視頻標(biāo)簽：弧度制

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊第五單元5.1.2《弧度制》

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高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊第五單元5.1.2 弧度制

5.1.2 弧度制
教學(xué)設(shè)計(jì)
1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
   5.1.2 弧度制
2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
（1）能理解弧度的意義；能掌握角度與弧度的換算；了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系；掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。
（2）在教學(xué)過程中通過設(shè)置問題情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；領(lǐng)悟概念學(xué)習(xí)的一般方法和路徑。
（3）通過自行車鏈條的傳動(dòng)和扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)，親身感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；通過合作探究，經(jīng)歷推理獲得圓心角與弧長、半徑之間的關(guān)系的過程，感受弧度制的實(shí)質(zhì)是用弧長與半徑的比值來度量角的大小，體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美。
（4）認(rèn)識角度制與弧度制都是度量角的方法，二者是辯證統(tǒng)一的；總結(jié)概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化、吸收和遷移。3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):弧度制的定義;弧度制與角度制的換算。
教學(xué)難點(diǎn)：理解弧度制的定義。
4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)
4.1創(chuàng)設(shè)情境，抽象問題
     教師：圖中的測量用具大家都認(rèn)識吧？
     眾學(xué)生：長尺、卷尺、游標(biāo)卡尺、螺旋測微器，都是測量長度用具
     教師：對，我們還知道隨著精度要求的不同，選用不同工具，獲得不同度量單位制，并且不同長度單位之間可以換算，如：1m=10dm=100cm=1000mm，那么，在角度的度量里，除了已經(jīng)知道的角度制，是否存在著其他的度量制呢？這就是我們今天研究的課題：角的度量制。
設(shè)計(jì)意圖：通過回顧義務(wù)教育階段所學(xué)的長度測量和不同長度單位換算的類比引出不同的單位制度量角的問題。
教師：請騎過自行車的同學(xué)舉手！
大家都騎過自行車，請你觀察過自行車前后齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)（多媒體播放動(dòng)圖），它們是通過鏈條傳動(dòng)的，鏈條移動(dòng)某一確定的長度時(shí),大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角和小齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角，哪個(gè)大？哪個(gè)小？為什么？
學(xué)生1：大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角小，因?yàn)榻撬俣嚷��?br /> 教師：很好！從圖中看，因?yàn)榇簖X輪的半徑大，小齒輪的半徑小， 所以在鏈條移動(dòng)某一確定的長度時(shí)，大齒輪轉(zhuǎn)過的角度小，小齒輪轉(zhuǎn)過的角度大。這說明圓心角、半徑、弧長之間存在一定的關(guān)系.
教師:再如，用扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺帽的過程中,在扳手任取兩點(diǎn)，隨著扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)形成圓弧，，你能發(fā)現(xiàn)圖中幾何量（半徑、弧長、圓心角）之間，具有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系？
學(xué)生2：半徑不同，弧長也不相等，但轉(zhuǎn)過的角度相同.
教師：很好！這再次說明圓心角、半徑、弧長之間存在著關(guān)系，是怎樣的關(guān)系呢？
設(shè)計(jì)意圖：對學(xué)生來說，弧度制是一種新的度量角的單位制。在教學(xué)中，有教師釆用規(guī)定說，學(xué)生對其數(shù)學(xué)含義和價(jià)值不理解，心理不愿接受，學(xué)習(xí)缺少動(dòng)力。本設(shè)計(jì)從學(xué)生熟知的兩個(gè)生活情境入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，可以提高學(xué)習(xí)興趣。從齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的例子,學(xué)生感知到同樣的弧長在不同半徑 的圓中所對的圓心角不相等；從扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺帽的例子，學(xué)生感知到扳手長度改變，相應(yīng)的弧長也改變，隱含著“弧長與半徑的比值為定值”，兩個(gè)例子都為理解弧度制做好了鋪墊。
 
4.2問題引領(lǐng)，逐步探究
問題1：如圖，在圓中，設(shè),圓弧的長為, 則之間有怎樣的關(guān)系？
學(xué)生3：由弧長公式可知
問題2：這個(gè)公式反映了孤長與圓心角、半徑之間的關(guān)系。那么圓心角的大小與哪些量有關(guān)？
學(xué)生4：角的大小與這四個(gè)量有關(guān)。其中和180是常數(shù)，和是變量。
問題3：你能用式子表示圓心角與這些量的關(guān)系嗎？
學(xué)生4：
問題5：如果圓心角變化，比值是否發(fā)生變化？
眾學(xué)生：發(fā)生變化
問題5：現(xiàn)把圓心角固定，如果圓的半徑變大，弧長也會變大，比值是否發(fā)生改變？為什么？
眾學(xué)生；不變，因?yàn)閳A心角固定，也就是角度不變， 所以比值不變。
 
