視頻標簽：兩個變量的,線性相關

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視頻課題：高中數學人教A版必修3第二章統計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣東省 - 汕頭

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高中數學人教A版必修3第二章統計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣東省 - 汕頭

教材與學情分析
       數學必修3(人教社A版)第二章《統計》是學生在高中學段首次學習基礎統計知識、了解統計思想、認識統計方法。雖然高中階段的統計知識學習較為淺顯,卻有必要讓學生在一開始的學習中形成正確的統計思想、理解統計原理過程以及掌握簡單的統計方法,所以教材非常注重提供豐富的實際案例以及突出統計的操作過程。這從第二章《統計》的教材編排可以清晰地看出,2.1隨機抽樣是向學生強調統計中數據的重要性與隨機性,2.2用樣本估計總體是讓學生了解與掌握單變量樣本的統計過程,2.3變量間的相關關系是進入統計中雙變量統計方法的學習,而且每一節都附上大量典型的統計案例,大大增強了學生學習過程的實踐性。
​       在本課時之前,學生已經在前面知識的學習中掌握了科學隨機抽樣的方法,理解了單變量樣本數據的整理與分析,具備樣本估計總體操作方法的有關知識,同時在2.3.1的學習中已經認識了兩個變量的相關關系,這些均為本課時學習提供了強有力的類比基礎,也是指導學生遷移學習的出發點。
2教學設計思想
       基于對學生已學統計知識的分析,本課時作為線性回歸分析的第一課時,重在運用典型的實際統計案例,讓學生在類比式學習、問題式教學與討論式活動中,認識雙變量的統計方法、了解最小二乘法的思想原理,關于回歸方程的具體求解計算與對預測數據的分析理解,則留待下個課時學習。
       在類比遷移舊識中探求獲取新知,是本課的一個教學設計主策略,由單變量樣本的統計方法遷移到雙變量樣本的研究,由單變量的樣本平均數類比雙變量的樣本中心點,由平均數公式的推導原理類比最小二乘法推導回歸直線的斜率公式。既在類比遷移學習中向學生牢牢強化基礎統計方法:收集數據(抽樣)→整理分析數據(統計圖/表、數字特征)→預測決策(估計總體),又能回避新知識的突兀產生與增強知識建構的系統性;既在類比學習中培養學生嚴謹思考、創新推理的數學素養,又增強學生體驗自主探求知識的樂趣。通過拋問推進討論的教學是本課的另一個教學設計主策略,以問題聯串各個教學結點,以討論推進各個認知要點,以此來搭建整個課時的教學設計,實現用問題激發學生的思考,用討論啟發學生的思維。
3三維教學目標
(一) 知識與技能
     (1) 能利用散點圖直觀認識兩個變量之間的相關關系。
     (2) 能簡單了解最小二乘法公式的推導過程。
     (3) 了解利用線性回歸方程模型解決實際問題的全過程。

(二) 過程與方法
     (1) 在類比遷移學習中鞏固基礎統計方法、理解最小二乘原理。
     (2) 在問題思考與討論交流中,培養學習品質與數學素養。
(三)  情感態度與價值觀
     (1) 在典型統計案例的研究中,讓學生理解統計思想、建立統計觀念、體驗同級價值,鼓勵學生用統計觀點來觀察、認識世界。
     (2) 在類比遷移學習中培養學生嚴謹思考、創新推理的數學素養,增強學生體驗自主探求知識的樂趣。
     (3) 在信息技術的應用中,體會計算機在回歸分析統計中的作用。
 
4教學重點難點
(一) 教學重點
     (1) 從整體上初步認識線性回歸分析的最小二乘法操作原理。
     (2) 在類比中領悟蘊含在研究兩個變量線性相關性的統計思想與方法。
(二) 教學難點
     (1) 建立統計的觀念和回歸的思想。
     (2) 認識最小二乘法公式的推導原理。
 
