視頻標簽：函數模型的應用

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版數學必修1第四章4.5.3函數模型的應用（第2課時）

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人教 A 版數學必修1第四章4.5.3函數模型的應用（第2課時）4.5.3函數模型的應用第2課時

《4.5.3 函數模型的應用（二）》教學設計

一、教材分析
本節課選自人教版普通高中教科書必修第一冊第四章第五節《函數的應用（二）》的第二課時《函數模型的應用（二）》。函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具。本節課是函數模型應用的第二課時，是在學生學習了函數的概念和性質，學習了冪函數、指數函數、對數函數的綜合應用。結合對投資回報和選擇獎勵模型兩個問題的分析，通過比較線性函數、指數函數、對數函數等函數模型增長速度的差異，進一步理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義，并依此選擇合適的函數模型構建數學模型、刻畫現實問題的變化規律。
本節課的學習，從內容上看，是對前面所學習的幾種基本初等函數以及函數的性質的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續學習各種不同的函數模型的應用舉例奠定基礎，因此本節內容，既是前面所學函數知識的延續，又是函數模型再次應用學習的基礎，起著承前啟后的重要作用。
二、教學目標與核心素養
課程目標：通過實例的解決，運用函數解析式、表格、圖象，比較一次函數、指數函數以及對數函數模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型的意義；在經歷運用和選擇函數模型解決實際問題的過程中，通過恰當地運用函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數關系的操作，再次認識函數問題的研究方法。
學科素養：經歷建立和運用函數基本模型的過程，初步體驗數學建模的基本思想，體會數學的作用與價值，培養分析問題、解決問題的能力，提升學生的數學抽象、數學建模、數學運算等數學核心素養。
三、教材重難點
重點：選擇合適的函數類型構建數學模型，體會建立數學模型解決實際問題的一般過程。
難點：如何選擇合適的函數類型建立實際問題的數學模型。
四、學情分析
學生在學習本節課之前已經結合實例學習了幾類函數的概念、圖像和性質以及不同函數的增長差異，并能應用它們解決學科內的一些問題和一些簡單的實際問題。但是面對較復雜的實際問題，如何將其轉化為數學問題，特別是如何選擇函數模型來刻畫實際問題，大多數學生既缺乏這方面的經驗，也缺乏數學抽象的能力，以及對對不同函數增長差異的深刻認識。
五、教學方法及支持條件  
本課教學主要采用啟發引導式、自主探究式的教學方法。在教學中要充分利用信息技術的計算、作圖、列表等功能，處理實際數據、便捷地求解，可以鼓勵學生使用信息技術進行復雜的運算求解，畫圖列表，多元聯系的表示數學對象并分析問題。
六、教學過程
（一）導入新課，提出問題
【教師活動】我們知道，函數是描述客觀世界變化規律的數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來刻畫。本節課我們來研究面臨一個實際問題，怎樣根據問題的實際條件選擇恰當的函數模型來刻畫它。請觀察圖片《我要投資》，簡述投資者的迷茫，鼓勵學生幫其解決。
【設計意圖】體現數學源于生活，用于生活，激發學生的學習興趣。
（二）分析問題，建立模型
例1（投資回報問題）假如你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問：你會選擇哪種投資方式？
問題一：請初步選擇一種你認為合適的投資方案。
追問（1）假如你是投資者，當你要選擇方案時首先要考慮什么？你認為選擇投資方案的標準是什么？
【學生活動】小組討論并回答：投入資金相同，回報量多者優先。
追問（2）你會如何選擇這個方案呢？
【學生活動】同學之間進行討論，相互交流，各抒己見。
甲同學：……
乙同學：……
丙同學：……
【教師活動】我們的想法是否合理呢？我們需要進一步確認。
【設計意圖】直接進入問題的討論，師生共同探討得出本題的研究方向。
問題二：你能根據例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關系，并建立三種投資方案所對應的函數模型嗎？
【師生活動】引導審題，抓住關鍵詞“回報”，從解析法角度分析數量關系，建立函數模型。從日回報的角度引導學生根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案的函數解析式，同時注意實際問題中函數模型的定義域。.
解：設第 天所得回報是 元，則
方案一可以用函數 進行描述；
方案二可以用函數 進行描述；
方案三可以用函數 進行描述.
【設計意圖】指導學生將實際問題轉化為數學問題，引發學生思考，經歷建立函數模型的過程．
（三）組織探究，感性體驗
問題三：三個方案的本質是三個不同的函數模型，如何來比較它們的差異？
【教師活動】三個模型中，第一個是常數函數，后兩個都是遞增函數模型.要對其進行比較，先對它的增長情況進行分析. 從函數的表達方式上看：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數圖象來分析.
【教師活動】為了減輕比較過程中的運算量，教師利用信息技術給出表格和圖像。
【學生活動】學生小組分工，合作探究，利用數據表格、函數圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數爆炸的意義，初步體驗研究函數增長差異的方法．
先用計算機計算一下三種所得回報的增長情況.

