視頻簡介：
視頻標簽：直線的點斜式方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教版必修二3.2.1直線的點斜式方程-廣東省
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教版必修二3.2.1直線的點斜式方程-廣東省 - 佛山
3.2.1 直線的點斜式方程
一、教材分析
“直線與方程”關系的研究，是“曲線與方程”的關系研究的前奏和基礎，本節課從比較淺顯的問題開始，通過親歷求直線方程的過程，使學生能夠深刻地認識到直線上的點與有序實數對之間的對應關系，并掌握求直線方程的方法。
貫穿“解析幾何”始終的一個重要問題就是由曲線求其方程和由方程研究曲線性質，而本節課則以簡單問題為載體，揭示了解決這個問題的基本方法和步驟，為進一步解決后繼的問題打下了堅實的基礎. “解析幾何”中處處滲透了各種數學思想，特別是數形結合與等價轉化思想，本節課則以生動的具體事例有效地促進學生樹立、鞏固和熟練應用這些數學思想. 教學是以發展學生的數學思維為重要目標，本節課則在優化數學思維的多種特征上有著獨特的功能。所以本節課教學的效果直接決定了整個“解析幾何”教學的效果.
二、教學目標
1. 知識與技能
（1）知道由一個點和斜率可以確定一條直線，探索并掌握直線的點斜式、斜截式方程；
（2）能根據條件熟練地求出直線的點斜式、斜截式方程，并能化為一般式.
2. 過程與方法
（1）讓學生經歷知識的構建過程，培養學生觀察、探究能力；
（2）使學生進一步理解直線的方程與方程的直線之間的對應關系，滲透數形結合等數學思想.
3. 情感態度與價值觀
（1）使學生進一步體會化歸的思想，逐步培養他們分析問題、解決問題的能力；
（2）利用多媒體課件的演示，增強圖形美感，使學生享受數學美，增進數學學習的情趣.
三、教學重點與難點
教學重點：直線的點斜式方程.
教學難點：對直線的方程與方程的直線的對應關系的理解.
四、教學方法
教師為主導，學生為主體，師生互動為主線.
五、教學情景設計
1. 教師幫助學生回憶學過的直線斜率及計算公式
問題1
（1）過已知點 的每一條直線是否都有一個對應的傾斜角？（是）
（2）過已知點 的每一條直線是否都有一個對應的斜率？
（不是，傾斜角是 時沒有斜率）
（3）斜率計算公式 成立的條件是什么？（ ， ）
2. 引入新課，明確任務
問題2 確定一條直線需要幾個獨立條件？
學生可能的回答： (1)已知直線上的一點和直線的方向(斜率或傾斜角)；
(2)已知直線上的兩個點
教師：我們知道，點可以通過坐標來定位，也就是點可以用數對來刻畫，而直線是由點組成的，那么我們能否用代數關系來刻畫直線呢？具體地講，對于一條確定的直線，該直線上所有點的坐標會滿足一個怎樣的代數關系呢？這是這節課我們要重點研究的問題。
3. 通過活動，讓學生體驗知識形成過程
問題3 設直線 經過定點 ，斜率為 ，請寫出直線 上另一個點 的坐標。
（不同的同學寫出的可能不同，比如 、 、 等等）
教師：能寫出直線 上所有點的坐標嗎？
生：能寫，但寫不完
教師：怎樣表示直線上所有的點呢？用數字能表示所有的動點嗎？
生：不能！用字母 可以表示所有的動點.
教師：字母 應該滿足怎樣的條件？
生： （1）
所以 （2）
教師：對于以上兩個關系式，你覺得選哪一個比較比較合適？
生：有人為（1），也有認為（2）
教師：為什么？
生：因為（1）中 ，丟掉了點 ， （2）中 補上點 .
教師：（2）中的 是直線 上的任意一點嗎？
生：是的
教師：這就是說，直線 上的任意一點的坐標都滿足方程（2），那么坐標滿足方程 （2）的每一個點是否都在過點 且斜率為 的直線上？
答：若點 的坐標 滿足方程（2）即
若 ，則 ，說明點 與點 重合，于是可得點 在直線上，若 ，則 ，說明點 和點 的直線的斜率為 ，于是可得點 在過點 斜率為 的直線上。
教師：也就是說，直線 上任意一個點的坐標都是方程（2）的解，反過來以方程（2）的解為坐標的點都在直線 上。所以我們可以把方程（2）叫做直線 的方程。
4. 通過由特殊到一般的推廣，引導學生建構數學理論
問題4 將問題推廣，把定點 的坐標 改為一般的點 ，直線的斜率為 ，那么直線 上的動點 的坐標滿足怎樣的關系呢？
生：類似的，當點 在直線 上運動時， 的斜率恒等于 ，即
，（ ，除點 外） (丟掉了點 )
即 ，（ 包括點 ） (補上點 )
可以驗證，直線 上的每個點（包括點 ）的坐標都是這個方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標的點都在直線 上；
教師：一方面，直線 上每一點的坐標 都滿足這個方程；另一方面，以這個方程的解為坐標的點都在直線 上。即：
教師：這個方程是由直線上的一個點和其斜率確定的，我們可以稱這個方程為直線的
生：點斜式方程。
教師板書：方程 叫做直線的點斜式方程.
