視頻標(biāo)簽：函數(shù)模型,應(yīng)用實例

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)教A版必修一3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例_北京

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高中數(shù)學(xué)教A版必修一3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例_北京市日壇中學(xué)

教學(xué)基本信息
課題
函數(shù)模型的應(yīng)用實例
是否屬于
地方課程或校本課程 否
學(xué)科 數(shù)學(xué) 學(xué)段： 高中
年級
高一
相關(guān) 領(lǐng)域 
函數(shù)建模
教材
書名：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書   數(shù)學(xué)1出版社： 人民教育出版社    
指導(dǎo)思想與理論依據(jù)
1、 指導(dǎo)思想
    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程的基本理念”部分指出：
發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.通過三個經(jīng)濟問題，學(xué)生體會財經(jīng)素養(yǎng)是最大的財富，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)建模”的過程，總結(jié)函數(shù)建模的方法.
注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合.本節(jié)課學(xué)生使用CASIO圖形計算器進行函數(shù)擬合. 2、理論依據(jù)
    本節(jié)課的理論依據(jù)是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論.
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強調(diào)以學(xué)生為中心，認為學(xué)生是認知的主體，教學(xué)活動的積極參與者、是知識意義的主動建構(gòu)者.本節(jié)課在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下，教師通過創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容要求的情景和提示新舊知識之間聯(lián)系的線索，幫助學(xué)生建構(gòu)新知識的意義；盡可能組織協(xié)作學(xué)習(xí)，展開討論和交流，并對協(xié)作學(xué)習(xí)過程進行引導(dǎo)，使之朝有利于意義建構(gòu)的方向發(fā)展.
2
教學(xué)背景分析
1、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析
本節(jié)課內(nèi)容出自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)1必修(A版)》中第三章“函數(shù)的應(yīng)用”3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》.
本節(jié)課是對基本初等函數(shù)性質(zhì)的延續(xù)和發(fā)展，同時總結(jié)了一些函數(shù)建模的方法：配對比較、函數(shù)擬合、構(gòu)造新函數(shù)等，為以后的函數(shù)建模奠定了基礎(chǔ).函數(shù)擬合要求學(xué)生能夠?qū)ΜF(xiàn)實情境中收集的數(shù)據(jù)進行觀察分析，選擇較為接近的函數(shù)模型，結(jié)合實際問題比較模型的優(yōu)劣，最后應(yīng)用所選擇的模型解決實際問題.函數(shù)建模的方法和函數(shù)擬合的思想在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用非常廣泛. 2、學(xué)情分析
（1）學(xué)生具備的認知基礎(chǔ)：
①一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)； ②數(shù)、式、形三者相互轉(zhuǎn)化的初步意識；
③會利用圖形計算器進行基本初等函數(shù)的函數(shù)擬合. （2）學(xué)生欠缺的知識和能力：
①專業(yè)術(shù)語：比如整存整取、基準(zhǔn)利率、通貨膨脹率等； ②判斷實際問題應(yīng)該選用的函數(shù)模型和解決方法. 學(xué)生能夠應(yīng)用圖形計算器解決簡單的數(shù)學(xué)問題。通過課前的問卷調(diào)查，從數(shù)據(jù)反映出來的狀況如圖所示：
調(diào)查發(fā)現(xiàn)，我所授課兩個班的52名學(xué)生，35個學(xué)生（67.3%）能尋找到變量間確定的數(shù)量關(guān)系；42個學(xué)生（80.8%）第一題正確，有了初步的模型積累，能夠調(diào)用已有知識和現(xiàn)實問題對接；17個學(xué)生（32.7%）第二題全部正確，能夠比較靈活地進行三種語言的轉(zhuǎn)換；30個學(xué)生（57.7%）對應(yīng)用題有畏難心理. 3、前期教學(xué)狀況、問題、對策
    前期教學(xué)的狀況是：學(xué)生積累了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)模型，但不能有效對接具體情境；學(xué)生在專業(yè)術(shù)語、抽象符號、數(shù)學(xué)公式的解釋、三種語言的轉(zhuǎn)換、需要歸納和類比的內(nèi)容等方面存在著閱讀障礙.
 
