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視頻標簽：橢圓,定義,標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高中數學選修2-1橢圓定義及標準方程-華中
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人教版高中數學選修2-1橢圓定義及標準方程-華中師范大學第一附屬中學
教學目標
知識目標:
(1)理解橢圓定義及焦點、焦距的概念;
(2)能正確推導出橢圓的標準方程;
(3)明確標準方程中參數的幾何意義,能解決簡單的求橢圓標準方程的問題。
能力目標:
(1)培養學生用運動變化的思想分析解決問題,滲透從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的抽象橢圓圖形特征的過程;
(2)通過橢圓標準方程的推導,進一步掌握求曲線方程的方法;
(3)學會利用代數方法解決幾何問題的基本手段和一般過程,提高運用坐標法的自覺性以及解決幾何問題的能力。
情感目標:
(1)感性認識理性化,通過自己動手作圖觀察來辨析和完善概念,通過對比產生頓悟,通過對于這種學習方式的積極心向感受數形結合的思想,并養成好的探究學習習慣。
(2)通過內類和知識升華,關注學生思維起點和思維的發展點,使學生養成勤于思考、勇于創新的學習習慣。
2新設計
倡導積極主動、勇于探索的學習方式,力求通過各種不同形式的自主學習和探究活動讓學生體驗數學發現和創造的歷程。這是高中《數學課程標準》中提出的重要理念之一。本節課將落實這一理念,重在引領,注重培養學生的創新能力使學生能夠學會發現、學會學習,有效地提高學生的數學素養。本節課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發引導的教學方法,使學生經歷實踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程,切實改進學生的學習方式,使學生真正成為學習的主人。由于本節課涉及到數形結合和點的運動過程,幾何畫板、課件等多媒體手段的使用也會大大提高課堂效率,使學生在生動形象的教學過程中更清晰地認識圖形。信息技術將為學生的數學探究與數學思維提供支持。
3學情分析
學生在必修2第二章里已經學習了直線和圓的方程,并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟,具備主動探究橢圓知識的基礎;教材的這種安排也遵循了知識接受過程循序漸進的特點,遞進式學習為學生分散了難點。從學生現有的學習能力看,通過一年多的數學學習,學生具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經驗,在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉換能力。學生根據日常生活經驗,雖然對橢圓圖形有一定的直觀認識,但沒有借助嚴密的思維過程將其上升到“概念”的水平。感性認識理性化將會是學生的挑戰之一;另外,在以前的學習中,多半只涉及一個根式的方程化簡問題,含兩個字母、兩個根式的方程化簡也將會是學生面臨的操作難題。
4重點難點
教學重點:橢圓的定義、橢圓的標準方程。
教學難點:橢圓定義中焦距與長軸的大小關系;橢圓標準方程的推導、坐標系的選擇;橢圓焦點分別在X軸和Y軸上時的方程形式的區別與聯系。
5教學過程
5.1第一學時
5.1.1教學活動
活動1【導入】1.復習圓的定義及圖形特征； 2.將原有定義進行修改，探索是否可以得到新圖形，并明確新圖形的幾何要素
【引言】從這一章起我們進入圓錐曲線的學習研究。在書本的章節介紹中我們知道,接下來要研究的幾種曲線都是由垂直于圓錐的軸的平面截取圓錐得到,這一點啟發我們思考,不同種類的圓錐曲線具有什么樣的不同點,而它們又是否有共通點呢。
【提問】之前我們利用解析的手段研究過一種大家在初中就已經學習過的圖形——圓。現在請大家回顧一下圓的幾何定義。
【提問】圓的幾何要素是什么?
【提問】再此基礎上,我們能否人為地改變定義的條件,試試看能不能構造出新的圖形呢?
(由于一個定點有限,我們可以把條件改為?兩個定點也許就會涉及距離的和或差,我們先來研究距離和)
活動2【活動】合作畫出新圖形的軌跡。
【提出要求】
請同學們利用課前下發的毛線,同桌兩人一組,嘗試看是否可以合作畫出剛剛我們得到的新定義下圖形的軌跡。
請一組同學到黑板上演示畫出的圖形。
教師巡視并給與意見。
【幾何畫板演示】
教師利用幾何畫板工具展示橢圓軌跡的行程過程。
(先人為動,再通過設置讓點自行運動)
活動3【講授】類比圓的幾何定義，給出橢圓的幾何定義。
【提問】
其實新圖形在大家的生活中隨處可見,比如衛星運行的軌道等等。生活經驗告訴我們,它的名字是?
【提問】
我們知道,圓的幾何要素是圓心和半徑,那么新圖形的幾何要素是什么?
