視頻標(biāo)簽：組合

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版選修2-3 1.2.2《組合》吉林省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版版選修2-3 1.2.2 《組合》吉林省優(yōu)課

§1．2．2組合 
教學(xué)目標(biāo)： 
知識(shí)與技能：理解組合的意義，能寫(xiě)出一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)
別，能判斷一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題。 
過(guò)程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù)mn與組合數(shù)    之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。 
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提高分析問(wèn)題的能力。 
教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式 教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式 授課類(lèi)型：新授課  內(nèi)容分析： 
排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問(wèn)題.排列與組合的區(qū)別在于問(wèn)題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)是組合問(wèn)題，順序?qū)ε帕小⒔M合問(wèn)題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的，但在具體求解過(guò)程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無(wú)關(guān)系.     
指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來(lái)的順序.教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會(huì)貫通. 
    能列舉出某種方法時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)交換元素位置的辦法加以鑒別. 
    學(xué)生易于辨別組合、全排列問(wèn)題，而排列問(wèn)題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問(wèn)題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來(lái)，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問(wèn)題；否則是排列問(wèn)題. 
    排列、組合問(wèn)題大都來(lái)源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過(guò)程，用數(shù)學(xué)的原理和語(yǔ)言加以表述.也可以說(shuō)解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問(wèn)題的過(guò)程.據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問(wèn)題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個(gè)問(wèn)題，需要師生一道在分析問(wèn)題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ撸�模擬做事的過(guò)程，則更能說(shuō)明問(wèn)題.久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高. 
教學(xué)過(guò)程： 
一、復(fù)習(xí)引入： 
1．排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按
照一定的順序．．．．．排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．．．．
 2．排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)
元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)m
nA表示 
3．排列數(shù)公式：(1)(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn） 
(2)m
nA=
!
()!
nnm  
問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活
動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 
問(wèn)題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 引導(dǎo)觀察：?jiǎn)栴}1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而問(wèn)題2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無(wú)關(guān)的引出課題：組合．．
． 二、講解新課： 
1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 
說(shuō)明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無(wú)序性；⑶相同組合：元素相同 練習(xí)1．判斷下列問(wèn)題是組合還是排列 
1、從1，2，3„„9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？ 2、從1，2，3„„9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這三個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和共有多少個(gè)？ 
3、設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)? 4、某鐵路線上有5個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票?  
有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？ 問(wèn)題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？ 
（2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相同的組合 2．組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．．．．用符號(hào)m
nC表示． 3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)： 
（1）從4個(gè)不同元素,,,abcd中取出3個(gè)元素的組合數(shù)3
4C是多少呢？ 
m
nC
 
                    
             
                    
                            啟發(fā)：由于排列是先組合再排列．．．．．．．．．
，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)3
4A可以求得，故我們可以考察一下34C和3
4A的關(guān)系，如下： 
        組 合                  排列 
       dcb
cdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,
,
,
,,,,,,,,,,
,,,,,
,, 由此可知,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素
的排列數(shù)34A，可以分如下兩步：① 考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有3
4C個(gè)；② 對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有33A種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得： 34A＝
34C33A，所以，33
343
4AAC． 
（2）推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)m
nA，可以分如下兩步： ① 先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)m
nC； 
② 求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)mmA，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：mnA＝mnCmm
A． （3）組合數(shù)的公式： 
(1)(2)(1)
!
mmnn
mmAnnnnmCAm
 或)!
(!!
mnmnCm
n
),,(nmNmn且 
    規(guī)定: 0
1nC. 
練習(xí)2.計(jì)算：⑴ 47C    ⑵7
10C   （3）已知：2
3nnAC ，求n的值  例1．求證：1
1
mnm
nCm
nmC． 證明：∵)!
(!!
mnmnCm
n
 
11
1!
(1)!(1)!
mn
mmnCnm
nmmnm
 ＝
1!
(1)!()(1)!mnmnmnm 
＝
!
!()!
nmnm 
∴1
1
mnm
nCm
nmC 例2．（1）平面內(nèi)有10 個(gè)點(diǎn)，以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？ 
(2）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？ 
解：(1）以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取
出2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有210
109
4512
C

（條）. (2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向
線段共有2
1010990A（條）. 
例3．在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品．從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 . 
(1）有多少種不同的抽法？ 
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？  (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？ 
解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有 
3
100
1009998
123
C

= 161700 （種）. 
  (2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1
2C種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品
 
                    
             
                    
                            的抽法有298C種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12
298
CC=9506(種).  (3）解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件
次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有12298
CC種，因此根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有 
12298CC+21
298CC=9 604 （種） .  
解法2 抽出的3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3 件
的抽法種數(shù)減去3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即 
33
10098
CC=161 700-152 096 = 9 604 （種）.  例4． 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽．按照足球比
賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人．問(wèn)： 
 (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？  
(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門(mén)員，那么教練員有多少種方式做這件事情？ 
分析：對(duì)于（1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒(méi)有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 
個(gè)不同元素中選出11個(gè)元素的組合問(wèn)題；對(duì)于（ 2 ) ，守門(mén)員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒(méi)有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題． 
解： (1）由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有11
17C ＝ 12 376  .  
(2）教練員可以分兩步完成這件事情： 
第1步，從17名學(xué)員中選出 n 人組成上場(chǎng)小組，共有11
17C種選法； 第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門(mén)員，共有111C種選法． 所以教練員做這件事情的方法數(shù)有1111711
CC=136136（種）. 說(shuō)明：“至少”“至多”的問(wèn)題，通常用分類(lèi)法或間接法求解。 
六、小結(jié) ：組合的意義與組合數(shù)公式；解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，必要時(shí)要利用分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理  七、課后作業(yè)：見(jiàn)教材課后題   八、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 

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