視頻簡(jiǎn)介：
視頻標(biāo)簽：湖北好課堂,等差數(shù)列
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課教學(xué)觀摩《等差數(shù)列》襄陽
教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課教學(xué)觀摩《等差數(shù)列》襄陽
必修5—2.2等差數(shù)列（一）教學(xué)設(shè)計(jì)
一：教材分析
本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)人教A版第二章《數(shù)列》第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。本節(jié)課是第二章《數(shù)列》的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和以及等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有助于解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題。等差數(shù)列對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識(shí)上還是方法上，都有積極的借鑒意義。
二：學(xué)生分析
上節(jié)課學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念及表示方法，會(huì)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解了遞推關(guān)系對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的作用。
同時(shí)高二學(xué)生已經(jīng)具有一定的理性分析能力和概括能力，但仍然需要具體形象的生活實(shí)例來理解抽象的邏輯關(guān)系。
三：三維目標(biāo)
1、知識(shí)與技能
（1）理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式解決等差數(shù)列的各種問題。
（3）通過概念的引入和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析探索能力；通過分組討論，合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力以及語言表達(dá)能力。
2、過程與方法
（1）通過觀察分析發(fā)現(xiàn)等過程，探索等差數(shù)列的特點(diǎn)及其表示方法；
（2）在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程中，體會(huì)不完全歸納法，迭代法和迭加法的數(shù)學(xué)思想方法。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀
（1）通過在探索等差數(shù)列的表示方法中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；
（2）通過對(duì)等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣；
（3）通過探索獲得成功，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和意志力，特別是后進(jìn)生也有了在小組中發(fā)言的機(jī)會(huì)，參與到討論中來，培養(yǎng)了他們學(xué)習(xí)的積極性。
四：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)
（1）理解等差數(shù)列的定義，觀察分析等差數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)；
（2）會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問題。
2.教學(xué)難點(diǎn)
（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)；
（2）在推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出來的三種數(shù)學(xué)思想方法。
五：教學(xué)過程
（一）等差數(shù)列的定義
1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
【情境】用PPT展示三個(gè)生活中的例子
(1)中國(guó)共產(chǎn)黨全國(guó)代表大會(huì)最近幾次分別在下列時(shí)間召開，
2002，2007，2012，2017
(2)一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，水庫的水位組成數(shù)列（單位：m）
18，15.5，13，10.5，8，5.5
(3)黃金周期間，每天所賣水果分別為（單位：kg）
200，200，200，200，200，200，200
【設(shè)計(jì)意圖】通過生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列在生活中應(yīng)用的廣泛，引發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)三個(gè)問題蘊(yùn)含了本節(jié)課要講的等差數(shù)列。
2.觀察歸納，形成定義
【思考1】觀察這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？
【師生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論。學(xué)生會(huì)從不同方面分析三個(gè)數(shù)列的共同點(diǎn)：前一項(xiàng)減去后一項(xiàng)是定值，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)是定值，相鄰兩項(xiàng)差的絕對(duì)值也是一個(gè)定值。教師指出方向：用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為定值。
【思考2】通過對(duì)上述數(shù)據(jù)的觀察，你認(rèn)為該如何定義等差數(shù)列？
【師生活動(dòng)】學(xué)生結(jié)合上述問題的分析，根據(jù)自己的理解給出定義。教師給出嚴(yán)格的定義及其相關(guān)概念：
定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列 ,從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。公差通常用字母 d 表示。
此時(shí)教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)定義中三處關(guān)鍵詞：第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差，同一個(gè)常數(shù)，從而幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解。
然后教師介紹其數(shù)學(xué)表達(dá)式： （d為常數(shù)）
或者 （d為常數(shù)）
3.推進(jìn)概念，介紹等差中項(xiàng)
【思考3】在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：
(1）3,( ),7 （2） 4,( ),-2 (3) a,( ),b
【師生活動(dòng)】由學(xué)生填空，引導(dǎo)學(xué)生了解由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。并且 。
4.舉一反三，理解定義
【思考4】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，如果是，指出公差,如果不是，說明原因。
（1）1,3,5,7,9 （2）-1,-4,-7,-10,-13
（3）3,7,11,15,19 （4）0,0,1,2,3
（5）-3,-2,-1,0,1 （6）5,5,5,5,5,5，…
【師生活動(dòng)】由學(xué)生做出判斷，教師給出標(biāo)準(zhǔn)答案。同時(shí)指出（6）為常數(shù)列，由（1）（2）（6）可知：等差數(shù)列的公差可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，還可以是0。
（二）等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)
【思考5】在等差數(shù)列 中,已知 ，
那么1. （ ），2. （ ），3. （ ），4. （ ）。
【師生活動(dòng)】學(xué)生能夠輕松回答出前三個(gè)問題，但對(duì)于第四個(gè)很難回答，教師順勢(shì)提出要是有通項(xiàng)公式就好了，那么如何根據(jù)首項(xiàng)和公差推導(dǎo)出通項(xiàng)公式呢？
【思考6】 為等差數(shù)列,首項(xiàng)為 ,公差為d,求通項(xiàng)公式 。