【提問】
請同學們仿照圓的定義方式,結合我們剛剛的畫圖過程,給出橢圓這種圖形的幾何定義。
活動4【講授】通過對概念深入理解，提煉出橢圓定義中需要注意的地方，使其對定義更清晰。
【提問】
這個定義里大家一起想一想,需要主要的地方有哪幾點。
【提問】
若改變條件,使得距離之和不是大于,而是等于兩定點距離之和或者小于兩定點距離之和,我們將會得到什么樣的圖形呢。
活動5【講授】1.橢圓的不變量的名詞介紹 2.橢圓點的軌跡的數學語言（集合語言）表述； 3.理解橢圓的幾何條件
【提問】
橢圓里有哪些不變量?
由于這兩個不變量對于橢圓來說非常重要,我們將它們名詞化。這兩個點稱為橢圓的焦點,用F1 ,F2來表示,焦點間距離稱為焦距,用2c來表示。
【提問】
請大家用數學集合語言表示出橢圓點的軌跡
【強調】
若點運動滿足上述條件,則其軌跡為橢圓;橢圓上的點均滿足上述條件。
活動6【活動】推導橢圓的標準方程。
現在我們開始用解析方法研究橢圓
【提問】求圓的方程的方法是什么?
【提問】直譯法求軌跡方程分為哪幾步?
【提問】
根據簡單和優化的原則,如何建立平面直角坐標系?
【具體過程】
建系設點。
1)設M(x,y)為橢圓上的任意一點;
2)橢圓上的點滿足的幾何條件(前已講)為:|MF1|+|MF2|=2a,2a>2c
3)將上述幾何條件翻譯為坐標語言:√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a
4)對上述代數式進行化簡。
【提問】
處理根式的方法是什么?
涉及到兩個根式需要幾次平方?
怎樣可以使得計算更加簡便一些?
活動7【講授】引入參數b;并解釋b的含義。 引導學生完成完備性和純粹性的檢驗.
【教師于黑板上板書】
√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a ;
√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2 ;
(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 ;
4a√(x−c)2+y2=4a2−4cx ;
【學生自行完成】
請同學們將上式整理化簡并寫出化簡結果。
【提問】
請大家觀察這個式子,由于a>c,兩邊可以同時除以
a2(a2−c2),則可以得到:
x2a2 +x2a2−c2 =1 ,由于數學具有簡潔美和對稱美, a2−c2 這個參量我們可以引入一個新的變量b>0,使得b2=a2−c2 。
活動8【講授】通過對形式的要求和提升，使得學生對數學式子的美觀性有深刻的認識而得到焦點在x軸上的“橫躺”橢圓的標方
【提問】
現在剛剛化簡得到的式子就變成了x2a2 +y2b2 =1(a>b>0) ;
從形式上看非常簡潔漂亮;但是現在我們來想想,為什么這里的參數b的引入是可行的呢。請大家從代數與幾何兩方面考慮。
【總結】
焦點在x軸上的橢圓的標準方程。(課件)
【思考】
若使得焦點落在y軸上,重新建立直角坐標系又會有什么樣的標準方程形式呢。
活動9【講授】得到焦點在y軸上的“豎立”橢圓的標準方程
從圖形直觀來看,橢圓有“橫躺”和“豎立”之分;
若以兩定點的連線為Y軸,其垂直平分線為X軸,則橢圓的焦點在y軸上,那么橢圓的標準方程為: y2a2 +x2b2 =1,(a>b>0)
活動10【活動】總結兩種標準方程的異同點，初步得到對橢圓定形條件和定位條件的理解。
【提問】
兩種形式的橢圓方程學習完畢以后,請同學們一起對比橢圓兩種形式的異同點,我們一起討論。
【課件展示表格】
【標準方程小結】
橢圓的定形條件和定位條件分別是什么,怎樣才能快速判斷焦點位置?
啟發我們在求標準方程時具體要注意哪些問題?
活動11【練習】對典型例題進行講解；請學生自練，并歸納出求解橢圓及其標準方程的一般方法。
例1:(請學生口答)
若橢圓x225 +y216 =1 上一點P到焦點F1的距離為6,則點P到焦點F2的距離為多少?
例2:求焦點為(0,-2),(0,2),經過點(4, 3√2 )的橢圓的標準方程。(待定系數法)(幾何法)
例3:求經過兩點(2, −√2 ),(-1, √142 )的橢圓方程。
(待定系數法)
【總結】
橢圓標準方程的統一形式,思考所總結的統一形式與兩種標準形式的對應關系。
活動12【活動】發現圓與橢圓的關系
【提出問題】
這節課我們以圓的學習類比橢圓,最后我們從橢圓回到圓上來。請大家一起看這樣一個情境:用幾何課件展示教材41面例2的情境:在圓上任取一點,過該點作x軸的垂線段,觀察當點在圓上運動時,垂線段中點的軌跡。并要求學生下課后給出嚴密證明。
活動13【作業】布置本節課隨堂作業。
本節課的作業:
1. 完成橢圓與圓所給情境的思考和嚴密證明;
2. 《紅對勾》上本節的相應內容;
類似的,將橢圓的直觀圖形推廣至三維空間,想象橢球面的直觀圖形;將橢圓的標準方程推廣至三維空間,形式化類比給出橢球面標準方程。
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