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視頻課題：高中“新課程新教材”跨區域教學展示交流課教學展示《正弦函數、余弦函數的圖象》鄭州市第二高級中學 馬

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高中“新課程新教材”跨區域教學展示交流課教學展示《正弦函數、余弦函數的圖象》鄭州市第二高級中學 馬

5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象教學設計

一、內容和內容解析
1.內容
正弦函數、余弦函數的圖象，以及正弦函數、余弦函數圖象的畫法．
2.內容解析
正弦函數、余弦函數是一類基本初等函數，對于它們的研究基本遵從函數圖象與性質的研究思路，可以類比、對比指數函數、對數函數等展開研究：
繪制函數圖象—觀察圖象、發現性質—證明性質．
首先是關于正弦函數的圖象，繪制一個新函數圖象的基本方法是描點法，如果能多描出一些點，那么就可以使繪制的圖象更精確．但是正弦函數在內，如何實現繪制的精確度呢？這是首先要解決的問題．
為此，先解決精準繪制某一個點，的問題，此處關鍵是要理解橫坐標的意義，其本質在于對三角函數定義的理解：根據正弦函數的定義可知，在單位圓中，點的橫坐標的本質是以為始邊，以為終邊的角，因此，，如圖1所示．過點作x軸，垂足為，則線段的長即為，于是對于任意一個橫坐標，其縱坐標可以用幾何方法精準描出．

C

圖1
精準繪制一個點的問題解決之后，即可用相同的方法描出其他的點，進而描出正弦函數在一個周期內的圖象，并通過平移描出正弦函數的圖象．這個過程充分體現了從特殊到一般的研究方法．
在此基礎上，通過平移變換，畫出余弦函數圖象．
基于以上分析，確定本課時的教學重點：正弦函數、余弦函數的圖象．
二、目標和目標解析
1.目標

課程目標	學科素養
1.通過對單位圓和正、余弦函數定義的復習回顧，探索正弦函數圖象的畫法；	a.數學抽象：由“五點法”作正弦、余弦函數的圖象；
2.通過觀察函數圖象特征，探索出用“五點法”畫正弦函數的圖象；	b.邏輯推理：由正弦函數圖象作出余弦函數圖象；
3.通過研究正、余弦函數圖象間的關系，探究余弦函數圖象的畫法.	C直觀想象：運用函數圖象分析問題.

2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生能先根據正弦函數的定義繪制一個點，再繪制正弦函數在一個周期內的圖象，最后通過平移得到正弦函數的圖象；能說出正弦函數圖象的特點，并能用五點法繪制正弦函數的圖象．
（2）學生能用圖象變換的方法，由正弦函數的圖象繪制余弦函數的圖象，并能就一個具體的點清晰地解釋圖象的變換方式及原因，能用“五點法”繪制余弦函數的圖象．
三、教學問題診斷分析
學生之前擁有豐富的繪制函數圖象的經驗，但是利用定義的幾何意義繪制函數圖象是第一次，因此在思維習慣上存在障礙，教學時要給予充分的引導，特別強調要準確地繪制出兩函數的圖象這一要求，讓學生感受到這種做法的困難，然后從三角函數的定義上分析點的坐標的幾何意義，讓學生真正理解．
繪制函數圖象任意一點的操作存在困難．為此，可以先選定一個角，然后找到角的始邊OA繞點O逆時針旋轉得到的弧，平移弧使點與原點重合，將弧拉直為線段且與x軸重合，此時點B所對應的位置為(，于是圖象上的點隨之確定．
本課時的教學難點是：掌握準確繪制函數圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數的圖象．
四、教學支持條件分析
繪制正弦函數圖象的關鍵是準確地繪制圖象上的一個點，為此可讓學生利用信息技術完成．
后續讓學生描出其他的點，并連線描出正弦函數在一個周期內的圖象時，同樣可以利用信息技術完成．
五、教學過程設計
（一）復習導入
1.正弦函數、余弦函數的定義？
設是一個任意角，，它的終邊OP與單位圓相交于點P

1. 把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即；
2. 把點P的橫坐標叫做的余弦函數，記作，即.

