求解或證明。應用化歸與轉化的思想，體驗數形結合的學習方法。
（3）情感態度與價值觀：了解數學文化，激發學生對宇宙科學的興趣，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，堅定學生學好數學的信心。 四、教學重點和難點
教學重點：用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓。 教學難點：橢圓的四種生成方式。 五、教學過程與教學資源設計
教學環節
教學內容 師生互動 設計意圖 導
入
新
課
觀看一段關于開普勒發現行星的軌道是橢圓形的視頻，指出本節課將追隨他的足跡，應用先進的教學軟件《幾何畫板》從不同的角度去探究點的軌跡：橢圓
觀看視頻，回顧橢圓的畫法和第一定義 體驗數學文化，聚焦核心素養，激發學生的學習興趣
深入理解 【探究1】課本第42頁習題2.1A組第7題 如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？
由一位學生運用《幾何畫板》動態演示，觀察點Q的軌跡，并進行嚴格證明。
引導學生直觀感知，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡，體驗《幾何畫板》的作用，加深對橢圓第一定義的理解。
拓展研究
【探究2】課本第34頁例2改編
如圖，PDx軸，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？
追問：若圓的半徑為2，能否寫出點M的軌跡方程？
首先猜想，再用
《幾何畫板》動態
演示，最后給出理
論證明。
挖掘本質：圓上點的橫坐標不變，縱坐標按固定比例縮放，從而得到橢圓，與純理論相比較，《幾何畫板》的動態演示更加直觀明了。
類
比
探
究
【探究3】課本第43頁習題2.1B組第1題改編
如圖，DPx軸，點M在DP的延長線上，且
3
2
DMDP
，當點P在圓上運動時，點M的軌跡是什么？ 追問：若圓的半徑為2，能否寫出點M的軌跡方程？
教師演示，學生類比探究，歸納總結：將圓按照某個方向均勻地壓縮或拉伸，可以得到橢圓.
比較不同的伸縮方式，產生了焦點分別在x軸和y軸上的橢圓
MQR
Ox
y
P合作探究 【探究4】如圖是兩個半徑分別為a,b
的同心圓，半徑為a的大圓上任取一點P，PQx軸連接OP交小圓于點R，過R作PQ的垂線，垂足為M，當點P在大圓上運動時，點M的軌跡是什么？
追問：能否寫出點M所成軌跡的參數方程與直角坐標方程？ 由學生利用《幾何畫
板》動態演示點M的
軌跡，并完成追問，
寫出點M所成軌跡
的參數方程與直角坐標方程。
其實質為橢
圓參數方程
的形成過
程，進一步
鞏固橢圓的參數方程與直角坐標方程的表達形式。 探
究發現
【探究5】課本第41頁例6
已知點(,)Mxy與定點(4,0)F的距離和它到直線25:4lx
當的距離的比是常數4
5
，求點M的軌跡方程。
教師利用《幾何畫
板》動態演示點M的軌跡，學生根據條件求出點M的軌跡方程
為橢圓的第二定義做好鋪墊。 抽象概括 若點(,)Mxy與定點(,0)Fc的距離和它到
定直線2
:alxc
的距離的比是常數(0)caca，求點M的軌跡方程。
教師利用《幾何畫板》動態演示一般
情況下點M的軌
跡，類比探究5的
方法求出點M的
軌跡方程。
由特殊到一般，讓學生
歸納總結出
橢圓的第二
定義。
M
QROx
y
P
總結提高
學生總結，教師補充，牢記數學歷史，感受數學文化，學會應用《幾何畫板》探究數學問題。
讓學生學會歸納整理，形成知識體系。
課后作業 1.你可以獨立完成下列任務嗎？
用類似的方法探究點的軌跡--雙曲線、拋物線！ 2.繼續堅持：在學習數學的過程中，學會欣賞數學，應用數學，體驗魅力無
窮的數學之美！
學生獨立完成，學
會堅持，培養良好
的學習習慣。
提高學生的數學學科核
心素養，培
養分析問
題，解決問題的能力。
課
后
反
思
本節課通過觀看開普勒發現行星的運行軌道是橢圓這一視頻入手，引出探究點的軌跡：橢圓這一主題，激發了學生的學習興趣，提高了學生的數學學科核心素養。整節課通過五個探究和相應追問構成：首先給出問題，進行猜想，然后利用《幾何畫板》給予直觀的動態演示，對猜想進行佐證，最后再從坐標系的角度，用代數的方法進一步去表示幾何關系。
借助《幾何畫板》，緊緊圍繞教學目標，以橢圓的四種生成方式為主線展開本節課，基本上達到了預設，而且學生對這樣的上課方式也感到新鮮，《幾何畫板》為數學課注入了生命力. 關注學生核心素養的提升，以問題驅動方式促進學生思考、探究、解決問題。一方面，通過《幾何畫板》不斷地向學生滲透數形結合的思想，另一方面發揮《幾何畫板》的實驗功能，鼓勵學生提出問題、大膽猜想、探究問題、解決問題，最終得到橢圓的四種生成方式.
本節課的不足，在設計上應該更為恰當合理地分配時間，給學生更多的自主時間，另外，由于《幾何畫板》安裝在教師設備上，所以只有極少的學生能夠親自操作演示，設備的選擇有待改善.
通過教學反思，提升教學技能，提高教學質量。
視頻來源：優質課網 www.www.fsyixinda.com