67.30%
80.80%
32.70%
57.70%
數(shù)量關(guān)系模型積累語言轉(zhuǎn)換畏難心理
 
                           
                  
                           
                                                
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閱讀障礙以及對策
閱讀障礙
對策
專業(yè)術(shù)語 數(shù)學(xué)抽象符號 數(shù)學(xué)公式的解釋 舉例說明 由具體到抽象 由特殊到一般 三種語言的轉(zhuǎn)換 列舉、圖、表 需要歸納和類比的內(nèi)容
模型積累
4、教學(xué)方式：啟發(fā)式.
5、教學(xué)手段：學(xué)習(xí)工作紙、ppt、圖形計算器.
6、技術(shù)準(zhǔn)備：多媒體設(shè)備、CASIO fx－CG20圖形計算器.
借助圖形計算器的做圖功能，可以直觀的反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；快速計算基本初等函數(shù)擬合的殘差平方和、相關(guān)系數(shù)等參數(shù)，為選擇合理函數(shù)模型提供依據(jù).
 教學(xué)目標(biāo)(內(nèi)容框架)
根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我確定本課時教學(xué)目標(biāo)如下： 知識與技能：
1、 選擇合理的模型表達變量間的數(shù)量關(guān)系； 2、 會用函數(shù)擬合的方法解決實際問題；
3、 嘗試根據(jù)散點圖的特征構(gòu)造新函數(shù)，解決實際問題.
過程與方法：經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，體會配對比較、函數(shù)擬合等函數(shù)建模的方法.
情感態(tài)度與價值觀：體會函數(shù)建模在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用價值.     根據(jù)教學(xué)內(nèi)容解析和學(xué)情分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點和難點如下： 教學(xué)重點：利用函數(shù)擬合的方法解決實際問題. 教學(xué)難點：構(gòu)造新函數(shù)，設(shè)計相應(yīng)的擬合方案. 突破難點的關(guān)鍵在于對散點圖的圖形特征的觀察.
教學(xué)過程(文字描述)
教學(xué)流程圖 
 
 
配對比較 函數(shù)擬合
基本初等函數(shù)擬合
構(gòu)造新函數(shù)擬合
總結(jié)提升
 
                           
                  
                           
                                                
 
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下面我將對每一階段教學(xué)中計劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明. （一）教育儲蓄
例1：你的父母為你儲蓄一筆大學(xué)教育資金，第三年末取出.一年期整存整取的定期年利率為1.5%，三年期整存整取的定期年利率為2.75%.假設(shè)央行現(xiàn)行基準(zhǔn)利率不變.現(xiàn)有二種方案供你選擇：
方案一：選擇一年期整存整取，每年的年末將本金和利息取出后，馬上將之做為本金全部存入銀行.依次類推，直至第三年末；
方案二：選擇三年期整存整取． 請問哪種投資方案好？
預(yù)設(shè)學(xué)生活動1：本息合計多的方案好；      預(yù)設(shè)學(xué)生活動2：資金提取靈活的方案好.
解釋：整存整取、三年期整存整取.
比較：哪種方案好？若從本息合計多的角度考慮，結(jié)果如下表所示，    
配對比較：
方案1對應(yīng)的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)，其增長方式為指數(shù)爆炸；方案2對應(yīng)的函數(shù)模型是一次函數(shù)，其增長方式為直線上升.
評價：這兩種儲蓄方式對現(xiàn)實生活的啟示？ 
【設(shè)計意圖】建立模型時，如果能夠?qū)ふ业阶兞块g的確定的數(shù)量關(guān)系，那么調(diào)用模
型積累，進行配對比較.
（二）美國宏觀經(jīng)濟
家庭財富的增長除了合理決策之外，還和國家的宏觀經(jīng)濟形勢息息相關(guān).市場經(jīng)濟發(fā)達的美國，它的宏觀經(jīng)濟情況如何呢？
例2：美國1999—2008年的通貨膨脹率和聯(lián)邦基準(zhǔn)利率如下表所示： 通貨膨脹率% 4.13 4.86 1.90 2.20 1.77 1.81 4.06 3.96 4.31 1.07 美國聯(lián)邦基準(zhǔn)利率%
4.97
6.24
1.49
1.67
1.13
1.35
3.22
4.67
5.02
1.02
建立一個能基本反映這一時期內(nèi)，美國聯(lián)邦基準(zhǔn)利率隨美國通貨膨脹率變化的函數(shù)模型. 解釋：什么叫通貨膨脹率上升？
 本息合計
第一年末
第二年末
第三年末 方案1 1+1.5%