教師:很好！我們用“幾何畫板”驗(yàn)證。改變圓心角的大小時(shí)，比值隨之改變；固定圓心角時(shí),改變點(diǎn)P的位置，弧長和半徑都變化，但比值不變。
教師：因此，我們得到結(jié)論：圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與的大小有關(guān)；比值隨著的確定而唯一確定。
設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)，學(xué)生回憶了在角度制下的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，分析了三個(gè)量之間的關(guān)聯(lián)，變形得到了圓心角與弧長、半徑的聯(lián)系， 發(fā)現(xiàn)了圓心角與比值（弧長與半徑的比值）之間存在著的正比例關(guān)系，完成了理論推導(dǎo)。利用“幾何畫板” 軟件,動(dòng)態(tài)演示了圓心角的大小與這個(gè)比值之間的直觀變化情況。因此,獲得了圓心角與比值之間的對應(yīng)關(guān)系，從而為接下來弧度制的定義提供了合理性。
 
4.3借力史實(shí)，建構(gòu)概念
教師:在圓心角與比值的對應(yīng)關(guān)系下，這就啟發(fā)我們可以用什么來度量圓心角的大小呢？
眾學(xué)生：用弧長與半徑的比值來度量圓心角的大小。
教師：很好！既然可以用的值來度量角，那么你覺1弧度角可以怎樣簡單合理的規(guī)定呢？
學(xué)生5：當(dāng)時(shí)，，這時(shí)的圓弧所對的圓心角可以規(guī)定為1弧度的角。
教師:很好！大數(shù)學(xué)家歐拉也是這么想的！ 早在1748年，數(shù)學(xué)家歐拉就直接用的值來度量角的大小，并稱之為弧度制。
我們規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度（radian）的角，弧度單位用符號rad 表示，讀作弧度。
教師：我們知道了1弧度角的定義，那1弧度角有多大呢？請同學(xué)們嘗試著畫出來。
用“幾何畫板”作圖，并體會1弧度角與角的大小關(guān)系。當(dāng)時(shí)，圓心角分別為。（演示不同方向的旋轉(zhuǎn)，得到圓心角為）從而將圓中獲取的，推廣到所有角滿足的。
教師：大數(shù)學(xué)家歐拉在研究弧度制時(shí)，選取的圓是半徑為1的圓，叫單位圓。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是什么？
    在單位圓中，當(dāng)弧長為時(shí)，圓心角也為。在弧度制下，角與弧長的度量統(tǒng)一起來，這樣定義角也非常自然，同時(shí)也簡化了與角有關(guān)的公式。
設(shè)計(jì)意圖：通過前期的鋪墊，學(xué)生自主構(gòu)建了1弧度角的概念，通過與60°角的大小比較，學(xué)生能直觀地感知1弧度角的大小，也為弧度制與角度制的換算做好準(zhǔn)備。在此過程中，穿插引入弧度制的有關(guān)歷史,讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣地思考和解決問題。取半徑為單位長度,使角與弧長的度量統(tǒng)一起來，學(xué)生能體會到數(shù)學(xué)的簡潔美、統(tǒng)一美。同時(shí)也為學(xué)生能用單位圓作為工具去研究任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。
4.4激活聯(lián)系，完善認(rèn)知
教師:角度制、弧度制都是角的度量制，同一個(gè)角 既可以用角度來度量，也可以用弧度來度量，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系，那兩者之間有著怎樣的關(guān)系呢？
學(xué)生6：我想到利用單位圓尋找，如一個(gè)圓周角，在角度制下它是360°,在弧度制下它是rad,所以360°=rad。
教師:很好！這位同學(xué)把圓周角分別用角度和弧度來度量，從而解決了換算問題。如果兩邊同時(shí)除以2,可以得到平角的兩種度量：180°=rad。那么，1°的角是多少弧度的角？ 1弧度的角又是多少度的角？
     學(xué)生7：由180°= rad兩邊同時(shí)除以180,可得 1° =rad；若兩邊同時(shí)除以,可得 1 rad=
     教師：以后我們只要抓住180°=rad這個(gè)關(guān)系進(jìn)行角度與弧度的換算。同時(shí)弧度的單位rad通常略去不寫。