2.函數的研究路徑方法？

2’ 三角函數的研究過程：

（二）新知探索一：函數的圖象
問題1：從公式一中你可以發現函數值有什么樣的變化規律？
師生活動：教師提出問題，學生通過回憶單位圓和正弦函數的定義，師生共同交流、規劃，完善方案預設的答案如下：
由公式一：可知，角的終邊繞原點旋轉一周，函數值將重復出現，回到單位圓可發現角的終邊每繞原點旋轉一周終邊與單位圓的交點的縱坐標不變，據此，可以簡化對正弦函數圖象的研究過程，比如可以先畫函數的圖象，再畫正弦函數的圖象．
設計意圖：1.規劃研究方案，構建本課時的研究路徑，從特殊到一般，數形結合，從整體上掌握整個課時的學習進程，形成整體觀念．
問題2：如何準確繪制點？若在上任取一個值，你能確定正弦函數值嗎？
在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，單位圓與x軸正半軸的交點為A(1,0)，在單位圓上，將點A繞著點O旋轉弧度至點B，根據正弦函數的定義，此時點B的縱坐標即為，所以我們可以以角所對的弧長為橫坐標，以為縱坐標，就可以得到函數圖象上的一個點.
師生活動：教師引導學生，借助單位圓并根據正弦函數定義分析確定，的幾何意義。學生思考后，教師利用信息技術嘗試繪制這一點。
設計意圖：教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數定義的理解．通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．
問題3：我們已經學會繪制正弦函數圖象上的某一個點，那么，你能畫出,的圖象嗎？
方案1：在區間內任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．
方案2：在取12等分點，使的值分別為0，，，…，一直到，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按上述畫點的方法，就可畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點.
師生活動：（兩種方法本質相同，在信息技術條件支持下都容易實現，在手工操作的條件下，用方案2比較可行）．學生用方案2繪制函數圖象，教師借助信息技術，繪制函數圖象．
設計意圖：確定畫出一個周期內正弦函數圖象的方法并實施，同時體會信息技術給數學研究帶來的便捷．
問題4：根據函數的圖象，你能想象函數的圖象嗎？
預設的答案：根據公式一，可知函數的圖象與的圖象形狀完全一致．因此將函數的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就可以得到正弦函數的圖象，如圖2所示．
師生活動：學生畫圖，教師予以指導．

圖2
教師指出，正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線．
設計意圖：繪制函數的圖象．
問題5：在確定正弦函數在的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？
師生活動：對于函數的研究，能夠快速又比較準確的作出它的簡圖往往起著特別重要的作用。教師提出問題，引導學生觀察圖2，并說出他們的想法．
預設的答案：觀察圖2，在函數的圖象上，五個點在確定圖象形狀時起關鍵作用．因此只要描出這五個點，按照正弦函數圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出函數的簡圖，稱為“五點法”

教師指出，今后在精確度要求不太高時，常常先找出這五個關鍵點，用光滑的曲線將他們連接起來即可得到正弦函數的簡圖，我們把這種方法稱為“五點（作圖）法”.
設計意圖：觀察函數圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法．
（三）新知探索二：函數的圖象
問題1：借助正弦函數的圖象，通過怎樣的圖象變換，才能將正弦函數的圖象變換為余弦函數的圖象？
師生活動：學生先用排除法觀察誘導公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數、余弦函數關系研究的依據，教師引導學生通過比較進行選擇．從數的角度看，可以選擇關系．記，則．因此函數的圖象，可以看作將函數的圖象上的點向左平移個單位得到．如圖3所示：

圖3
教師指出，余弦函數，的圖象叫做余弦曲線．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線．
設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象；增強對兩個函數圖象之間的聯系性的認識．
問題2：利用“五點法”找出余弦函數在[0，2π]上相應的五個關鍵點，然后畫出，的簡圖.
師生活動：學生找點畫圖，教師予以指導.
 

設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，掌握“五點法”．
問題3：如果畫出余弦函數在[−π，π]上的圖象，應該找出哪五個關鍵點呢？

五個關鍵點：
師生活動：學生口頭說出五個關鍵點的坐標，教師予以肯定.
設計意圖：找出五個關鍵點的特征：最高點、最低點、函數圖象與軸的交點。熟練掌握“五點法”作正弦、余弦函數圖象．
（四）例題精講
例：畫出下列函數的簡圖：
（1），；
（2），．
師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結果進行投影展示交流，教師點評并給出規范的解答．
解：（1）按五個關鍵點列表：

x	0
	0	1	0	-1	0
	1	2	1	0	1

描點并將它們用光滑的曲線連接起來（圖4）：

圖4
（2）按五個關鍵點列表：

x	0
	1	0	-1	0	1
	-1	0	1	0	-1

圖5
設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函數圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基本技能．通過分析圖象變換，深化對函數圖象關系的理解，并為后續的學習作好鋪墊．
（五）課堂小結
教師引導學生回顧本節課的學習內容：
正弦函數、余弦函數的作法：①描點法（五點法），②圖象變換法
設計意圖：通過小結，復習鞏固本節課所學的知識，加深對正弦函數、余弦函數圖象的理解．
（六）布置作業
基礎鞏固：課本200頁練習1-4題；
創新探究：類比以往對函數性質的研究，觀察正弦函數、余弦函數的圖象，你能發現它們具有哪些性質？
設計意圖：1.考查學生對正弦函數、余弦函數圖象的基本特征的掌握程度，是否會利用“五點法”作圖．
2.為下一節的“正弦函數、余弦函數的性質”做鋪墊.

• 板書設計

 
 
 
 
 
 
 
 

七、教學反思

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