視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 武威

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 武威

《兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、 學(xué)情分析 
本課時(shí)面對的學(xué)生是高一年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)表達(dá)能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時(shí)期，學(xué)生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的概念、平面向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，這為他們探究兩角差的余弦公式建立了良好的知識基礎(chǔ)。 
二、 教學(xué)內(nèi)容分析 
本節(jié)內(nèi)容是教材必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)，推導(dǎo)得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。 
過去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，但過程繁瑣，不易被學(xué)生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，這樣處理使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算，大大地降低了思考的難度，也更易于學(xué)生接受。 
從知識產(chǎn)生的角度來看，在學(xué)習(xí)了《三角函數(shù)》及《平面向量》后再學(xué)習(xí)由這些知識推導(dǎo)出的新知識也更符合知識產(chǎn)生的規(guī)律，符合人們認(rèn)知的規(guī)律。從知識的應(yīng)用價(jià)值來看，重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，是新教材的顯著特點(diǎn)，課本中豐富的生活實(shí)例為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活、體驗(yàn)生活即數(shù)學(xué)理念，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。 
基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生通過合作、交流，探索兩角差的余弦公式，為后續(xù)簡單的恒等變換的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。 
 2 
 
三、 教學(xué)目標(biāo) 
1、知識目標(biāo) 
通過兩角差的余弦公式的探究，讓學(xué)生在初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能的基礎(chǔ)上記憶公式，并用之解決簡單的數(shù)學(xué)問題，為后面推導(dǎo)其他和（差）角公式打好基礎(chǔ)。 2、能力目標(biāo) 
通過利用同角三角函數(shù)變換及向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式，讓學(xué)生體會利用聯(lián)系的觀點(diǎn)來分析問題，解決問題，提高學(xué)生邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力 3、情感目標(biāo) 
使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，體驗(yàn)成功探索新知的樂趣，獲得對數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情。 
四、 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 
重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式。 難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。 
五、 教學(xué)基本流程 
      
 引入問題，提出探究 
明確途徑，組織和引導(dǎo)學(xué)生自主探索  例題、練習(xí)講解，深化公式的理解與運(yùn)用 
小 結(jié)   作 業(yè)   
 
                    
             
                    
                             
 
3 
六、 教學(xué)過程 
(一) 問題引入 
我們在初中時(shí)就知道 一些特殊角的三角函數(shù)值，例如2cos452

，3
cos302

，而)3045cos(15cos，那么大家猜想一下，15cos等于多少呢？是不是等于cos45cos30呢？ 
根據(jù)我們在第一章所學(xué)的知識可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！也就是)cos(一般不等于coscos，下面我們就一起探究兩角差的余弦公式。 （設(shè)計(jì)意圖：教科書以一個(gè)實(shí)際問題（求電視發(fā)射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題。同時(shí)幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活有關(guān)，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。解決這個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我班學(xué)生的實(shí)際情況，這樣做一定程度會搶去這節(jié)課主要研究內(nèi)容的風(fēng)頭。而且，在這個(gè)問題中要解決的)45tan(0與這節(jié)課要研究的)cos(的聯(lián)系不夠直接。用15cos來引入，一來可以節(jié)省時(shí)間，二來引出課題更加直接，更加自然。） 
(二) 公式探究 
第一步，明確探究途徑與目的 
提示學(xué)生聯(lián)系與角的余弦相關(guān)的知識點(diǎn)，明確以向量運(yùn)算中的數(shù)量積與三角函數(shù)線作為研究途徑。 
如右圖，在單位圓中作出角,，它們的終邊與單位圓分 別交于A、B兩點(diǎn)，先假設(shè)π,0,，且，提出以下問題： 
（1） 此時(shí)的取值范圍是多少？ （2） 圖中哪個(gè)角可以表示？ 
（3） 可以看作是哪兩個(gè)向量的夾角？ 
（問題設(shè)計(jì)目的：在探究公式的過程中，教材不要求學(xué)生做到一步到位。首先對角選擇較為特殊的范圍來進(jìn)行探究，能讓學(xué)生從整體上感知本節(jié)課所要探究的途徑與目的，讓大部分學(xué)生都參與到探究中來，避免部分學(xué)生一開始就感覺到困難，
y 
O 
x 
A 
B 
α 
β 
 
                    
             
                    
                             
 
4 
提不起向下探究的興趣。）  
第二步，復(fù)習(xí)相關(guān)知識 
（1）向量的數(shù)量積運(yùn)算（強(qiáng)調(diào)向量夾角的范圍） 
),(),,(2211yxOByxOA 2121,cosyyxxOBOABOAOBOAO
 