 
 
 
教師:角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的角和它對應(yīng)。
設(shè)計(jì)意圖：同一個(gè)量用不同的單位度量，兩個(gè)單位制之間必定存在聯(lián)系。角度制與弧度制也是如此, 至此學(xué)生能體會角的兩個(gè)度量系統(tǒng)的相容性,掌握兩種度量的直接互換。表格中所填數(shù)值的對應(yīng)性，就像設(shè)置在數(shù)軸上一樣，便于學(xué)生直觀感受到弧度制下角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的對應(yīng)關(guān)系。
4.5表達(dá)優(yōu)化，類比識記
教師：弧度制的優(yōu)點(diǎn)還能體現(xiàn)在其他地方.如，你能對比初中所學(xué)的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點(diǎn)嗎？
學(xué)生板演1：角度制下：弧長，面積。
學(xué)生板演2：由得弧長公式，而面積，得到面積公式.
教師:很好！我們看到，采用弧度制，扇形的弧長和面積公式都簡潔了，這正是引入弧度制的原因之一。
教師：扇形面積公式和學(xué)過的哪個(gè)面積公式類似？
眾學(xué)生：和三角形的面積公式類似。
教師（追問）：這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？（作為課后思考題）
設(shè)計(jì)意圖：弧度制的優(yōu)越性不僅在于用實(shí)數(shù)表示角，還表現(xiàn)在一些公式因?yàn)楣露戎频囊�入得到形式上的簡化。學(xué)生親身經(jīng)歷簡化過程，更容易理解扇形的幾個(gè)量之間的關(guān)系，也能體會弧度制給解決問題帶來的方便,這也是引入弧度制的原因。再由扇形的面積公式啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到三角形的面積公式，并留白讓學(xué)生課后思考兩者之間的關(guān)系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者）了解這些,讓學(xué)生對弧度的認(rèn)識上升到一個(gè)新的高度。
4.6課堂小結(jié)，凝練升華
小結(jié)1:本節(jié)課我們是按照怎樣的研究路徑來學(xué)習(xí)弧度制的？
學(xué)生15：我們先感受生活中的實(shí)例，分析角度制下的弧長公式，再給出1弧度角的定義以及在弧度制下角的代數(shù)表示，弧度制和角度制之間的換算關(guān)系，最后簡化了弧長和扇形的面積公式。即研究途徑為：背景--定義--表示--運(yùn)算--性質(zhì).
小結(jié)2：談?wù)劷嵌戎坪突《戎频膮^(qū)別與聯(lián)系。
眾學(xué)生：角度制與孤度制的區(qū)別是度量單位不同（單位分別是角度和弧度），進(jìn)位制不同（角度是六十進(jìn)位和十進(jìn)位，弧度是十進(jìn)位），弧長公式不同（在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式都變得簡潔了）； 他們的聯(lián)系是兩種度量角的單位制都與圓的半徑大小無關(guān)，他們之間的換算關(guān)系是180°=rad。
教師:大家總結(jié)得很好！其實(shí)角的度量制還有很多，比如軍事上的密位制，有興趣的同學(xué)課后可以査找相關(guān)資料。并布置課后作業(yè)：課本176頁第4,5,6題
設(shè)計(jì)意圖：反思總結(jié)，形成知識體系。將角度制與弧度制進(jìn)行對比，找到區(qū)別和聯(lián)系，為今后理解和正確使用弧度制帶來方便。回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，即經(jīng)歷了一個(gè)概念學(xué)習(xí)的科學(xué)探究過程，這對學(xué)生以后的概念學(xué)習(xí)會起到積極的作用。并通過作業(yè)習(xí)題鞏固概念，使學(xué)生知識技能、綜合能力得到提升。
 
5. 目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
題1：
 
 
 
 
（設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生熟悉掌握角度制與弧度制之間的相互轉(zhuǎn)化）
題2：對比初中所學(xué)的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點(diǎn)嗎？
（設(shè)計(jì)意圖：除要求學(xué)生熟練掌握角度制與弧度制的換算、提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)外，還展示出弧度制下的弧長公式、扇形面積公式的形式簡潔美，讓學(xué)生感受弧度制帶來的便利）
題3：扇形面積公式和學(xué)過的三角形的面積公式類似，這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？
（設(shè)計(jì)意圖：作為課后思考題留給學(xué)生交流討論兩者之間的關(guān)系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者），了解這些能讓學(xué)生對弧度的認(rèn)識上升到一個(gè)新的高度）
 
 

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