2
1+1.5%

3
1+1.5%1.045
方案2 
1+2.75%3=1.081
 
                           
                  
                           
                                                
 
5
師生交流：
學(xué)生發(fā)現(xiàn)，和例1相比，數(shù)據(jù)沒有規(guī)律，尋找不到確定的變量間的數(shù)量關(guān)系，很難進行配對比較，因此對這個實際問題進行函數(shù)擬合.
擬合（小組合作）： 
預(yù)設(shè)學(xué)生活動1：利用圖形計算器畫出散點圖，使用三次函數(shù)進行擬合；
 
預(yù)設(shè)學(xué)生活動2：利用圖形計算器畫出散點圖，使用二次函數(shù)進行擬合；
 
預(yù)設(shè)學(xué)生活動3：利用圖形計算器畫出散點圖，使用指數(shù)型函數(shù)進行擬合；
 
對比殘差平方和以及相關(guān)系數(shù)：          函數(shù)
參數(shù)
三次函數(shù)
二次函數(shù)
指數(shù)型函數(shù)
殘差平方和（MSe） 0.30 0.26 0.01 相關(guān)系數(shù)2
0.94
0.94
0.96
殘差平方和（MSe）：只有指數(shù)函數(shù)進行擬合時的殘差平方和約為0.01，其他函數(shù)擬合的殘差平方和均大于0.25；
猜想：發(fā)現(xiàn)在1999—2008年間，隨著美國通貨膨脹率增長，聯(lián)邦基準(zhǔn)利率也隨之提高.這是一般的經(jīng)濟現(xiàn)象嗎？
 
                           
                  
                           
                                                
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印證：實際上這組數(shù)據(jù)經(jīng)過了一定程度的美化.國家宏觀調(diào)控不可能只受單一因素的影響.來看從1960年至今的情況.其中，綠線可以代表美國通貨膨脹率，粉線可以代表美國聯(lián)邦基準(zhǔn)利率.
解釋：你能解釋美國通貨膨脹率增長，聯(lián)邦基準(zhǔn)利率也隨之提高這一經(jīng)濟現(xiàn)象嗎？ 通貨膨脹率增加→流通環(huán)節(jié)的貨幣增加→提高基準(zhǔn)利率→存貸款雙向控制. 遷移：這種經(jīng)濟現(xiàn)象對我們國家和家庭的有什么借鑒意義？
【設(shè)計意圖】
1、根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點圖進行觀察分析，選擇較為接近的函數(shù)模型，比較模型的優(yōu)劣，應(yīng)用所選擇的模型解決實際問題.
2、感受數(shù)學(xué)模型可以對國家宏觀經(jīng)濟調(diào)控的作用.
（三）預(yù)測手機銷量
若干年后, 我們從“小儲蓄”發(fā)展成了“大投資”，我們擁有了自己的公司，你能用今天學(xué)到的方法解決你公司里的一個問題嗎？
例3：隨著通訊技術(shù)的發(fā)展和社會交流的擴大，人們對手機的需求量也與日俱增．公司在第一年的手機銷售量(單位: 十萬臺)如下，試預(yù)測公司在第二年5月份的手機銷售量. 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 0.83
0.97
0.11
0.81
2.29
2.11
1.37
2.38
3.7
3.23
2.7
3.96
嘗試擬合：
預(yù)設(shè)學(xué)生活動1：利用圖形計算器畫出散點圖，使用正弦函數(shù)進行擬合；
 
預(yù)設(shè)學(xué)生活動2：利用圖形計算器畫出散點圖，使用對數(shù)函數(shù)進行擬合；
 
預(yù)設(shè)學(xué)生活動3：利用圖形計算器畫出散點圖，使用一次函數(shù)進行擬合；
 
                           
                  
                           
                                                