其特點是“直線過點 ，斜率為 ”在直線上一個點和斜率已知的情況下，我們可以用點斜式直接寫出這條直線的方程。
5.例題教學，學會直接使用點斜式方程公式寫出直線方程
例1.求滿足下列條件的直線的方程
（1）已知直線經過點 ，斜率為2；
（2）已知直線經過點 ，且傾斜角為 ；
（3）已知直線經過點 ，且與 軸平行（與 軸垂直）；
（4）已知直線經過點 ，且與 軸垂直。
問題5 （1）當直線 經過點 且與 軸平行時，直線 的方程是：
（2）當直線 經過點 且與 軸垂直時，直線 的方程是：
當直線 與 軸平行也即與 軸垂直時，斜率為0，其方程能用點斜式表示. 實際上可寫為 .但因為 上每一點的縱坐標標都等于 ，所以它的方程是
當直線 與 軸垂直時，斜率不存在，其方程不能用點斜式表示.但因為 上每一點的橫坐標都等于 ，所以它的方程是
特別地， 軸、 軸所在的直線的方程分別為 =0和 =0.
例2 已知直線 的斜率為 ，與 軸的交點是 ，求直線 的方程.
解：由直線的點斜式方程，得所求直線的方程為 ，
即 .
6. 由一般到特殊，引導學生建構數學理論
教師：我們把直線 與 軸的交點 的縱坐標 叫做直線 在 軸上的截距。方程 由直線的斜率 與它在 軸上的截距 確定，所以叫直線的斜截式方程。
問題6 由直線的斜截式方程可以聯想到我們學習過的哪類函數？
說明：
(1)直線的斜截式方程是直線點斜式方程的一種特殊情況，即給出了直線與 軸交點的縱坐標，從而給出了交點坐標 ；
(2)直線的斜截式方程、點斜式方程適用范圍：直線的斜率存在；
(3)直線的斜截式方程 與一次函數的表達式 雖然有著相同的“面孔”，但有著本質的區別，前者的 可以為 ，后者的 卻不可為 .
(4)直線的斜截式方程 中的“ ”及直線“在 軸上的截距”，也叫“縱截距”.名稱中雖然有個“距”字，但這里的“ ”卻既可以為正、為負，也可以為0.但距離是恒為非負的，所以有“截距非距”之說.
7. 及時鞏固所學，形成技能
練習：課本P95 2、3
2.填空題
（1）已知直線的點斜式方程是 ，那么此直線的斜率是 ，傾斜角是
（2）已知直線的點斜式方程是 ，那么此直線的斜率是 ，傾斜角是
3.寫出下列直線的斜截式方程
（1）斜率是 ，在 軸上的截距是 （2）斜率是 ，在 軸上的截距是
8.合作探究，讓所學知識得以升華
探究1 在同一平面直角坐標系中作出直線 ， ， ， ， ，這些方程表示的直線有什么共同特點？你能用一個方程表示出它們來嗎？(為研究方程 作鋪墊)
推測：當 取任意實數時，方程 表示的直線都經過點 ，它們是一組共點直線. 我們稱之為共點線系。
問題7 這組直線包括所有過點 的直線嗎？
答：不含過點 的直線 .
探究2 在同一平面直角坐標系中作出直線 ， ， ， ， ，這些方程表示的直線有什么共同特點？你能用一個方程表示出它們來嗎？(為研究方程 作鋪墊)
推測：當b取任意實數時，方程y=2x+b表示的直線彼此平行，它們是一組平行直線，它們斜率相等，縱截距不等.我們稱之為平行線系。
9.通過及時應用鞏固探究成果
練習：當 取任何實數值時，
（1）直線 恒過點 . （2）直線 恒過點 .
（3）直線 恒過點 . （4）直線 恒過點 .
10.回顧小結，整理所學內容
（1）通過本節課的學習，你掌握了哪些知識？
（2）本節課用到的數學思想有哪些？(數形結合、分類討論等)
（3）通過本節課的學習，你會解哪些類型的題目？
①由直線上一個點的坐標和直線的斜率求直線的方程；
②能判斷方程 所表示的直線（ ）恒過定點 .
11.課后作業（再鞏固數學）
必做題：習題3.2 T1.(1)(2)(3)、T2
思考題：如果給出直線上不同的兩點，我們如何求此直線的方程？
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