視頻標簽：求函數零點,近似解的,二分法

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視頻課題：高中數學人教B版版必修一《求函數零點近似解的一種計算方法——二分法》

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版版必修一《求函數零點近似解的一種計算方法——二分法》


《求函數零點近似解的一種計算方法——二分法》 
教材分析 
（一）設置游戲，導入新課 
師：在上課之前我們來做個游戲好不好？游戲規則是請每位同學從（0,64）中任選一個整數，記在心里，我提六個問題，你只要回答我“高了”或是“低了”。六個問題全答完以后，我就會算出你心里記的那個數。你們相信嗎？    生：相信! 
請兩位同學一起和教師學生完成游戲環節 
   師：你們想不想知道我是用什么方法算出來呢？首先給定一個區間（0,64），然后取區間中點，根據你們回答“高了”或是“低了”作為判斷的依據，你們如果說“高了”，說明這個數字一定在（0~32）內，然后我又取（0~32）中點16，你們又回答高了，說明數字在（0~16）就這樣每次區間一分為二，將你們心里想的數字所在的區間逐步縮小，直到猜出數字。你們想不想試一試呢？學會了嗎？課下同學們可以玩玩這個游戲。 
（二）引導探究，解決問題 
小組探究1：想一想，下列函數是否存在零點？你用什么方法求得零點？  
        
21()24
fxxx2()ln26
fxxx
生1：:第一個用求根公式. 
   生2：把方程變形                  ，畫出兩個函數lnxy和 
62yx的圖象，看兩個函數是否有交點。發現恰好有一個角度，在
（1，3）內。 
    生3：第二個方程還可以畫出函數圖像，觀察函數圖象是否與x軸有交點。發現恰好有一個交點，用函數零點存在性定理判斷(2)f＜0，(3)f＞0，所以零點在（2,3）. 
小組探究2：如何求得函數的零點？ 
師：剛才的游戲我是怎么猜出你們心中的數字的。是不是先給出一個區間，然后取區間中點，將區間一分為二，逐步將區間縮小，逐步逼近數字所在的區間，是是可以借用這種方法求出函數的近似解呢？ 合作探究：（學生6人一組互相配合，兩人計算中點，兩人按計算器，兩人記錄過程．） 
步驟一：取區間(2，3)的中點2.5，用計算器算得(2.5)0.0840f. 
由(3)f＞0，得知(2.5)(3)0ff，所以零點在區間(2.5，3)內。 步驟二：取區間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得(2.75)0.5120f.
因為(2.5)(2.75)0ff，所以零點在區間(2.5，2.75)內.  結論: 由于 (2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零點所在的范圍確實越
來越小了. 如果重復上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復上述步驟后，將所得的零點所在區間內的任一點作為函數零點的近似值．特別地，可以將區間端點作為函數零點的近似值．(見下表和圖) 
     
（三）歸納總結，獲得新知 二分法定義： 
對于在區間a[，]b上連續不斷且滿足)(af·)(bf0的函數)(xfy，通過不斷地把函數)(xf的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 
   師：如何終止計算呢？需要給出精確度，當區間長度小于精確度就可以終止運算，這時區間內的任何一個數都可以作為函數的近似零點。 小組探究3：請學生總結二分法求函數)(xf的零點近似值的步驟如下： 生：給定精確度，用二分法求函數)(xf的零點近似值的步驟如下： 1、確定區間a[，]b，驗證)(af·)(bf0，給定精確度； 
 
                    
             
                    
                            2、求區間a(，)b的中點c； 3、計算()fc： 
（1）若()fc=0，則c就是函數的零點； 
（2）若)(af·()fc<0，則令b=c（此時零點0(,)xac）； （3）若()fc·)(bf<0，則令a=c（此時零點0(,)xcb）； 4、判斷是否達到精確度： 
即若||ab，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟2—4． （四）例題剖析，鞏固新知 
例1：借助計算器用二分法求函數                         的正實數零點（精確度0.1）.  
合作探究4：（學生6人一組互相配合，兩人計算中點，兩人按計算器，兩人記錄過程．） 
本例鼓勵學生自行嘗試，讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂.此例讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法. 思考： 
問題（1）：用二分法只能求函數零點的“近似值”嗎？ 問題（2）：是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？ 教師有針對性的提出問題，引導學生回答，學生討論，交流. 反思二分法的特點，進一步明確二分法的適用范圍以及優缺點，指出它只是求函數零點近似值的“一種”方法. （五）嘗試練習，檢驗成果 
3222
fxxxx
                    
             
                    
                            練習1: 下列函數的圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是   （      ） .      
2、根據表格中的數據，可以斷定方程               
的一個根所在區間是________. x -1 0 1 2 3   
0.37 
1 
2.72 
7.39 
20.09 
x+2 1 2 3 4 5 
 
3合作探究5：在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們相同的假幣(重量較輕)，現在只有一臺天平，請問：最多幾次就可以發現這枚假幣？ 
（六）課堂小結，回顧反思 
學生歸納，互相補充，老師總結： 
x 
y 
0 
x 
y 0 
x 
y 
0 
x 
y 0 
A B C D 
02xex
                    
             
                    
                            函數
方程轉化思想
逼近思想數學源于生活
數學用于生活
二分法
數形結合
1.確定初始區間2.不斷分解區間3.根據精確度得出近似解用二分法求方程的近似解
 
（七）課后作業，加強新知 課后作業： 
課本   第74頁   習題1,2 拓展作業： 
搜集二分法在實際生活中的應用實例 （八）編寫口訣，鞏固新知 
定區間，找中點，    中值計算兩邊看. 同號去，異號算，    零點落在異號間. 周而復始怎么辦?     精確度上來判斷.

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