視頻標(biāo)簽：等差數(shù)列

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修5《等差數(shù)列》湖北省優(yōu)課

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修5《等差數(shù)列》湖北省優(yōu)課

《2.2.1等差數(shù)列》 
【教學(xué)目標(biāo)】： 知識與技能目標(biāo)： 
理解并掌握等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想；能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)。 過程與方法目標(biāo)： 
培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。 
情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)： 
通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。  【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】： 
重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。 難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。 【課時安排】：1課時 【教具】：多媒體、投影儀 【教學(xué)過程】： 復(fù)習(xí)回顧： 
1. 數(shù)列的定義： 2．?dāng)?shù)列的表示方式：   
上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、數(shù)列的一般形式以及數(shù)列的表示方式。今天這節(jié)課我們對數(shù)列進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。 
下面我們看這樣一些背景資料： 
（1）珠穆朗瑪峰是喜馬拉雅山脈的主峰，為世界最高峰，海拔8844.43米（2005年公布的最新數(shù)據(jù)）。1960年5月25日，中國登山隊(duì)首次從北坡攀登峰頂。中國科學(xué)院也曾多次組織大規(guī)模的科學(xué)考察，獲得了重要的科學(xué)資料。科學(xué)家們測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為（單位：攝氏度）：26,25.3，24.6，23.9，23.2… 
(2)在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星：1682，1758，1834，1910，1986，（     ）。你能預(yù)測出下一次的大致時間嗎？為什么？ 
(3)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個級別，其中較輕的4個級別體重（單位：kg）分別是：48 , 53 , 58 , 63. 探究任務(wù)一：等差數(shù)列的概念 
同學(xué)們，你們能找出這幾個數(shù)列的規(guī)律嗎?它們的共同特點(diǎn)是什么? （1）我國成人女鞋的號碼（單位：厘米）： 
         111121,21,22,22,23,23,24,24,252
2
2
2
 
     但我們習(xí)慣上換算成碼：   
32 , 33 ,  34 ,  35 ,  36 ,  37 ,  38 ,  39 ,  40 
（2）登山運(yùn)動員測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為： 
26 , 25.3 ，24.6 ，23.9 ，23.2… 
（3）哈雷彗星的觀測時間： 
        1682 ，1758 ，1834 ，1910 ，1986 ，（2062） （4） 48 ,  53 ,  58 ,  63. 
歸納總結(jié)：共同特征：從第2項(xiàng)起，它們的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是同一個常數(shù)。 我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列  
1．等差數(shù)列： 
一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）  
 
數(shù)學(xué)語言：                                 或   說明： 
⑴公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求； 
⑵對于數(shù)列{na}，若na－1na=d (與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差 
(3)若d＝0，則該數(shù)列為常數(shù)列．  思考： 
問題1. 上述數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差分別是多少？  
問題2．判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列。 
① 1, 2, 4, 6, 8, 10,„„              ② 1, 0, 1, 0, 1, 0，„„      ③ 1, 2, 4, 7, 11, 12,„„             ④ 0, 0 ,0，0 , 0，„„  
思維拓展： 
將數(shù)列48，53，58，63顛倒過來，則成數(shù)列63，58，53，48.    還是等差數(shù)列嗎？   
探究任務(wù)二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 
登山運(yùn)動員測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為(單位:攝氏度)   
     
我們很容易得出6a，那么如何得到38a呢？ 
等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得，若一等差數(shù)列na的首項(xiàng)是1a，公差是d，則據(jù)其定義可得： 
12345638
,,,,,.....aaaaaaa26, 25.3,  24.6, 23.9， 23.2   ？         ？ 
12,nnaadnnN
且
1nnaadnN
                    
             
                    
                            人教A版必修5                           
 
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daa12即：daa12 
daa23即：dadaa2123 daa34即：dadaa3134 
„„ 
由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：dnaan)1(1 
∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)1a和公差d，便可求得其通項(xiàng)na 
你還能用其他方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？ 
 
