視頻標(biāo)簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課展評(píng)《函數(shù)的單調(diào)性》湖北省荊州

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課展評(píng)《函數(shù)的單調(diào)性》湖北省荊州

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)
湖北省荊州中學(xué)　王智敏
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1．教材內(nèi)容及地位
本節(jié)課是人教版《數(shù)學(xué)》（必修1）第一章第3節(jié)函數(shù)單調(diào)性的第一課時(shí)，主要學(xué)習(xí)用符號(hào)語(yǔ)言（不等式）刻畫函數(shù)的變化趨勢(shì)（上升或下降）及簡(jiǎn)單應(yīng)用．
它是學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個(gè)、也是最基本的一個(gè)性質(zhì)，為后繼學(xué)習(xí)奠定了理性思維基礎(chǔ)．如研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，包括導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容等；在對(duì)函數(shù)定性分析、求最值和極值、比較大小、解不等式、函數(shù)零點(diǎn)的判定以及與其他知識(shí)的綜合問題上都有重要的應(yīng)用．因此，它是高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)之一，是函數(shù)教學(xué)的戰(zhàn)略要地．
2．教學(xué)重點(diǎn)
函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性．
3．教學(xué)難點(diǎn)
函數(shù)單調(diào)性概念的生成，證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證．
二、學(xué)生學(xué)情分析
1．教學(xué)有利因素
學(xué)生在初中階段，通過(guò)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，已經(jīng)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有了“形”的直觀認(rèn)識(shí)，了解用“隨的增大而增大（減小）”描述函數(shù)圖象的上升（下降）的趨勢(shì)．荊州中學(xué)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生基礎(chǔ)較好，數(shù)學(xué)思維活躍，具備一定的觀察、辨析、抽象概括和歸納類比等學(xué)習(xí)能力．
2．教學(xué)不利因素
本節(jié)課的最大障礙是如何用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫一種運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，從直觀到抽象、從有限到無(wú)限到所有是個(gè)很大的跨度．而高一學(xué)生的思維正處在從經(jīng)驗(yàn)型向理論型跨越的階段，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng)．另外，他們的代數(shù)推理論證能力非常薄弱．這些都容易產(chǎn)生思維障礙．
三、課堂教學(xué)目標(biāo)
1．理解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念．掌握證明簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法．
2．通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比等思想方法．
3．通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無(wú)限、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神和力量．
4．引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成思辨和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，鍛煉探究、概括和交流的學(xué)習(xí)能力．
四、教學(xué)策略分析
在學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中會(huì)存在兩方面的困難：一是如何把“隨的增大而增大（減小）”這一描述性語(yǔ)言“翻譯”為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)化語(yǔ)言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無(wú)限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證．對(duì)高一學(xué)生而言，作差后的變形和因式符號(hào)的判斷也有一定的難度．
為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我主要采取以下形式組織備課材料：
1．指導(dǎo)思想．充分發(fā)揮多媒體形象、動(dòng)態(tài)的優(yōu)勢(shì)，借助函數(shù)圖象、表格和幾何畫板直觀演示．在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過(guò)師生對(duì)話自然生成．
2．在“創(chuàng)設(shè)情境”階段．觀察并分析艾賓浩斯遺忘曲線的趨勢(shì)，結(jié)合初中已學(xué)函數(shù)的圖象，讓學(xué)生直觀感受函數(shù)單調(diào)性，明確相關(guān)概念．
3．在“引導(dǎo)探索”階段．首先創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性；然后設(shè)置遞進(jìn)式“問題串”，借助多媒體引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“隨的增大而增大”進(jìn)行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴(yán)謹(jǐn)性”的跨越．
4．在“學(xué)以致用”階段．首先通過(guò)四個(gè)判斷題幫助學(xué)生從正、反兩方面辨析，逐步形成對(duì)概念正確、全面而深刻的認(rèn)識(shí)．然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強(qiáng)化變形的方向和符號(hào)判定方法．接著請(qǐng)學(xué)生板演實(shí)踐．
 
五、教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
實(shí)例 德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過(guò)測(cè)試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：

測(cè)試時(shí)間     t	剛記憶完畢	20分鐘后	60分鐘后	8-9 小時(shí)后	1天后	2天后	6天后	一個(gè)月后
記憶保留量y (百分比)	100	58.2	44.2	35.8	33.7	27.8	25.4	21.1

 

思考:觀察“艾賓浩斯遺忘曲線”，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
預(yù)設(shè)：圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢(shì)
設(shè)計(jì)說(shuō)明：從情境導(dǎo)入新課，了解函數(shù)圖像隨著自變量的變化規(guī)律.
 函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應(yīng)實(shí)物的變化規(guī)律．在事物變化過(guò)程中，保存不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)．因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的．
 