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做出散點圖，從圖中可以看出散點圖呈現(xiàn)一種規(guī)律，一方面直線上升(一次遞增函數(shù)) ，另一方面呈現(xiàn)波折形態(tài)(正弦函數(shù)型)，圖形計算器現(xiàn)有的擬合函數(shù)都是基本初等函數(shù)，無法進行擬合。
 
構(gòu)造新函數(shù)：經(jīng)過討論，巧妙地用構(gòu)造了一個遞增的一次函數(shù)和一個正弦型曲線的疊加. 預(yù)設(shè)學(xué)生活動1：一次函數(shù)與正弦函數(shù)的疊加； 預(yù)設(shè)學(xué)生活動2：對數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的疊加. 設(shè)計方案：
第一步：對數(shù)據(jù)進行一次函數(shù)擬合，得到擬合函數(shù)1()0.300069930.08787878fxx； 第二步：做出原數(shù)據(jù)與一次函數(shù)的差，作為一組新的數(shù)據(jù)；
月份 臺數(shù)（十萬） 一次函數(shù)值 差值
1 0.83 0.38794871 0.44205129 2 0.97 0.68801864 0.28198136 3 0.11 0.98808857 -0.87808857 4 0.81 1.2881585 -0.4781585 5 2.29 1.58822843 0.70177157 6 2.11 1.88829836 0.22170164 7 1.37 2.18836829 -0.81836829 8 2.38 2.48843822 -0.10843822 9 3.7 2.78850815 0.91149185 10 3.23 3.08857808 0.14142192 11 2.7 3.38864801 -0.68864801 12 3.96 3.68871794 0.27128206
第三步：對新的數(shù)據(jù)利用正弦函數(shù)擬合，得到擬合函數(shù)
2()0.80169104sin(1.653562920.7917025)0.021933fxx ；
 
                           
                  
                           
                                                
 
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第四步：檢驗新函數(shù)12()()()fxfxfx與散點圖的擬合情況.
 
 
預(yù)測：當(dāng)17x的函數(shù)值(17)f，從而為公司的擴大生產(chǎn)提供依據(jù).可以利用這個模型和方法解決實際問題中的有關(guān)季節(jié)性的產(chǎn)品銷售問題.
【設(shè)計意圖】
1、根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特征構(gòu)造新函數(shù)，設(shè)計方案進行函數(shù)擬合. 2、體會函數(shù)擬合對生產(chǎn)生活的預(yù)測作用.
（四）總結(jié)提升
回顧這節(jié)課的研究方法？今天學(xué)習(xí)的的研究方法能解決哪些身邊的實際問題？
 
 
    
 
函數(shù)建模
配對比較
構(gòu)造新函數(shù) 函數(shù)擬合
式
形
數(shù)
函數(shù)表示
                           
                  
                           
                                                
 
9
 
函數(shù)擬合的基本過程
        
 
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容以及研究方法，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容，有利于體會各種研究數(shù)學(xué)的方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.
 結(jié)束語：
有人測算過，在2004年1月投資1元國庫券，那么逐月翻滾，到2014年12月，這1元將變成1.5元.如果把這1元投資股市，例如，購買深證指數(shù)，那么逐月翻滾11年，這1元將變成2.9元.但是如果有人掌握這11年的完全信息，而對這兩種證券逐月作最優(yōu)組合，那么這1元將變成多少? 答案是了1251643，超過100萬元！從1元到100萬元是正確的決策可能活動的廣闊天地，這也是數(shù)學(xué)模型的廣闊天地！ （五）作業(yè)
從下列兩個實習(xí)任務(wù)中任選一個：
1、記錄一周的天氣預(yù)報，列出每天的最高氣溫，建立一個能基本反映這一時期內(nèi)最高氣溫的函數(shù)模型.
2、測量自己一周內(nèi)每天中午12:16的影子長度，你能發(fā)現(xiàn)什么？并建立一個能基本反映影子長度的函數(shù)模型.
【設(shè)計意圖】 
作業(yè)采用開放性的問題，學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠應(yīng)用所學(xué)到的知識發(fā)現(xiàn)和解決
實際的問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也有利于擴展學(xué)生
是 否
收集數(shù)據(jù)
畫散點圖 選擇函數(shù)模型
擬合 檢驗
解決問題
                           