【師生活動(dòng)】教師提醒學(xué)生利用等差數(shù)列定義去推導(dǎo)，讓學(xué)生分組討論，各抒己見。討論結(jié)束后，三個(gè)小組的代表說出了三種方法，并且分別進(jìn)行講解：
1.不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
歸納得
【師生活動(dòng)】學(xué)生寫出推導(dǎo)過程，并進(jìn)行講解，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，表揚(yáng)學(xué)生思維的敏捷。并說明這種方法叫做不完全歸納法，是一種猜想，嚴(yán)格的證明要用到以后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法，這里先承認(rèn)它是正確的。
2.迭加法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
將所有等式相加得
3.迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
所以
【師生活動(dòng)】三個(gè)同學(xué)分別用不同的方法，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以講解。回答完后，全班學(xué)生對(duì)三位同學(xué)的優(yōu)異表現(xiàn)爆以熱烈的掌聲。教師對(duì)每一位同學(xué)的方法做簡(jiǎn)單的點(diǎn)評(píng)。通過大家共同努力，最后得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式：已知等差數(shù)列是的首項(xiàng)為 ，公差為d,則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為： (d是常數(shù))。
（三）等差數(shù)列的應(yīng)用
例1 (1) 求等差數(shù)列8，5，2，…，的第20項(xiàng)。
(2) -401是不是等差數(shù)列 -5，-9，-13，…，的項(xiàng)？
【師生活動(dòng)】本題由學(xué)生獨(dú)立完成，然后讓學(xué)生回答，學(xué)生對(duì)于（1）可以直接看出 ，通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，得到 .（2）思路與（1）接近。學(xué)生通過計(jì)算，體會(huì)等差數(shù)列在生活中的應(yīng)用。然后教師指出在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中有4個(gè)量，分別為 ，知道其中三個(gè)就可以求出第4個(gè)。
例2：在等差數(shù)列 中,
（1）已知 ，求首項(xiàng) 與公差d。
（2）已知 ，求 。
【師生活動(dòng)】首先教師進(jìn)行分析：本題不能直接看出首項(xiàng)和公差，提醒學(xué)生必須進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例2由學(xué)生獨(dú)立完成，然后讓學(xué)生回答，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)表揚(yáng)。并說明本題需要通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式，將條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差，利用方程組求解。
例3：某公司2015年經(jīng)銷一款數(shù)碼相機(jī)，獲利200萬元，從2016年開始，由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，預(yù)計(jì)其利潤(rùn)每年比上年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
【師生活動(dòng)】例3為一道實(shí)際應(yīng)用問題，提醒學(xué)生從題目中提取有效信息，利用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。教師進(jìn)行巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本能夠算出從第12年開始虧損，但具體在哪一年出現(xiàn)了分歧，2026年和2027均占相當(dāng)大的比例。教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并加以分析，讓學(xué)生徹底弄明白。
（四）當(dāng)堂檢測(cè)
1.在數(shù)列 中， 則 ( )。
2.已知某等差數(shù)列的首項(xiàng)為70，公差為-9，則這個(gè)數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)是第( )項(xiàng)。
(五)課堂小結(jié)
【思考7】通過本節(jié)課，學(xué)到了哪些內(nèi)容？
【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生一起回答，復(fù)習(xí)鞏固本節(jié)課內(nèi)容。
兩個(gè)定義：等差數(shù)列的定義： （d為常數(shù)）
等差中項(xiàng)的定義： a，A，b成等差數(shù)列,A稱為a和b
的等差中項(xiàng)
一個(gè)公式：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
三個(gè)方法：不完全歸納法，迭加法以及迭代法
一個(gè)應(yīng)用：能用通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題
(六)布置作業(yè)
必做題：課本39頁 1，2，3，4。
選做題：
1.已知 是等差數(shù)列，則 ( )。
2.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，從第10項(xiàng)起各項(xiàng)都比5大，則這個(gè)數(shù)列公差的取值范圍是( )。
六：板書設(shè)計(jì)
等差數(shù)列
1、 定義：第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差，同一常數(shù)
( ， 為常數(shù))
或 ( 為常數(shù))
2、等差中項(xiàng)，a，A，b成等差數(shù)列
3、通項(xiàng)公式：
學(xué)生板出三種等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法
七：教學(xué)反思
優(yōu)點(diǎn)：
1．本節(jié)課從生活中的三個(gè)數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣．在探索的過程中，學(xué)生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項(xiàng)公式，強(qiáng)化了由體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
2．本節(jié)課設(shè)計(jì)了兩個(gè)分組討論環(huán)節(jié)。分組討論讓課堂氣氛變得更加活躍，學(xué)生由被動(dòng)傾聽者變?yōu)榉e極參加者，增強(qiáng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，也有助于幫助教師了解學(xué)生的思維狀態(tài)，調(diào)整自身定位，從而提高教師教學(xué)水平。
3．本課各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、簡(jiǎn)潔明了、重點(diǎn)突出，引導(dǎo)分析細(xì)致、到位。學(xué)生在經(jīng)歷過程中，加深了對(duì)概念的理解和鞏固．
4．本節(jié)課以教師提出問題、學(xué)生探討解決問題為途徑，以相互補(bǔ)充展開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的知識(shí)體系，形成師生之間的良性互動(dòng)。
5.能夠?qū)W(xué)生的表現(xiàn)給予及時(shí)的評(píng)價(jià)，多從鼓勵(lì)表揚(yáng)的角度出發(fā)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。
不足：
1. 教師自身素質(zhì)，專業(yè)知識(shí)以及應(yīng)變能力都要加強(qiáng)，這樣駕馭課堂更加自信從容，對(duì)于一些學(xué)生的新奇的想法，才能更加靈活面對(duì)。
2. 上課前沒有完全吃透教材，部分教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)不夠合理，教學(xué)環(huán)節(jié)過度不夠自然，“備教材”不夠深入。
3. 教師對(duì)學(xué)生的可能想法和見解考慮不周，“備學(xué)生”有所欠缺。
4. 由于上課時(shí)間的限制，學(xué)生分組討論不夠充分，鼓勵(lì)學(xué)生下課后繼續(xù)對(duì)本節(jié)課疑惑問題進(jìn)行討論。
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