視頻標簽：楊輝三角

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：高中數學人教A版1.3.2《楊輝三角》山東師范大學附屬中學

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高中數學人教A版1.3.2《楊輝三角》山東師范大學附屬中學

 《楊輝三角》教學設計
1  教材分析
     《楊輝三角》是人教B版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3第一章1.3.2節的內容，是學生學習了二項式定理后進一步學習二項式系數性質的課例.楊輝三角的數字規律揭示了二項式系數的若干性質，蘊含著豐富的數學規律和重要的數學思想方法.是一個很好的探究學習的課例.
 “楊輝三角”是我國古代數學重要成就之一，除楊輝外，賈憲、朱世杰、華羅庚對楊輝三角都有深入的研究.應抓住這一題材，對學生進行愛國主義教育，激發學生的民族自豪感.
 本節內容以前面學習的二項式定理為基礎，運用特殊到一般的數學思想方法進行思考，發現規律，形成證明思路. 這一過程不僅有利于培養學生的思維能力、理性精神和實踐能力，也有利于學生理解本節課的核心數學知識，發展其數學應用意識.
       研究二項式系數這組特定的組合數的性質，對鞏固二項式定理，建立相關知識之間的聯系，進一步認識組合數、進行組合數的計算和變形都有重要的作用，對后續學習微分方程等也具有重要地位.
2  學情分析
【知識基礎】在此之前，學生學習了計數原理、排列組合、二項式定理的有關知識.
【能力基礎】高二學生有能力進行教師引導下的小組合作探究學習.
【方法基礎】在此之前，學生已經學習了推理與證明，對于歸納、猜想、驗證、證明的思想方法較為靈活的使用.
【難點預測】二項式系數性質的發現以及將其公式化的過程.
3  目標分析
【知識與技能目標】了解楊輝三角的歷史，掌握二項式系數的基本性質；
【過程與方法目標】通過“自主發現性質、證明性質、運用性質”的學習過程，掌握二項式系數的一些性質，培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力,體會歸納推理、賦值法等重要數學思想方法；
【情感、態度與價值觀目標】滲透愛國主義教育，培養學生獨立思考、交流討論、匯總見解的能力.激發學生的探究渴望.
4  教學重難點
【教學重點】二項式系數的性質及其應用.
【教學難點】楊輝三角的基本性質的探索和發現. 
5  教法學法
   觀察、探究、發現、合作交流.
6  教學過程
6.1 復習引入
1、二項式定理：________________________________________________；
       通項：                                                       ；
       二項式系數：______________________________________________；[來源:Zxxk.Cm]

1. =________________________________________________；

【師生活動】教師提問，學生齊答，師班互動.
【設計意圖】通過復習上節課所學，導入新課，為后面探究新知做好準備.
6.2 品讀歷史
     1、列出的展開式中當取1,2,3,4，5,6……時的二項式系數表.
  …………………………………………   1
  ……………………………………    1   1
  …………………………………   1   2   1 ……………………………………1   3   3   1
………………………………1   4   6   4   1
………………………… 1   5  10   10    5   1 ………………………1   6  15   20   15    6   1                            
…………………1   7   21   35   35    21    7    1
 
