視頻簡介：
視頻標簽：湖北好課堂,球的體積,和表面積
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《球的體積和表面積》湖北省沙市中學
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻《球的體積和表面積》湖北省沙市中學
球的體積和表面積教學設計
湖北省沙市中學 張慧敏
一、引入
（激情地）清晨的露珠、火紅的太陽、皎潔的明月，這些大自然中的實物都給我們以球體的形象。這個美麗的幾何體，它的體積和表面積，該如何計算呢？（停頓）本節課，就讓我們一起來探討吧！【板書標題：1.3.2球的體積和表面積】
二、球的體積公式
1.觀察猜想
問題1：同學們，我們已經學過了哪些幾何體的體積？（生齊：圓柱、圓錐、棱柱、棱錐）請看大屏幕，這里有三個底面半徑均為 且高相等的圓錐、半球和圓柱。
此時，圓錐的體積是？（生齊： ）圓柱的體積是（停頓）（生齊： ），可 等等）否借助已知幾何體的體積，猜想一下，半球的體積是多少？（學生會猜
2.實驗驗證
問題2：不錯，那到底是多少呢？老師帶來了3個物件，大家能否設計一個數學實驗，驗證一下你們的猜想？（請2個學生演示實驗，注意讓全班同學看到）【5分鐘】
問題3：通過以上小實驗，你們的最終猜想是什么？
（學生會答： ）（引導追問：半球的體積和圓柱與圓錐有什么關系呢？（ ）
這位同學的想法太妙了！我們發現，圓柱中挖去一個圓錐后，得到的幾何體和半球體積是一樣的！【板書： 】偉大的數學家龐加萊曾說：“猜想可用于發明，但邏輯用于論證”。這樣的想法是否嚴謹，能否從數學上進行推導呢？（停頓）
3.公式推導
提起圓周率，大家會想到誰？（祖沖之）祖沖之的兒子祖暅發現了這樣一個原理。這個原理西方數學家在一千多年后才發現，它究竟是怎樣的呢？我們通過一組圖片一起來學習。
這兩幅圖中的幾何體體積有變化嗎？（沒有）如果用平行于底面的平面去截幾何體，每一個截面的面積是否相等？（是相等的）
點動成線、線動成面、面動成體，如果每個截面面積始終相等，那么兩個幾何體的體積就一定相等。這便是祖暅原理的本質，具體如下【ppt展示：兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．】
冪勢既同，則積不容異。冪勢指等高處的截面面積，積指體積。注意，截面面積始終相等。我們通過幾何畫板動態演示進一步體會。
問題4：那如果要證明兩個幾何體體積相等，通過祖暅原理，可把問題轉化為要證什么呢？（生：證截面面積相等）
截面有什么要求？（強調原理中的平行于底面、任意的）
問題5：受此啟發，你能證明 嗎？請你先自己想想（一分鐘后）下面以前后左右4人為一個小組，進行交流討論。（9分鐘）
【黑板畫圖，左邊半球，右邊圓柱，不畫減去圓錐】【10分鐘】
（巡視時啟發學生：用平行于底面且與底面相距 的平面去截半球，再用此平面截圓柱挖去圓錐的幾何體，證明截面面積始終相等。）【13分鐘】
學生展示（要學生先講開始正著放圓錐，然后改為倒著放圓錐，即可得證）
(1)半球截面
設平行于大圓，且與大圓的距離為 的平面，截半球所得圓面的半徑為 由勾股定理得 ，那么截面面積
（2）圓柱挖去圓錐的幾何體的截面
設平行于大圓，且與大圓的距離為 的平面，截圓柱圓錐組合體所得圓環面積為
由于 和 為等腰直角三角形，所以 （
(3)由祖暅原理求球的體積
板書：設球的半徑為 那么它的體積為 【20分鐘】
歷史上，除了用祖暅原理來探求球的體積公式外，還有很多其它美妙的方法，下面我們通過微課視頻一起來欣賞。【微課視頻】
師：你能歸納這種求體積的精妙之處嗎？（將球做了分割）【22分鐘】
三、球的表面積公式
問題6：受此啟發，你能嘗試用此思想推導球的表面積公式？應該先做什么呢？（分割）如何分割呢？（經緯線）
師引導：把一個半徑為 的球的表面利用經緯線分成 個小球面片,設它們的表面積分別是 把球心 和每一個小球面片的頂點連接起來。分割后的小球面片非常小，可近似為平面，如同我們身處地球，但總感覺地球是平的一樣。
這樣，整個球體被分割成 個小椎體，如此分割，怎樣研究球的表面積？【25分鐘】
（小組交流，學生交流講述）
【備用的教師啟發語
問題：此時球的體積還可怎么表示？
問題：為什么小椎體的高為
分割得越細密,也就是每一個小球面片越小,小錐體就越接近于棱錐,如果分割無限加細,每一個小球面片都無限變小,那么 就趨向于
設球的半徑為 那么它的表面積為 】【30分鐘】
師：由此可見，分割求和不僅可以指導我們求體積，還可以借助體積求表面積，至此，我們得到了表面積和體積的公式，這個公式可以幫助我們解決很多實際問題.
四、應用
大家都知道阿基米德吧？他是古希臘最偉大的數學家和物理家，被后人尊為希臘七賢。圓柱容球是阿基米德最為喜愛的幾何圖形。大家看大屏幕。
例1試求球與圓柱的體積之比，球與圓柱的表面積之比。(學生板書)解：
【35分鐘】
數學與物理緊密相連。2016年諾貝爾物理學獲得者創新地運用高等數學中“拓撲”的概念研究物理問題，取得了舉世矚目的成就。在我們身邊，也有物理和數學緊密結合的實例。
例2眾所周知，綠葉上的露水近似球形，而不是其它幾何體，有何奧妙？（停頓）對此自然現象，物理知識解釋為：一定體積的液體，液體表面的基本特性是傾向于收縮，使得液體表面積最小。試以同體積的正方體為例進行對比，通過計算加以證明.
審題：當體積一定時由于液體傾向于收縮，會使得表面積盡可能小。所以假設正方體和球的體積相等，均為 比較兩個幾何體的表面積大小。
解：設球和正方體的體積均為 球的半徑為 正方體的棱長 球的表面積為 正方體的表面積為
則
【42分鐘】
至于與其它幾何體的比較，感興趣的同學可查閱網上資料。貓睡覺的時候會團成一團，那是為什么呢？在體積相等的條件下，球的表面積比一般幾何體要小一些。原來日常生活中還蘊含著很多的科學道理。
五、課堂小結
問題8：通過這節課大家有什么收獲？請大家暢所欲言。
1.3.2 球的體積和表面積
一、體積
1.
2.證明
，
二、表面積
球半徑為
例2.
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