接下來(lái)我們研究?jī)蓚�(gè)初中時(shí)非常熟悉的兩個(gè)初等函數(shù)，和.
思考1：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)自變量x的值增大時(shí),相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？
 函數(shù)和
設(shè)計(jì)說(shuō)明：從圖象直觀感知在某區(qū)間上圖像呈現(xiàn)上升或下降的趨勢(shì)與自變量的關(guān)系．
思考2：通過(guò)上面的觀察，如何用圖象上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)的變化來(lái)說(shuō)明上升或下降趨勢(shì)？
設(shè)計(jì)說(shuō)明：從圖象直觀感知在某區(qū)間上函數(shù)值隨自變量的變化而變化，此時(shí)圖像呈現(xiàn)上升或下降的趨勢(shì)．
在某一區(qū)間內(nèi)，
當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y也增大——圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；
當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y反而減小——圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降.
函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性（書寫標(biāo)題）
思考3:如何用函數(shù)解析式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述函數(shù)的圖像在區(qū)間 “上升”的這一特征？即“ y 隨著 x 的增大而增大”？
設(shè)計(jì)說(shuō)明：和學(xué)生一起探討如何取在區(qū)間D 內(nèi)找到“任意”的，引導(dǎo)學(xué)生找到兩個(gè)自變量，發(fā)現(xiàn)不行，多加一個(gè)，再加一個(gè)，也不行，從而說(shuō)明找有限個(gè)自變量不行，找無(wú)數(shù)個(gè)自變量還是不行，因?yàn)槲覀冃枰�所有的自變量都具有這種特征，想要“所有”的自變量，引出“任意”的，進(jìn)而提出“都有”與的大小關(guān)系，給出單調(diào)增函數(shù)的相關(guān)定義.
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/strong>I:
如果對(duì)于定義域內(nèi)I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)
類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù).
如果對(duì)于定義域內(nèi)I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)
設(shè)計(jì)說(shuō)明：從圖象直觀感知到文字描述，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義，明確相關(guān)概念，準(zhǔn)確表述單調(diào)性．
1.對(duì)的三個(gè)特征進(jìn)行說(shuō)明，（1）任意性，（2）有大小，（3）屬于同一區(qū)間
2.理解函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該注意的問題
（1）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì) ;（2）討論函數(shù)的單調(diào)性離不開區(qū)間.
（二）引導(dǎo)探索，生成概念
判斷辨析：
（1）    若函數(shù)滿足，則函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù).
（2）若函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
(3)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,若對(duì)于任意的，且當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)是增函數(shù).
(4)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.
設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)四道判斷題深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解,對(duì)概念加深印象.
對(duì)第二道判斷題產(chǎn)生一道變式題：
已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
設(shè)計(jì)說(shuō)明：強(qiáng)化分段函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.
例題1，如圖是定義在閉區(qū)間[－5,5]上的函數(shù) y = f(x)的圖象,  根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以及在每一單調(diào)區(qū)間上,  函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：利用函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，提出數(shù)形結(jié)合的思想方法．
例題2：判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性．
設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)照定義板書示范，指明變形的目的是變出因式等，并讓學(xué)生提煉證明的基本步驟．
變式1，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性．
變式2，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性．
設(shè)計(jì)說(shuō)明：討論一次函數(shù)的單調(diào)性與前面的系數(shù)之間的關(guān)系，特別注意對(duì)于字母的討論要做到不重不漏．
 
提煉方法，證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟：
（1）取值，（2）作差，（3）變形，（4）定號(hào)，（5）結(jié)論.
例題3：證明函數(shù)的單調(diào)性：
        （1）在上遞減；    （2）在上遞增．
設(shè)計(jì)說(shuō)明：先請(qǐng)兩位學(xué)生板演，然后由其他學(xué)生完善步驟，討論兩者的區(qū)別．
（四）回顧反思，深化認(rèn)識(shí)
課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？
（關(guān)鍵詞：兩個(gè)定義：增函數(shù)與減函數(shù)的定義； 
兩種方法：（1）圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.
一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合.
設(shè)計(jì)說(shuō)明：先給出問題，要求學(xué)生自主小結(jié)，再推出引導(dǎo)性關(guān)鍵詞.
（五）布置作業(yè)
課堂作業(yè)：第39頁(yè)習(xí)題 A組題，第2，3題       .
（六）板書設(shè)計(jì)

函數(shù)的單調(diào)性 遞增：（板書定義） 遞減：（學(xué)生類比）

例題（提煉步驟，明確變形方向） （學(xué)生板演）

 

 
 

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