視頻標簽：用樣本估計總體

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：部編新教材人教版數學必修第二冊第九章統計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計

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部編新教材人教版數學必修第二冊第九章統計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計教學設計

總體集中趨勢的估計教學設計
一、內容和內容解析
（一）內容
平均數、中位數和眾數的概念和統計含義，總體平均數、中位數和眾數的估計。
（二）內容解析
總體集中趨勢的估計是高中數學人教A版必修第二冊第九章第二節第三課時的內容。本單元內容的安排以數據處理的基本過程為線索，教學中選取一些典型案例，讓學生在具體實例中經歷數據處理的全過程。本節內容是在具體案例中，對已獲取數據進行分析，理解計算樣本集中趨勢參數的必要性與合理性，再利用有關參數對總體進行估計，具有承上啟下的作用。
根據以上分析，確定本節課的學習重點為：會求樣本數據的眾數、中位數、平均數，并對總體進行估計。
二、目標和目標解析
（一）目標
1、結合實例，學會用樣本估計總體的眾數、中位數、平均數，培養數學建模素養。
2、根據已知條件，會求樣本數據的眾數、中位數、平均數，培養學生的數學運算素養。
3、能夠運用眾數、中位數、平均數進行判斷，培養學生的邏輯推理素養。
4、通過分析頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數，培養學生的數據分析素養。
（二）目標解析
達成上述目標的標志是：會求樣本數據的眾數、中位數、平均數，并對總體的集中趨勢進行估計。
三、數學問題診斷分析
學生在初中已經學過一組簡單數據的眾數，平均數中位數積累了一定的計算分析，統計問題的能力。本節需要在大量實例中抽象出數學模型計算樣本集中趨勢的參數，再利用相關參數解決實際問題，學生可能會分不清該到底哪個或哪些參數對總體進行估計更為合適。
本節課的教學難點是：利用相關參數對總體進行估計。
四、教學支持條件分析
本節課需要運用多媒體播放軟件。
五、教學過程
（一）談話導入
同學們好，為了了解總體的情況，前面我們學習了用樣本的分布規律，估計總體的分布規律。但是有時候我們并不關心總體的分布，而關心總體在某方面的特征，比如說要估計今年我縣水稻的產量 ，我們更關心今年水稻的總產量或每公頃水稻的產量，并不關心水稻的分布情況 。為此我們在初中學習了眾數，中位數，平均數這些反應總體集中趨勢的量。本節課我們將進一步了解它們之間的區別和聯系，并用它們對總體進行估計 。
（二）回顧概念，引入新課
指名學生回答概念。
眾數：一組數據中重復出現次數最多的數。
中位數：把一組數據從小到大或從大到小的順序排列，處在中間位置（或中間兩個數的平均數）的數。
平均數：如果有n個數， ，那么 叫做這 個數的平均數。
（三）結合實例，分析探索
   在初中的學習中我們已經了解到，平均數、中位數和眾數等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數據的集中趨勢。
下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯系與區別，并根據樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢。
例1.   利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調查數據，計算樣本數據的平均數和中位數，并據此估計全市居民用戶月均用水量的平均數和中位數。
9.0     13.6    14.9    5.9     4.0     7.1     6.4     5.4    19.4    2.0
2.2     8.6     13.8    5.4     10.2    4.9     6.8     14.0    2.0   10.5
2.1     5.7      5.1    16.8    6.0     11.1    1.3     11.2    7.7    4.9
2.3     10.0     16.7   12.0    12.4     7.8     5.2    13.6    2.4    22.4
3.6     7.1      8.8    25.6    3.2     18.3    5.1     2.0     3.0    12.0
22.2    10.8     5.5     2.0     24.3    9.9     3.6    5.6     4.4     7.9
5.1     24.5     6.4     7.5     4.7     20.5    5.5    15.7    2.6     5.7
5.5     6.0     16.0    2.4      9.5     3.7     17.0   3.8     4.1     2.3
5.3     7.8     8.1      4.3     13.3    6.8     1.3    7.0     4.9     1.8
7.1    28.0     10.2    13.8     17.9   10.1   5.5    4.6     3.2     21.6
該市某個小區有200戶，你能估計該小區的月用水量嗎？
1、教師用Excel軟件演示計算過程，并展示結果。
2、教師錯將7.7錄成了77和2.0錄成了200后，并用Excel分別計算出數據的平均數和中位數。
追問1:并與真實的樣本平均數和中位數作比較。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？
平均數由原來的8.79t變為9.483t,中位數沒有變化.這是因為樣本平均數與每一個樣本數據有關,樣本中的任何一個數據的改變會引起平均數的改變；但中位數只利用了樣本數據中間位置的一個或兩個值, 并未利用其他數據，所以不是任何一個樣本數據的改變都會引起中位數的改變,因此,與中位數較,平均數反映出樣本數據中的更多信息,對樣本中的極端值更加敏感。
中位數和平均數的大小與數據分布形態的關系