【例題分析】 
例1：⑴求等差數(shù)列8，5，2„的第20項(xiàng)：  
⑵－401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13„的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？ 解：⑴由18,58253ad，n=20， 
∴49)3()120(820a 
⑵由15,9(5)4ad得    數(shù)列通項(xiàng)公式為：)1(45nan 
由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得)1(45401n成立，解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng) 
 
小結(jié)：要求出數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出首項(xiàng)和公差；要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n，使得na等于這個數(shù)。   
例2：在等差數(shù)列na中，已知51210,31aa，求首項(xiàng)1a與公差d，并求25a。  
解：∵105a，3112a，則  31
1110
411
dada
3
2
1
da
    
∴25124224370aad 
 
注：此題解法是首先轉(zhuǎn)化成基本量1a和d的關(guān)系式，再利用數(shù)學(xué)的函數(shù)與方程思想來解題。 此處也可進(jìn)行擴(kuò)展：()nmaanmd 
 
【當(dāng)堂訓(xùn)練】  
 1.填表：     
2．等差數(shù)列1，－1，－3，„，－89的項(xiàng)數(shù)是（     ）. 
A. 92        B.  47       C. 46         D. 45 
3．?dāng)?shù)列na的通項(xiàng)公式25nan，則此數(shù)列是（     ）. A.公差為2的等差數(shù)列         B.公差為5的等差數(shù)列   C.首項(xiàng)為2的等差數(shù)列         D.公差為n的等差數(shù)列 
【課時小結(jié)】 
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：na－1na=d，
（n≥2，n∈
N
）。其次，要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：dnaan)1(1，并掌握其基本應(yīng)用。最后，還要注
意=napnq(p、q是常數(shù))的理解與應(yīng)用。  
【課后練習(xí)】 
P40  習(xí)題2.2  A組 T1,3,4 
思考：已知數(shù)列{na}的通項(xiàng)公式qpnan，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？    
補(bǔ)充練習(xí)： 
1．等差數(shù)列na中，首項(xiàng)11a，公差3d，如果2008na，則n（      ）. 
A. 667          B. 669       C. 670          D. 671 2．在等差數(shù)列na中，22a，34a，則10a=（    ）  A. 12         B.14      C. 16          D. 18 
3．已知在等差數(shù)列na中，首項(xiàng)為4，公差2d，則通項(xiàng)公式na等于（     ）  A. 42n        B. 24n      C. 62n         D. 26n 4．在等差數(shù)列na中，29a，37a，則d=        
 1a 
d   n   na ①   2   3   10  ②   3   2   21 ③ 
  10 
 
  7 
  8 
12,nnnaadnnNa注：且是等差數(shù)列。
 
                    
             
                    
                            人教A版必修5                           
 
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5．一個等差數(shù)列的第五項(xiàng)510a，且1233aaa，則1a          ，d=          6．等差數(shù)列的第1項(xiàng)是7，第7項(xiàng)是－1，則它的第5項(xiàng)是________ 
7．等差數(shù)列的相鄰4項(xiàng)是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝            ，b＝          .  8．若48，a，b，c，－12是等差數(shù)列中連續(xù)五項(xiàng)，則a＝      ，b＝      ，c＝       . 9．等差數(shù)列na中，35224,3aaa，求na. 
10．如果數(shù)列na滿足121,nnnaaa且1017a，求它的通項(xiàng)公式。 11．（1）求等差數(shù)列3，7，11，„„的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)。 
（2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，„„的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由. （3）－20是不是等差數(shù)列0,－3
2
1
,－7，„„的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由. 12．在等差數(shù)列{na}中，（1）已知4a=10，7a=19，求1a與d； 
（2）已知3a=9，9a=3，求12a. 
13．已知數(shù)列na中，11111
1,
3
nnaaa，求5a的值。 *14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為61nan，問這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

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