5教學基本流程
​⇒情境創設引共鳴、順勢拋問入課題
⇒問題推進促討論、類比遷移獲新知
⇒統計方法串主線、回歸思想貫始終
⇒最小二乘化難點、回歸直線重理解
⇒信息技術展身手、回應情境作小結
6教學過程
6.1第一學時
6.1.1教學活動
活動1【導入】（一）情境創設激興趣，順勢拋問入課題
1.1 教學過程設計
【情境問題】10年后的你,會是怎樣呢?有多帥?有多靚?20、30年后呢?(同時展示相關素材圖片)
【拋問交流】型體變胖?體內脂肪含量(體脂率)增加?年齡與人體內的脂肪百分比有關?如果有關,根據已學知識,這是一種什么樣的關系呢?
【課堂指引】根據上節課的學習,我們可以判斷:人體內脂肪含量與年齡的關系屬于兩變量不確定性的相關關系.雖然會受先天體質、飲食習慣、體育鍛煉等不確定隨機因素的影響,我們卻是可以通過科學的統計方法來對兩變量之間的相關關系作出分析、判斷.
【引入主題】研究案例:年齡與人體內脂肪含量的相關關系!并預測30年后的你體內脂肪百分比有多少?
1.2 設計意圖
      通過創設感性的情境問題及相關素材,激發學生探索問題的興趣,并順勢拋問,在普及生活常識與復習已學知識(2.3.1變量之間的相關關系)的同時,引入本節課探究的主要典型案例“人體的脂肪百分比與年齡之間的關系”.
活動2【活動】（二）問題推進促討論，類比遷移獲新知
2.1 教學過程設計
【問題推進】年齡與人體內脂肪含量是雙變量,如何運用科學的統計方法對兩個變量的相關關系作出分析判斷呢?統計思想以及第二章《統計》知識的學習告訴我們,統計的第一步是獲取樣本數據.
【討論活動1】
→研究兩個變量的相關關系需要收集什么數據?
→怎么收集?
→如何開展對應年齡人群體內脂肪含量的調查抽樣?(生生互動、教師引導)
→如果想調查50歲的人其體內的脂肪含量百分比(體脂率),如何操作?(引導學生回顧已學的單變量統計方法)
【課堂指引】我們用所學的抽樣方法,在50歲的人群中抽樣調查其脂肪含量百分比,然后用樣本的特征數字之一——平均數作為50歲人群對應的體脂率,從而獲得人體的脂肪百分比和年齡的樣本數據,完成數據收集.
【問題推進】收集好雙變量的樣本數據后應該怎么整理分析數據呢?之前學過整理數據、分析數據的統計方法嗎?
【討論活動2】
→回顧歸納已學的單變量樣本數據的統計方法,看看能否給我們研究雙變量樣本數據帶來啟示?
【課堂指引】已學的單變量樣本數據的統計過程為:
           統計過程:收集數據→整理數據→分析數據→預測決策
                                ↓              ↓               ↓             ↓
           統計方法: 抽 樣 →統計圖/表→數字特征→樣本估計總體
【類比學習】類比單變量樣本整理數據的統計方法——制作統計圖/表,同樣可以尋找用恰當的圖/表整理兩個變量樣本數據的方法
——直角坐標系下的散點圖。
由于該案例我們是想由年齡來預測體內脂肪百分比,故設年齡為x,對應的人體脂肪百分比為y,即以x軸表示年齡, y軸表示脂肪含量,從而得到散點圖(如圖)。
【課堂指引】定義正相關、負相關以及回歸直線,并指出散點圖能夠幫助我們獲得兩變量關系的直觀初步判斷(如圖):
1.如果所有的樣本點都落在某一函數曲線上,就用該函數來描述變量之間關系。
2.如果所有的樣本點都落在某一函數曲線附近,變量之間就有相關關系。
3.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系。
2.2 設計意圖
       以拋設問題推進討論活動,在強化統計方法中收集數據獲取樣本的重要性的同時,引導學生將單變量樣本的統計方法類比遷移到雙變量樣本的研究中,以此激發學生的思考,啟發學生的思維,為新知識的學習構建思考方向與思維方法。
活動3【講授】（三）統計方法串主線，回歸思想貫始終
3.1 教學過程設計
【問題推進】回歸直線作為兩變量具有線性相關關系的代表,應該有何特點?如何運用較可靠的方法求出回歸直線呢?
【討論活動3】
→再次類比單變量樣本分析數據的方法,探究雙變量樣本的回歸直線應該具備什么特點?
→如何用數學方法刻畫這些特點?
→已學的統計知識又能否再給我們提供類比的方向與思路?
【類比學習】單變量樣本分析數據的一個重要方法就是提取數字特征,其中一個重要的數字特征就是平均數.提取雙變量樣本的平均數x
y  在散點圖中對應的點(x ,y ) 稱為樣本中心點,則回歸直線應該要過樣本中心點。
統計過程:  收集數據→整理數據→  分 析 數 據  →  預 測 決 策  
             ↓        ↓         ↓              ↓
單變量樣本:  抽樣 → 統計圖/表 → 數字特征平均數→樣本估計總體
  ↓類比      ↓        ↓         ↓              ↓
雙變量樣本:  抽樣→散點圖(線性)→數字特征平均數→回歸直線過樣本中心點
【類比學習】由于單變量平均數是表示一組數據集中趨勢的量數,若將平均數看成是反映數據集中趨勢的一條直線,則該直線滿足樣本數據與其總體偏離程度最小。類比此方法,我們可以發現回歸直線除了要滿足過樣本中心點的特點之外,從散點圖分析,還可以直觀地認為應滿足“從整體上看,各點與直線的偏離最小”。
【課堂指引】我們尋找的回歸直線應該要能滿足兩點:
1.回歸直線應該要過樣本中心點;
2.回歸直線應該要滿足“從整體上看,各點與直線的偏離最小”!​
3.2 設計意圖
    將單變量樣本提取數字特征平均數這一分析數據的方法遷移到雙變量樣本的研究中,由單變量的樣本平均數類比雙變量的樣本中心點,在類比遷移舊識與鞏固統計方法中探求獲取新知,引導學生大膽猜想探究回歸直線特點,為下步學習作鋪墊。
 
