視頻標(biāo)簽：橢圓及其,標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章第二節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》甘肅

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人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章第二節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》甘肅省- 高臺(tái)

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、教材分析 
《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章第二節(jié)2.2.1中的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用 “曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實(shí)例．從知識(shí)上說，它是對(duì)前面所學(xué)的求曲線的方程的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說，它為我們后面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)．因此，這節(jié)內(nèi)容有承前啟后的作用．《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》分兩課時(shí)完成．第一課時(shí)講解橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種基本方法，即待定系數(shù)法和定義法；第二課時(shí)講解運(yùn)用中間變量法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本思路．本節(jié)課是第一課時(shí)，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一． 二、學(xué)情分析 
在學(xué)習(xí)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，用坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識(shí)．但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長、學(xué)習(xí)程度也較淺，從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學(xué)生思維上存在障礙，在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)遇到困難．如：根據(jù)圓的定義類比猜想，學(xué)生對(duì)含有兩個(gè)根式之和等式化簡(jiǎn)的運(yùn)算還比較生疏，因此去根式的策略選擇不當(dāng)?shù)仁菍?dǎo)致“標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”成為學(xué)習(xí)難點(diǎn)的直接原因． 三、課型     新授課 四、教學(xué)目標(biāo)  
1．知識(shí)與技能：  
（1）了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用． 
（2）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．過程與方法： 
（1）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，培養(yǎng)學(xué)生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力． 
 
                    
             
                    
                             
2 
（2）通過對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)及其方程的推導(dǎo)，加強(qiáng)用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想． 
3．情感態(tài)度與價(jià)值觀： 
（1）通過情景導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，并讓學(xué)生受到愛國主義思想的教育． 
（2）通過主動(dòng)探究、合作學(xué)習(xí)，相互交流，感受探索的樂趣和成功的喜悅，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，養(yǎng)成契而不舍的鉆研精神。． 
（3）通過已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的原則及引入?yún)��?shù)b的意義，培養(yǎng)學(xué)生用對(duì)稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美． 五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)   
重點(diǎn)：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想． 難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用． 六、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì) 
1．教法設(shè)計(jì)：?jiǎn)�發(fā)式教學(xué)． 
在課堂教學(xué)中堅(jiān)持以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，思維訓(xùn)練為主線，能力培養(yǎng)為主攻的原則． 
2．學(xué)法設(shè)計(jì)：自主探究，合作交流． 
鼓勵(lì)學(xué)生大膽類比，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，自主探究，抽象出橢圓定義．課堂上合作交流，用坐標(biāo)法探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程．  
3．教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)． 
借助微課視頻、實(shí)物投影、PPT課件、幾何畫板演示，有利于引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增大知識(shí)信息的容量，使內(nèi)容充實(shí)、形象、直觀，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量． 七、教學(xué)資源與工具設(shè)計(jì) 
1．多媒體教室． 2．視頻、幾何畫板九、教學(xué)過程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 （一） 情境 引入， 展示 目標(biāo) 
神州十號(hào)載人飛船
發(fā)射及與我國的第一個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室天宮一號(hào)的對(duì)接視頻，橢圓的實(shí)物圖片，展示學(xué)習(xí)目標(biāo)． 
教師播放
視頻，PPT課件展示橢圓
的實(shí)物圖片，引入新課，展示學(xué)習(xí)目標(biāo)，觀看視頻，結(jié)合課前查閱的資料回
答“神州十號(hào)”繞地運(yùn)
行的軌道．觀
關(guān)注現(xiàn)代科技發(fā)展，緊貼教學(xué)內(nèi)容。不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，勉勵(lì)學(xué)生
初步應(yīng)用，強(qiáng)化理解 
自我評(píng)價(jià)，反饋提高 歸納總結(jié)，提煉升華 布置作業(yè)，延伸課堂 合作探究，推導(dǎo)方程 歸納概括，方程特征 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì) 
交流展示，形成概念 
情境引入，展示目標(biāo) 
回顧舊知，類比猜想 
 
                    
             
                    
                             4 
 板書課題． 看實(shí)物圖片，從感性上認(rèn)識(shí)橢圓．      
勤奮學(xué)習(xí)，而且讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，受到愛國主義思想的教育，建立正確的價(jià)值觀。讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察生活，發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)信息． 
（二） 回顧 舊知， 類比 猜想 
回顧舊知：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，
拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是什么圖形？ 
類比猜想：改變圓定
義中的某些條件，問動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？  
教師強(qiáng)調(diào)圓定義中的條件．     
 
教師明確
類比的方法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽類比猜想，提出問題． 
學(xué)生回顧圓的定義．      
 
學(xué)生大膽類比猜想． 關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)，便于學(xué)生溫故而知新，強(qiáng)調(diào)圓定義中的條件，為類比猜想做好鋪墊．通過類比猜想開拓學(xué)生
的思路，從而創(chuàng)造性地提出問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新意識(shí)． 
   
