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視頻標簽：不等式,錯在哪兒
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修五第三章不等式閱讀與思考錯在哪兒-四川省 - 成都
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閱讀與思考 錯在哪兒
一、教學任務分析
本節課通過對一類不等式取值范圍問題的探究，引導學生分析錯誤的根源，理解變量的相互制約關系。在此基礎上，掌握該問題的兩類正確解法，并注意變量相互制約關系在解題中的應用。 二、教學基本流程
1. 復習不等式性質和解線性規劃問題步驟，為后面問題解決提供知識鋪墊； 2. 提出問題，學生自主探究，制定問題解決方案； 3. 引導學生開展交流討論，剖析方案對錯成因； 4. 開展方法提煉，通過鞏固練習加強對方法的掌握；
5. 觸類旁通，梳理因忽略變量相互制約關系而出錯的問題，強化學生對數學思想方法
本質的理解。
三、教學重點與難點
重點：對解決該問題的線性規劃法（幾何法）和待定系數法、換元法（代數法）的掌握。 難點：對錯誤解法的分析，特別是對變量相互制約關系的理解。 四、教學過程 教學環節
教學內容
設計意圖
師生活動
備注
問題回顧 已知 ,
求（1） 的取值范圍； （2） 的取值范圍。 提出問題，學生解決問題。
通過問題的解決回顧相關基本知識和基本
方法。于問題解決中融入知識回顧、方法梳理，為后面的問題解決做鋪墊。
師：今天我們要一起探討一類不等式取值范圍的易錯問題。看看大家怎么出錯？議議錯在哪兒？首先請同學們回顧這樣一個熟悉的不等式問題，給出你的答案。 生：口述答案。
師：能談一談第二問的求解思路嗎？
生：口述答題思路。 師：引導學生關注不等式性質4，性質5。
幻燈片顯示問題 問題變式
已知
, 求 的取值范圍。 引出核心問題，放手讓學生自主解決，體驗先犯錯，再糾錯的過程。
師：我們把問題變一下，請同學們再試著解決。 生：在課堂練習本上自主完成。
師：巡視、指導、收集代表性解法。
生：上臺投影書面表達并講解自己的解題思路。
教師注意調控課堂練習時間。切換實物投影，請學生上臺展示。 學生幾
問題探究 探究一： 錯在哪兒？ 學生展示兩種常見思路
思路一：
解：由
得 ，
則 . 思路二：
解：令 ， 則 ， 利用線性規劃方法可得 . 出現矛盾沖突了，由兩種不同思路的學生相互質疑、糾錯、修正。 在此基礎上，教師再進行總結和強調。
探究二：這樣做對嗎？ 思路三： . 由 得
兩式相加：
即 . 將問題與相似且錯誤的思路一對比。 思路一：
由 , 得 ， 兩式相加得：
。
教師引導學生在對比中感悟方法的關鍵點.
探究一通過學生獨立思考、生生互動、師生互動等多種方式，形成思維碰撞，理清出錯根源，并介紹線性規劃法。
探究二引導學生在不破壞變量制約關系前提下從代數角度解決問題，介紹待定系數法。 師：兩種不同的思路，得到兩個不同的結果，那么至少有一種思路是錯誤的。請兩種不同思路的同學相互質疑、糾錯。
生:在學習小組討論中充分發表個人觀點。 師：請學生代表發言。 師：在學生發言基礎上,從線性規劃角度和變量相關性角度分析錯因，強調變量之間的相互制約關系。
師：線性規劃法是我們從形的角度解決此類問題的方法。剛才我們還找到了從代數角度利用不等式性質處理問題時出錯的根源在于破壞了變量之間的相互制約關系。既然找到了問題的癥結所在，那我們可以重新嘗試代數法。 生：分享解題思路。 師：盡管同學的答案是對的，但我仍心存疑慮。處理過程和剛才的錯誤思路非常相似。這樣做真的對嗎？
生：這一步： 整體代入保持了變量的相互制約關系，我覺得是對的。
師：從技術處理層面，何畫板演示,教師幾何畫板演示。教師板書
幻燈片顯示兩種思路的對比,教師板書。
探究三：源問題和問題變式有什么聯系？ 源問題：
已知
求 的取值范圍. 問題變式
已知
求 的取值范圍.
探究三引導學生嘗試將問題變式轉化為源問題進行處理,體悟轉化與劃歸的數學思想方法,介紹換元法。 這個式子 是怎樣得到的？
從而引出對待定系數法的介紹。
師:既然從代數角度仍然可以利用不等式的性質進行處理,那么參照源問題,兩者有沒有什么聯系?
生:換元試試。
師:換元后問題轉化為
，
求 的取值范圍。這就轉化為我們的源問題了。在轉化過程中,坐標系實際上發生了旋轉伸縮變換。我們將在高等數學的學習中接觸到。
幻燈片動畫展示旋轉伸縮變換。
方法提煉 方法提煉：
1. 線性規劃法（幾何法）； 2. 待定系數法/代入法（代
數法）。 培養學生養成解題后及時反思總結的習慣。
師：通過探究，同學們對這個問題處理方法已經比較清楚了。那么我們有哪些處理方法? 生：有兩種，一種是線性規劃法，一種是待定系數法。
幻燈片投影。 鞏固練習 鞏固練習：
設 滿足
,
求 的取值范圍.
加強學生對方法的過手訓練。
師：下面請同學們完成鞏固練習。
生:公布答案并指出所用方法。
幻燈片投影解題過程。
拓展訓練 判斷下列解題過程的正誤，并說明理由。 1.∵ 的最大值為 ， 的最大值為 ， ∴ 的最大值為 。
2.兩個正數 滿足 ，則 ，從而
梳理因忽略變量相關性而出錯的一些試
題，觸類旁通，加深對變量相
互制約關系的認識，突出對數學思想方法本質的理解。 師：我們收集了同學們平時的一些常見做法。結合今天的探究內容，我們回頭再看看這些做法對嗎？為什么？ 生：獨立思考、小組討論、思路分享。
總結的重點是要關注變量的相互制約關系
。∴ 。 3. 已知銳角 中, , 則 ° ,
∴
的取值范圍是
.
課堂小結 對本節課呈現問題的總結： 一項注意：不可忽略變量間的相互制約關系；
兩種方法：幾何法和代數法；
三個思想：數形結合的思想、整體代換的思想、轉化與化歸的思想。 培養學生歸納與反思能力。
學生思考、總結，并充分發表自己的意見，教師指導、梳理，并給出小結
五、板書設計 閱讀與思考：錯在哪兒
已知 , 求 的
取值范圍。 一、線性規劃法 二、待定系數法
）.
（ ） （ ） 則：
所以 ）
三、代入法
六、課堂的意外生成
在探究完成，進入方法提煉環節，突然有學生提問。 （一）學生思路如下： 解：由不等式
① ②
①+②得 ③
①*2得 ④ ③+④得
這樣做可以嗎？ （二）教師處理方法：
1. 引導學生開展小組討論； 2. 學生代表發言； 3. 教師幾何畫板演示驗證。 （三）教師教學反思
1. 此環節加深了學生對變量相互制約關系的理解，我們的課堂應鼓勵學生大膽質疑； 2. 建議教材在方程數據上重新設置，避免錯誤解法出現正確答案的巧合。
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