x/天	方案一		方案二		方案三
	y/元	增加量/元	y/元	增加量/元	y/元	增加量/元
1	40		10		0.4
2	40	0	20	10	0.8	0.4
3	40	0	30	10	1.6	0.8
4	40	0	40	10	3.2	1.6
5	40	0	50	10	6.4	3.2
6	40	0	60	10	12.8	6.4
7	40	0	70	10	25.6	12.8
8	40	0	80	10	51.2	25.6
9	40	0	90	10	102.4	51.2
10	40	0	100	10	204.8	102.4
……	……	……	……	……	……	……
30	40	0	300	10	214748364.8	107374182.4

追問（1）根據表格中提供的數據，你對三種投資方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？
【設計意圖】引導學生利用數表對三種模型的增長情況進行分析，借助增加量初步發現當自變量變得很大時，三種模型增長速度的快慢。
追問（2）你能根據圖像描述一下這三種方案的特點嗎？
作出三個函數的圖象.

【設計意圖】借助圖像直觀理解 “直線上升”、“指數爆炸”的實際含義。
【學生活動】學生小組討論，合作交流。由表和圖可知，方案一的函數是常數函數，方案二、方案三的函數都是增函數，但方案二與方案三的函數的增長情況很不相同.可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二無法企及的.
從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.
【設計意圖】結合表格和圖像，通過描述三種方案的特點，為下一個問題埋下伏筆。
（四）深入思考，繼續探究
問題四：僅分析每天的回報數就能準確做出選擇嗎？
追問 根據投資天數作出不同方案的選擇，劃分天數的標準是什么？這種劃分正確嗎？
【師生活動】教師可以根據學生的答案，指出要具體到投資的天數，回報的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據，然后引導學生認識到要做出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時間內的累計回報，最后借助計算工具，得出總收益并做出判斷。
【學生活動】結合累計回報表，作出投資的選擇。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
一	40	80	120	160	200	240	280	320	360	400	440
二	10	30	60	100	150	210	180	360	450	550	660
三	0.4	1.2	2.8	6	12.4	25.2	50.8	102	204.4	409.2	818.8

投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應選擇方案三.
【注意】累計回報的本質是數列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現在僅限于通過對函數模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.
（五）小組交流，階段小結
1.學生小結，教師概括，增強學生對增長差異的認識．
常數函數（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數爆炸（急劇增長）。
2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數量關系，把它抽象概括成一個函數問題，用解析式、數據表格、圖象這三種函數的表達形式來研究的。
【設計意圖】分享學生成果，幫助學生總結不同增長的函數模型的增長差異，使學生初步體驗數學建模的基本思想，認識函數問題的研究方法。
（六）模型再探，理性分析
例2（選擇獎勵模型）某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金 （單位：萬元）隨銷售利潤 （單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現有三個獎勵模型： ，其中哪個模型能符合公司的要求？
問題一：根據題目條件，你認為應該選擇哪個獎勵模型才符合公司的要求？
追問（1）公司給出的獎勵模型涉及哪幾類函數模型？
追問（2）公司提出的要求與函數的什么性質有關？這對選擇函數模型有什么幫助？
【學生活動】學生小組討論，回答問題。教師引導學生明確問題的實質就是比較三個函數的增長情況．
追問（3）公司提出的獎勵方案有什么要求？
【學生活動】小組討論，并將實際條件用數學語言進行表達。
【教師活動】引導學生明確問題的目標，使學生得出：在利潤位于區間［10,1 000］上，要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過利潤的25%進行分析，才能做出正確選擇。
【設計意圖】意在引導學生關注實際問題的變化規律，并建立與函數性質的聯系，為選擇合適的模型做好準備。
問題二：函數圖像能直觀反映函數的性質特征，從而可以直觀判斷函數模型是否符合公司的要求。為此，你能否作出函數圖像，并通過觀察作出初步的判斷？
【師生活動】類比上題，尋求解決問題的方法。
1.通過信息技術作圖，發現增長差異；
2.結合限制條件，初步作出選擇；
3.通過計算，進一步確認，驗證所得結論；
4.體會對數增長模型的增長特征；
5.揭示函數問題的研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）。
【教師活動】請結合圖象，對三個模型的增長情況進行分析比較。
【學生活動】小組交流，討論探究。結合圖象，進一步認識三個函數模型的增長差異，對問題作出解答．
解：借助信息技術作出函數 的圖象.