活動(dòng)1: 取一條定長的細(xì)繩，把細(xì)繩的兩教師指導(dǎo)學(xué)生完成學(xué)生小組合作動(dòng)手實(shí)通過學(xué)生小
組合作動(dòng)手實(shí)
 
                    
             
                    
                             
5 
     （三） 動(dòng)手 
實(shí)驗(yàn)， 親身 體會(huì)  
 
端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 問題1：在運(yùn)動(dòng)過程
中，哪些量沒有變？哪些量改變了？你能說出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件嗎?  
實(shí)驗(yàn)．    
 
學(xué)生展示成果后利用
幾何畫板演示橢圓的形成過程，同時(shí)，提出問題1． 
驗(yàn)，完成后小組選出代表，展示成果．   
學(xué)生帶著問題1觀看老師動(dòng)畫演示，回答問題1．         
驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手能力與合作學(xué)習(xí)的
能力．通過展示成果，幫助學(xué)生體驗(yàn)成功，建立自信．利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程，一是驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)論，二是幫助學(xué)生找到畫出橢圓的條件，進(jìn)而讓學(xué)生歸納橢圓概念． 
（四）交流 展示、形成 概念 
問題2：結(jié)合實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們思考：橢圓怎樣定義？ 
橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)12,FF的距離的和等于常數(shù)（大于
12FF）的點(diǎn)的軌跡叫
做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓焦教師提出問題２，引導(dǎo)學(xué)生歸納橢圓的定義，用PPT課件給出橢圓的定義，并介紹焦點(diǎn)、焦距的定義． 
   
學(xué)生歸納橢圓定義的文字語言表
述，給出定義的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述．     
  
通過學(xué)生歸納橢圓概念的文字語言表述和數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述，讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)自然過渡到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概． 3．細(xì)繩、圖釘、彩筆、圖板． 八、教學(xué)基本流程 距． 
微課視頻《定義解讀》： 
（1）平面內(nèi)（這是大前提） 
（2）常數(shù)2a大于焦距2c．當(dāng)常數(shù)等于
12FF時(shí)，軌跡是線段12FF；當(dāng)常數(shù)小于
12FF時(shí)，這樣的點(diǎn)不存在． 
 
 
教師引導(dǎo)學(xué)生分析定義的條件，設(shè)問后播放微課視頻《定義解讀》．  
  
學(xué)生觀看微課視頻《定義解讀》．        
括能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)語言的能力．通過設(shè)問、使學(xué)生養(yǎng)成反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣．播放微課視頻，加深學(xué)生對(duì)橢圓定義中的關(guān)鍵詞匯的理解，認(rèn)識(shí)本質(zhì)，真正使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵和外延．同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度． 
    (五)  合作 
探究， 推導(dǎo) 方程 
  
問題3：如何求橢圓的方程?    
活動(dòng)２：觀察橢圓的
形狀，你認(rèn)為怎樣建立直角坐標(biāo)系？ 方案一： 
教師提出問題３，引導(dǎo)學(xué)生提出新的問題：如何建系？ 
教師將各組學(xué)生的討論方案歸納起來評(píng)議，選定方案． 教師采用
學(xué)生回憶求曲線方程的一般步驟．  
小組合作
探究，完成建
系后各小組選出一個(gè)代表，和大家一起分享成果．  
通過引導(dǎo)學(xué)
生推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 采用“公平”的原則，
選擇建系方案，將現(xiàn)代社
 
                    
             
                    
                             
7 
   
方案二： 
 
活動(dòng)３：怎樣化簡(jiǎn)方案一中方程 
2
2
2
2
(2）（）xcyxcya
       
問題４：先借助圖形來找出方程中a、c的
關(guān)系，在圖中你能找出表示,,abc的線段嗎？  
問題５：方案二中的橢圓方程又是什么呢？ 
啟發(fā)式提問，完成設(shè)點(diǎn)、列式．     
 
教師適時(shí)
指導(dǎo)學(xué)生完成方程化簡(jiǎn)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．    
教師引導(dǎo)學(xué)生回答，理
解,,abc等量關(guān)系及不等
關(guān)系．   
   教師提出問題５，引導(dǎo)學(xué)生觀察方
        
學(xué)生小組合作完成方程化簡(jiǎn)，展示化簡(jiǎn)過程，生
生互動(dòng)交流，答疑解難．   
 
學(xué)生回答．         
學(xué)生提出方案二中求解的橢圓方會(huì)和道德提倡的“公平”應(yīng)用到數(shù)學(xué)中，滲透社會(huì)主義核心價(jià)值觀。    
初步了解含有兩個(gè)化根號(hào)的等式化簡(jiǎn)方法，提高數(shù)據(jù)
處理能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美． 通過數(shù)形結(jié)合，幫助理解b的選取雖然是為了方程形式簡(jiǎn)潔與和諧，但也有實(shí)際的幾何意義．   
培養(yǎng)了學(xué)生形式推理能力，避免重復(fù)
 