（2）三角函數(shù)線（結(jié)合圖形，特別要強(qiáng)調(diào)方向問題）  
第三步，推導(dǎo)公式 
在證明公式之前先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)知識寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)。 證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為 始邊作角,，其中π,0,，且，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B，則          )sin,(cos),sin,(cosOBOA 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有：          
sinsincoscos)sin,(cos)sin,(cosOBOA 
由π,0,，且知,0，那么向量OBOA,的夾角就是
，由數(shù)量積的定義，有 
)cos()cos(OBOAOBOA 
于是     sinsincoscos)cos(                 （1）    由于我們前面的推導(dǎo)均是在π,0,，且的條件下進(jìn)行的，因此（1）式還不具備一般性。事實(shí)上，只要,0，所表示的就是向量OBOA,的夾角。（這一點(diǎn)可以結(jié)合圖形作出說明。）      
但是，若,0，（1）式是否依然成立呢？ 當(dāng),0時(shí)，設(shè)OA與OB的夾角為，則 
coscosOBOAOBOAsinsincoscos 
另一方面，k2，于是,,2Zkk所以
cos
)cos( 
                    
             
                    
                             
 5 
也有      sinsincoscos)cos( 
綜上所述，得出公式： 對任意的,，

sinsincoscos)cos( 
 
（說明：公式的推導(dǎo)遵循由淺入深，由特殊到一般，逐層深入的規(guī)律，這樣安排，能讓更多學(xué)生參與到探究當(dāng)中。教材當(dāng)中對公式給出了兩種證明方法，一是幾何方法，一是向量方法。幾何方法的推導(dǎo)過程較為繁難，教材僅僅對特殊情況作了分析，而向量方法則顯得更加直觀和簡潔。為了讓學(xué)生體驗(yàn)向量工具的優(yōu)點(diǎn)，可以布置學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)按照教材的思路采取幾何方法進(jìn)行證明。） 
第四步，公式的記憶 
讓學(xué)生自己總結(jié)公式的特點(diǎn)，便于記憶。 
注：   1.公式中兩邊的符號正好相反（一正一負(fù)）； 
2.式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后； 3.式子中α、β是任意的。 
(三) 例題講解 
例1  利用差角余弦公式求15cos。 解： 
方法一：
42
630sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos 方法二：4
6
245sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos
 （設(shè)計(jì)意圖：此題是對公式的直接應(yīng)用，體現(xiàn)了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現(xiàn)了變換的多樣性。求解的過程可以完全由學(xué)生獨(dú)立完成。） 思考：如何求75sin？ 
（設(shè)計(jì)意圖：由15cos的值求75sin的值，為后面變換函數(shù)種類的思考作出鋪墊。） 
的值是第三象限角，求：已知例)cos(,13
5
cos),,2(,54sin2
 
                    
             
                    
                             
 
6 
解題思路： 求解最后代入公式再求先求)cos(,sin,cos 解：由

,2,54sin，得53sin1cos2 
又由,135cos是第三象限角，得13
12
sin1cos2 所以 
     sinsincoscos)cos( 
                  =653313125413553

 
（設(shè)計(jì)意圖：此題是應(yīng)用、理解公式的基礎(chǔ)練習(xí)，解此題需要思考使用公式前
應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，要作出這些必要的準(zhǔn)備，需要運(yùn)用到同角三角函數(shù)的知識。解題時(shí)必須強(qiáng)調(diào)解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。） 
思考：如果去掉條件中的

,2，對題目和結(jié)果有沒有影響？ 
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論的思想，提高表達(dá)能力。） 例3  化簡求值 
xxxxxxsin2
3cos21)4(167cos32sin77cos32cos)3()15sin(sin)15cos(cos)2(105sin15sin105cos15cos)1( （設(shè)計(jì)意圖：此題是對公式的逆用，目的是加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解與應(yīng)用。） 
例4已知,都是銳角，14
11
)cos(,71cos，求 cos的值。 
（設(shè)計(jì)意圖：此題是對公式的活用，由學(xué)生討論解決。此題一般有兩種方法可以求解。一種方法是把)cos(分解，此公式還沒推導(dǎo)，但部分學(xué)生可能會把
看作)(，然后用兩角差的余弦公式分解，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解。這種方法雖然較繁，但卻讓學(xué)生在無意當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了兩角和的余弦公式。另一種方法是把看做兩角差，即)(，這種方法顯然計(jì)算要簡單得多。通過不同方法的講解，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考問題，并指引學(xué)生在考試中選擇較為簡便的方法解題。） 
 
                    
             
                    
                             
 7 
七、 小結(jié) 
1.兩角差的余弦公式的推導(dǎo)（注意向量法的應(yīng)用）。 2.兩角差的余弦公式及其特點(diǎn)： 
3.利用兩角差的余弦公式解決簡單的求值和證明問題。 
4.三角函數(shù)解題的基本要求: 思維的有序性和表述的條理性。 八、 作業(yè) 
P137第2題，第3題，第13題（1）、（3）、（5） 九、 板書設(shè)計(jì) 

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