                              ……………………………                                               …………              ……………………………         
2、楊輝三角的歷史
楊輝，南宋數學家，于1261年著《詳解九章算法》，在其中詳細列出了這樣一張圖表，并且指出這個方法出于我國11世紀數學家賈憲的著作《黃帝九章算法細草》.在歐洲一般認為這是帕斯卡（Pascal）于1654年發現的，稱這個圖形為“帕斯卡三角”.這就是說，楊輝三角的發現要比歐洲早五百年，也說明了古代中華民族就在數學上有著輝煌的成就.
【師生活動】師生共同列出展開式當取1,2,3,4，5,6……時的二項式系數表.
【設計意圖】動手列表，品讀歷史，培養學生的愛國情感，激發學生的探究熱情.
6.3 探究性質
    1、問題：觀察楊輝三角你能發現哪些數量關系？由此得到二項式系數具有哪些性質？  
【師生活動】學生小組合作學習，教師適時點撥.
【設計意圖】通過對楊輝三角多角度的觀察，引導發現其規律，培養學生的觀察力，特殊到一般的歸納猜想能力.
     2、展示探究結果
性質1 對稱性
性質2 遞推性
性質3 二項式系數和
          …………………………………………………   1   1
         …………………………………………………1   2   1
          ………………………………………………1   3   3   1
         ……………………………………………1   4   6   4   1
        …………………………………………1   5   10  10   5   1
       ………………………………………1   6   15  20  15   6   1
性質4 二項式系數最大：通過比較與的大小得出.
深入探究性質 Ø二項式系數橫行排列所得數與11的方冪的關系
          …………………………………………………   1   1
         …………………………………………………1   2   1
          ………………………………………………1   3   3   1
         ……………………………………………1   4   6   4   1
        …………………………………………1   5   10  10   5   1
       ………………………………………1   6   15  20  15   6   1
教師升華              1     4    6    4     1
                  ×                  1     1
                 _____________________________
                      1     4    6    4     1
                 1    4     6    4    1
                 _____________________________
                 1    5    10    10   5     1
Ø二項式系數與斐波那契數列的關系
    1     1     2    3     5    8   ……
   ______________________________________
  1     1
   1   2   1
   1   3   3   1
   1   4   6   4   1
  1   5   10  10   5   1
  1   6   15  20  15   6   1
斐波那契數列簡介
著名的兔子繁殖問題：如果有一對小兔，每一個月都生下一對小兔，而所生下的每一對小兔在出生后的第三個月也都生下一對小兔.那么，由一對兔子開始，滿一年時一共可以繁殖成多少對兔子？兔子對數1,1,2,3,5,8,13,21,……組成的數列就是著名的斐波那契數列，此數列在自然界中的出現是如此地頻繁，請同學們觀察下列花瓣數目： 

學生會驚奇的發現確實組成斐波那契數列.
Ø楊輝三角中，任一列前個數之和規律是什么？證明你的結論？
                     1     1
                  1   2   1
               1   3   3   1
            1   4   6   4   1
        1   5   10  10   5   1
     1   6   15  20  15   6   1
 
【師生活動】教師從其他觀察角度引導學生發現.
【設計意圖】讓學生深入體會楊輝三角的奧妙無窮，激發學生的學習熱情.
 6.4 應用性質
 6.4.1 楊輝三角在數學中的應用
例1   已知展開式的各項二項式系數和等于512，求展開式中二項式系數最大的項.
【師生活動】學生獨立完成,選擇一名同學投影展示問題解決過程.
【設計意圖】二項式系數性質及二項展開式通項公式的靈活應用.
例2   填空：設，則

1. ______________;
2. ______________;
3. ______________.

【師生活動】學生思考,回答.
【設計意圖】一方面注意區分二項式系數和以及各項系數和，另一方面會應用賦值法解決問題.
6.4.1 楊輝三角在實際生活中的應用
Ø楊輝三角與高爾頓板
    在游藝場，可以看到如圖的彈球游戲，小球  (黑色 ) 向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區域獲得獎品。試問：為什么兩邊區獎品好于中間區獎品？

Ø楊輝三角與縱橫路線圖
    “縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？
【師生活動】教師錄制成微視頻供學生課后觀看.
【設計意圖】讓學生了解楊輝三角在實際生活中的應用，激發學生繼續探究的欲望.
6.5 課堂小結
1、一段歷史：楊輝三角
2、兩種思想方法：賦值法；特殊到一般     
3、四條基本性質：對稱性；遞推性 ；二項式系數和；二項式系數最大
6.6 課后作業
1、必做題：練習A  2，4  練習B  習題1-3A
2、選做題：習題1-3B 
3、研究性學習
活動主題：楊輝三角中的奧妙.
活動目標：探究與發現楊輝三角中的更多奧妙.
活動方案步驟：查閱資料，收集信息；獨立思考，發現規律，猜想證明；合作探究，小組討論，形成初步結論；與指導老師及其他小組成員交流展示；撰寫研究性學習報告.
       
                                                                
                              
 
  
 

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