                    
             
                    
                             
8 
焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 
2
2
221yx
ab
0ab  
   
案二中列出的式子與方案一列出的
式子的區(qū)別和聯(lián)系，推導(dǎo)
焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．結(jié)合圖形建立
,,abc的幾何
意義． 
程的方法． 觀察方案二中列出的式子與方案一列出的式子的區(qū)別和聯(lián)系，得焦點(diǎn)在
y軸上的橢
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 
勞動(dòng)． 
    (六) 歸納 概括，方程 特征     
問題６：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特征？ 
（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的橢圓中心在原點(diǎn)，以焦點(diǎn)所在軸為坐標(biāo)軸； 
（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1； （3）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中,,abc的關(guān)系：  
0ab,222cab； 
（4）橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定，誰的分母大焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上． 
教師提出問題６，對(duì)學(xué)
生討論的結(jié)
果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)． 學(xué)生觀察
橢圓圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，合作交流，總結(jié)歸納． 
 
通過對(duì)比總
結(jié)，焦點(diǎn)分別在x軸和y軸
上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)，從而深化學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力．（七） 初步 運(yùn)用，強(qiáng)化 理解      
  
焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是12,0F，22,0F，
并且經(jīng)過點(diǎn)53,22M

，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程． 
方法一：用待定系數(shù)
法求解． 
方法二：由橢圓的定義及給出的條件，容易求出,,abc． 
生分析條件． 板書方法二的完整解答
過程．引導(dǎo)學(xué)生比較兩種
方法． 
決問題的方法．   
學(xué)掌握通性通法——待定系數(shù)法，體會(huì)橢圓定義在解題中的重要作用．利用橢圓的定義解題會(huì)使解題較簡(jiǎn)單，初步給學(xué)生一個(gè)印象，為雙曲線和拋物線的相關(guān)問題提供解決途徑，提高解題能力．二是加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的記憶，提醒學(xué)生在解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)先定“位”，在定“量”的思想，為以后處理問題做好準(zhǔn)備． 
(八) 自我 評(píng)價(jià)，反饋 提高 
活動(dòng)4：請(qǐng)同學(xué)們完成下面的練習(xí)看誰又快又準(zhǔn)？ 
1．動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1（－5，0），F(xiàn)2（5，0）
讓學(xué)生自己練習(xí)，核對(duì)答案． 
學(xué)生獨(dú)立完成． 
加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)．同時(shí)，
 
                    
             
                    
                             
10 
的距離的和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（    ） 
A橢圓    B線段F1F2   C直線F1F2 D不能確定 
2．橢圓22
1
10036
xy上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是    ．               
檢測(cè)學(xué)生對(duì)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握情況，及時(shí)反饋，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，為下節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)． 
    (九)  
歸納 總結(jié)，提煉 升華  
１．一個(gè)概念：
122MFMFa
122aFF． 
２．兩種方程： 
2
2
2210xy
abab；22
22
10yxabab． ３．三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求簡(jiǎn)意識(shí)，猜想意識(shí)． 
 
讓學(xué)生歸納總結(jié)，教師加以補(bǔ)充，PPT課件展示． 
學(xué)生回顧
本節(jié)課內(nèi)容，思考交流，歸納總結(jié)． 
關(guān)注學(xué)生學(xué)
習(xí)的主動(dòng)性，將課堂還給學(xué)生，既是對(duì)一節(jié)課的簡(jiǎn)單回顧與梳理，也是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固。采用“一個(gè)概念、兩種方程、三個(gè)意識(shí)”的方式，目標(biāo)明確，重點(diǎn)清晰，易于掌握所學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建知識(shí)鏈． 
(十) 布置 
作業(yè)， 延伸 
   作業(yè)1.課本習(xí)題2.1 A組第1題，第2題第（1）小題. 作業(yè)2.課后探究
教師布置作業(yè)，說明要
求． 
學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)1, 學(xué)有余力的學(xué)生可合作
體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，使各層次的學(xué)生都找到各自的學(xué)習(xí)
 
                    
             
                    
                             11 
課堂 
 
題：將推導(dǎo)橢圓方程過程中得到的方程a2－cx=a22)(ycx變
形為 
a
cxc
aycx
2
2
2)(后觀察式子的幾何意義，提出合理猜想． 
交流完成作業(yè)2． 
區(qū)，進(jìn)一步完善教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展
性原則。 
 
九、板書設(shè)計(jì) 
§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 橢圓定義 2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 
,,abc的關(guān)系 
標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo)  
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)  
 
例題分析  
例題解答

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