                  
                           
                                                
 10
的視野，提高實踐能力.
學(xué)習(xí)效果評價設(shè)計
評價方式
通過觀察，對學(xué)生學(xué)習(xí)過程進行評價，包括學(xué)習(xí)態(tài)度、參與小組合作學(xué)習(xí)的積極程度（是否能積極進行思考、表達自己的想法、傾聽別人的想法并提出意見和建議）、能否理解并有條理地表達數(shù)學(xué)內(nèi)容. 評價量規(guī):     評價標(biāo)準(zhǔn)  評價內(nèi)容
非常好 比較好 一般 不太好 不好
學(xué)習(xí)態(tài)度
注意力非常集
中，非常主動、積極地參與到教學(xué)活動中 注意力比較集中，很主動、
積極地參與到教學(xué)活動中 注意力基本能集中，能主動、積極地參與到教學(xué)活動中 注意力不太集中，被動地參與任何教學(xué)活動
注意力不集中，不參與任何教學(xué)活動
獨立思考
對于老師提出的問題積極進行思考，并表
達自己的想法，還能提出問題 對于老師提出的問題積極進行思考，并愿意表達自己的想法
對于老師提出的問題進行思考，但不愿表達自己的想法
對于老師提出的問題進行思
考，沒有想法 對于老師提出的問題不進行
思考
參與小組討論 非常積極地組
織并主動參與
小組討論 主動參與小組討論
能參與小組討論
在小組討論中只聽被人說，自己不思考
不參與小組討論
表達數(shù)學(xué)內(nèi)容 理解并有條理
地表達數(shù)學(xué)內(nèi)
容
理解并能用自己的語言表達數(shù)學(xué)內(nèi)容 明白數(shù)學(xué)內(nèi)容但表達的不清晰
對數(shù)學(xué)內(nèi)容不十分清楚，表達不出 不愿表達數(shù)學(xué)內(nèi)容
自我反思
習(xí)慣對自己的
學(xué)習(xí)中的情況進行反思
經(jīng)常對自己的學(xué)習(xí)中的情況進行反思
對自己的學(xué)習(xí)中的情況能進行反思
很少對自己的學(xué)習(xí)中的情況進行反思
不對自己的學(xué)習(xí)中的情況進行反思
教學(xué)設(shè)計特色說明與教學(xué)反思(300-500字?jǐn)?shù))
教學(xué)設(shè)計特色說明
 
                           
                  
                           
                                                
 11
（1）感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值
學(xué)生感受到函數(shù)的廣泛應(yīng)用，真實體驗到數(shù)學(xué)模型對實際生活的作用：小到家庭儲蓄，大到宏觀調(diào)控，近到國內(nèi)市場，遠到美國通脹，使得建模的結(jié)果有一定的實際意義，體現(xiàn)新課程的問題性、應(yīng)用性特點，提升學(xué)生的財經(jīng)素養(yǎng).
（2）關(guān)注學(xué)生發(fā)展
創(chuàng)設(shè)了自主探索、動手實踐、小組合作交流等多種學(xué)習(xí)活動方式，使學(xué)生獲得比較完整的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，培養(yǎng)學(xué)生“能表達”、“會表達”，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”、“用數(shù)學(xué)”的意識，關(guān)注了學(xué)生的發(fā)展，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)活動的空間. 
教學(xué)反思
本節(jié)課利用問題引領(lǐng)思維，充分暴露學(xué)生的思維過程，采用了抓住關(guān)鍵詞展開聯(lián)想進行轉(zhuǎn)化，借助直觀圖像幫助思考等思維策略.每個題目都以數(shù)據(jù)和現(xiàn)象→研究→結(jié)論→借鑒的線索貫穿.總結(jié)了函數(shù)建模的常見方法，歸納了函數(shù)擬合的一般步驟，嘗試?yán)�用�?shù)、式、形三種不同的形式進行數(shù)學(xué)表達.數(shù)學(xué)建模是高中階段重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，仍需要學(xué)生不斷感悟和積累才能逐步提升的.如何幫助學(xué)生更好提升數(shù)學(xué)建模能力將是我繼續(xù)思考和探索的方向. 

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