平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據分布的形態有關.在下圖的三種頻率分布直方圖形態中，平均數和中位數的大小存在什么關系？
（1）單峰，直方圖圖形對稱：平均數≈中位數
（2）右邊“拖尾”：平均數>中位數
（3）左邊“拖尾”：平均數<中位數
結論：和中位數相比，平均數總在“長尾巴”那邊。
追問2. 你能說一說生活當中有哪些減少極端值對平均數的影響的事例嗎 ？
（評委打分，去掉一個最高分和一個最低分，取剩下得分的平均分）
過渡: 我們既然計算了平均數，為什么還要計算中位數、眾數呢？下面我們來看一看例二。
例2.某學校要定制高一年級的校服，學生根據廠家提供的參考身高選擇校服規格，據統計，高一年級女生需要不同規格校服的頻數如下表所示，

校服規格	155	160	165	170	175	合計
頻  數	39	64	167	90	26	386

如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規格，那么在中位數、平均數和數中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數據估計全國高一年級女生校服規格的合理性。
解：為了更直觀地觀察數據的特征，我們用條形圖來表示表中的數據（下圖)可以發現，選擇校服規格為“165”的女生的頻數最高，所以用眾數165作為該校高一年級女生校服的規格比較合適。
由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數據估計全國高一年級女生的校服規格不合理。

眾數、中位數和平均數的比較

名稱	優點	缺點
平均數	與中位數相比，平均數反映出樣本數據中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感	任何一個數據的改變都會引起平均數的改變．數據越“離群”，對平均數的影響越大
中位數	不受少數幾個極端數據(即排序靠前或靠后的數據)的影響	對極端值不敏感
眾數	體現了樣本數據的最大集中點	眾數只能傳遞數據中的信息的很少一部分，對極端值不敏感

鞏固：列舉一些具體事例，讓學生選擇利用眾數中位數平均數進行估計。
用水量 校服規格 性別 產量 質量等級 收入
小結：
分類型數據，用眾數估計更合理。
數值型數據用中位數平均數估計更合理。
探究:樣本的平均數、中位數和眾數可以分別作為總體的平均數、中位數和眾數的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數據，例如，我們在報紙、網絡上獲得的往往是已經整理好的統計表或統計圖，這時該如何估計樣本的平均數、中位數和眾數？
例3：

你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數、中位數和眾數嗎?
分析：
1.給足學生討論時間。
2. 經過師生討論得出:在頻率分布直方圖中丟失了原始數據，所以我們默認數據在頻率分布直方圖的小矩形中是均勻分布的因此我們用每個小矩形中點的橫坐標代表小矩形中的數字。
3.學生思考討論計算眾數、中位數、平均數的計算方法。
眾數：在頻率分布直方圖中，月均用水量在區間[4.2,7.2)內的居民最多，可以將這個區間的中點5.7作為眾數的估計值，如圖所示，眾數常用在描述分類型數據中，在這個實際問題中，眾數“5.7”讓我們知道月均用水量在區間[4.2,7.2)內的居民用戶最多，這個信息具有實際意義。
中位數：根據中位數的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數.因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。
這個結果與根據原始數據求得的中位數6.6相差不大。
中位數即第50百分位數。
由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.
因此中位數落在區間[4.2,7.2)內.
設中位數為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.
因此，中位數約為6.71,如圖所示.

平均數：因為樣本平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替。

這個結果與根據原始數據計算的樣本平均數8.79相差不大。
小結：
平均數：頻率分布直方圖中每個小矩形面積乘以各個小矩形底邊中點的橫坐標的和。
中位數：把頻率分布直方圖分成面積相等的左右兩部分。
眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標。
過渡：剛才我們估計的是在分為九組的頻率分布直方圖下，100戶居民用水量大眾數、中位數、平均數，下面我們來估計一下將100戶居民用水量分為三組時的頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數。
跟蹤練習：

	原始數據	9 組	3 組
眾  數	2.0	5.7	5.7
中位數	6.8	6.7	7.8
平均數	8.79	8.96	9.39

 
在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內的數據是如何分布的，此時，通常假設它們在組內均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數、中位數和眾數的近似估計，進而估計總體的平均數、中位數和眾數.
頻率分布直方圖損失了一些樣本數據，得到的是一個估計值，且所得估值與數據分組有關，有隨機性。
跟蹤訓練：計算不同分組下頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數，再將數值進行對比，了解計算數值的隨機性，明白統計方法沒有好壞之分，只有合適與不合適之分。
（四）拓展延伸，學以致用
某工廠人員及月工資構成如表：

人員	老  板	管理人員	高級技工	工人	合計
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數	1	6	5	20	32

該廠職工年平均收入能達到20萬嗎？我能建議表弟去該廠入職嗎？
（五）總結
通過本節課的學習，你有什么收獲。
    眾數、中位數及平均數都是描述一組數據的集中趨勢的量，其中以平均數最為重要，其應用也最為廣泛。
（六）布置作業
1、課本208頁練習1、2、3。
2、

人員	老  板	管理人員	高級技工	工人	合計
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數	1	6	5	20	32

請改動表中的數據，在工廠平均工資為20萬的前提下，能讓表弟入職。
（七）板書設計：
總體集中趨勢的估計
 
1、眾數  中位數  平均數
2、在頻率分步直方圖中求眾數、中位數、平均數。

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