觀察函數圖象，在區間［10,1000］上，模型 的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型 的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型 進行獎勵時才能符合公司的要求.
【設計意圖】意在引導結合函數圖像、結合函數性質作出初步判斷，再次感受圖像的直觀作用。
問題三：你能說明選擇模型的理由，并給出本題解答嗎？
追問（1）函數圖像的直觀作用一目了然，僅僅通過圖像是否可以直接進行判斷？你能找出判斷的依據嗎？
【師生活動】首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬。
對于模型 ，它在區間［10,1000］上遞增，而且當 時， ,因此,當 時, ，所以該模型不符合要求；
對于模型 ，由函數圖象并利用計算器，可知在區間(805，806)內有一個點 滿足 ,由于它在區間［10,1 000］上遞增，因此當 時， ，所以該模型也不符合要求；
對于模型 ，它在區間［10,1000］上遞增，而且當x=1 000時, ，所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.
【設計意圖】通過計算，進一步確認，驗證所得結論。
追問（2）對數函數模型是否符合公司獎勵方案的第二個要求？
【師生活動】再計算按模型 獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈［10,1 000］時，是否有 成立.

令 ,x∈［10,1000］.利用信息技術作出函數圖象，由函數圖象可知它是遞減的，因此
,即 .
所以當x∈［10,1 000］時，
說明按模型 獎勵，獎金不超過利潤的25%.
綜上所述，模型 確實能符合公司的要求.
【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，能應用函數性質，采用函數觀點來解決問題，同時體會對數增長模型的特點：當自變量變得很大時，平緩增長．
【注意】對判斷模型 是否滿足限制條件“ ”，考慮到學生現在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數，觀察新函數的圖象來解決（因為該函數單調性的判定，超出了現階段學生的認知水平。）
（七）歸納總結，提煉升華
問題：通過本節課的學習，你有哪些收獲？
1.知識方面：對函數的性質有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數，但其增長差異卻很大：常數函數（沒有增長）；一次函數（直線上升）；指數函數（爆炸增長）；對數函數（平緩增長）．
2.方法方面：函數有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數問題的一般研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）
3.思想方面：兩個例題都體現了數學建模的思想，即把實際問題數學化。
【設計意圖】理解幾類不同增長的函數模型的增長差異，提煉數學思想方法，認識數學的應用價值。
（八）布置作業，鞏固提高
必做題：習題4.5 第11、12題；
選做題：探究選擇獎勵模型的最優方案—上述獎勵方案實施以后，立刻調動了員工的積極性，但隨著時間的推移，又出現了新的問題，員工缺乏創造高銷售額的積極性.這個獎勵方案有什么弊端？請設計出更合理的獎勵模型。
探究題：習題4.5 第14題.
【設計意圖】進一步體會函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來描述，體會數學的應用價值。
（九）板書設計

信息技術演示

4.5.3函數模型的應用（二） 一、幾種常見函數的增長差異 二、數學建模的基本過程

七、教學反思
本課是《函數模型的應用》第二課時，在導入本課時，利用過渡的語言很好的銜接了上一課的內容，為本課的展開作好了準備，顯得自然流暢。本課設計由學生感興趣的實際問題入手，由此使學生產生濃厚的學習興趣，投資回報與選擇獎勵兩個問題不僅讓學生學會了函數模型的應用，而且體會到它們之間的差異，可以讓學生充分認識數學問題來源于實踐，提升學生應用數學的能力，在這一過程中感受數學的應用價值，激發他們學習的興趣和主動性．在教學中，通過學生間互動、師生間互動解決了一個個教學重難點，由于數據繁多復雜，不好處理，因此本節課充分利用信息技術的優勢，方便完成了各項計算，盡可能發揮學生的主觀能動性，對函數模型作了深入的探究和分析。本課教學學生參與度高，課堂氛圍濃厚，學生積極性很高。

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