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活動4【講授】（四）最小二乘化難點，回歸直線重理解
4.1 教學過程設計
【問題推進】回歸直線的兩個特點如何用數學的方法來刻畫?類比平均數公式的推導過程,求出滿足“從整體上看,各點與直線的偏離最小”的回歸直線方程。
【類比學習】簡析單變量樣本平均數公式x的推導過程:
​​
4.2 設計意圖
    先引導學生用數學方法來刻畫前面猜想的回歸直線特點,然后用平均數公式的推導原理類比最小二乘法推導回歸直線斜率公式的過程,通過代入降元將二元變量的最值問題轉變為二次函數的最值問題,化解了最小二乘法的推導難點,使得學生易于接受理解,又培養了學生嚴謹思考、創新推理的數學素養。
活動5【講授】（五）信息技術展身手，回應情境作小結
5.1 教學過程設計
【問題推進】由最小二乘法求回歸直線方程是一種常規的統計方法,然而面對真正實際應用問題的海量樣本數據,且回歸直線的斜率和截距運算公式的手工運算甚為繁瑣,怎么解決呢?
【課堂指引】信息技術在統計方面發揮著強大優勢,計算機的強大運算功能能夠幫助我們輕松的完成一些常規的回歸分析。
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5.2 設計意圖
    指導學生使用Execl軟件工具求解回歸直線方程的操作方法,這既貼近解決實際統計問題的需要,也讓學生體驗計算機處理統計回歸分析問題的重要性,培養學生運用信息技術解決問題的思考方式。
 

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