視頻標(biāo)簽：等比數(shù)列

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第二屆中國好教育聯(lián)盟高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課全國總決賽人教A版必修五2.4等比數(shù)列-河北

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：第二屆中國好教育聯(lián)盟高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課全國總決賽人教A版必修五2.4等比數(shù)列-河北省 - 邢臺(tái)

《等比數(shù)列》第一節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì) 
【教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容分析】 
等比數(shù)列是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修5）第二章第四節(jié)的內(nèi)容。 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算會(huì)用到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一些知識(shí)，而且起著承前啟后的作用——數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與前面學(xué)到的函數(shù)思想密不可分，另外也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。 
在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最重要的數(shù)列模型，并且等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的,包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差（比）中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí)可用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。 
【學(xué)情分析】教學(xué)對象是進(jìn)入高中不久的學(xué)生，他們具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍，敏捷，但缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。 
從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過程作對比，這是一種積極因素，應(yīng)充分利用。但相比等差數(shù)列，等比數(shù)列中要注意的地方更多，比如說：等比數(shù)列的公比不能為零，等比數(shù)列的各項(xiàng)都不能為零等，這些細(xì)節(jié)學(xué)生容易忽略，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。 
【教學(xué)方法及設(shè)計(jì)意圖】《新課程改革綱要》提出：“要改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。 針對這一目標(biāo)，這節(jié)課做了如下設(shè)計(jì)： 
（1）借助豐富的實(shí)例，使得學(xué)生加深對等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)。最終，通過學(xué)生的觀察、分析、探討得出等比數(shù)列的概念。并且借助這一過程使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，經(jīng)歷觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)歸納這一過程，促使學(xué)生形成善于觀察，善于思考的好習(xí)慣。 
（2）學(xué)生相互探討，積極思考，以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)為參照物，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；通過與指數(shù)函數(shù)的圖像類比，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖像特征及指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系。通過這一過程鍛煉學(xué)生的類比能力。 
（3）讓學(xué)生通過具體練習(xí)進(jìn)一步體會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等比數(shù)列模型，提高學(xué)生解決簡單實(shí)際問題的能力。 
本節(jié)課還滲透了一些數(shù)學(xué)思想方法,比如類比思想、歸納思想、一般到特殊的思想等。 
 
                    
             
                    
                             
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【三維教學(xué)目標(biāo)】 
知識(shí)與技能：通過實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)、圖像特點(diǎn),能在具體問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,提高數(shù)學(xué)建摸能力. 
過程與方法：通過現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型,讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型,體會(huì)數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥乏味的,達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的. 
情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過對等比數(shù)列概念的歸納,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣,以及實(shí)事求是的精神,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.體會(huì)探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程。 
【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。 【教學(xué)難點(diǎn)】等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系。 【教具】多媒體 【教學(xué)過程】 
一、導(dǎo)入新課 
發(fā)紅包游戲：最后一位中獎(jiǎng)同學(xué)；你高興嗎?帶著這份愉悅心情來回答老師一個(gè)問題“從這個(gè)游戲中你能找到至少兩個(gè)數(shù)列嗎？” 
學(xué)生回答：紅包個(gè)數(shù)16，8，4，2。中獎(jiǎng)的錢數(shù)1，2，4，8. 
教師：在實(shí)際生活中像這樣的數(shù)列還有很多，早在2000多年前在《莊子·天下篇》這樣寫道：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭！”同學(xué)們，這句話蘊(yùn)含著一個(gè)什么數(shù)列呢？ 
學(xué)生共答： 
【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活的實(shí)際。體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維模式。 
預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘 
二、推進(jìn)新課 
（一）類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義。 
問題一：觀察上述數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)它們存在什么共同的特征嗎？ 學(xué)生思考后回答，教師重點(diǎn)幫助分析特點(diǎn)，①從第二項(xiàng)起②每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比③同一常數(shù) 最后給出等比數(shù)列的定義和公比的定義。教師板書定義 問題二:能否給出符號(hào)表達(dá)？教師板書，學(xué)生答 
【設(shè)計(jì)意圖】由幾個(gè)具體數(shù)列提煉出定義，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，類比等差數(shù)列下定義，增強(qiáng)學(xué)生的類比能力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力。 
教師：同學(xué)們認(rèn)識(shí)了等比數(shù)列了，那么看老師給的這幾個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？課件展示：下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，如果不是，請說明原因： (1)  １,2, 4, 16, 64, „ (2)  16, 8, 1, 2, 0,„ (3)  b, b, b, b, b, b, b, „ 
,...
21
,......,161,81,41,211,1n
                    
             
                    
                             
3 
(4)  2, -2, 2, -2, 2 學(xué)生互相討論，教師提問學(xué)生回答，結(jié)合學(xué)生回答，相應(yīng)部位用彩筆標(biāo)注需要注意的地方： (1) 比值是同一個(gè)常數(shù)；(2) 等比數(shù)列｛an｝中, an≠0；(3) 常數(shù)列都是等差數(shù)列，非零常數(shù)列又是等比數(shù)列q＝1．  【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合練習(xí)找到定義中的需注意的點(diǎn)，講練結(jié)合，使學(xué)生更好的掌握知識(shí)。 預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘 
（二）以上一題為例提示運(yùn)用等比中項(xiàng)思想 
問題三：根據(jù)等比數(shù)列的定義來完成下面的數(shù)字游戲 （1）1.（ ），4 （2）-1，（ ），-9 學(xué)生簡單考慮，就能回答出來。 
教師追問：我們回憶一下在等差數(shù)列中，a,b間插入一個(gè)數(shù)使三個(gè)數(shù)成為等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)我們叫做等差中項(xiàng)。那么在這里，我們給它取個(gè)名字為？學(xué)生回答“等比中項(xiàng)”  幻燈片打出等比中項(xiàng)定義。教師補(bǔ)充并板書二等比中項(xiàng)。 教師問：中間數(shù)G如何求得？學(xué)生回答： 教師問：能否給出推導(dǎo)過程，教師加以補(bǔ)充ab同號(hào) 
【設(shè)計(jì)意圖】類比舊知識(shí)，探究新定義，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。 
并使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義中需注意的地方，加深對概念的理解。 預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘 （三）類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。 問題四：通過等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)我們發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，按照這個(gè)規(guī)律大家來思考這樣幾個(gè)問題：①已知數(shù)列中的首項(xiàng)1a和公比q，能否得到數(shù)列的任意項(xiàng)na呢？②已知2a和q呢？③已知ma和q呢？ 
同學(xué)們以小組的形式討論你思考的結(jié)果 
①學(xué)生的方法有三種：不完全歸納法，累乘法，迭代法。在學(xué)生中找到有代表的解法用投影儀展示，展現(xiàn)學(xué)生風(fēng)采。在累乘法中還需注意，學(xué)生忽略n=1情況的驗(yàn)證，教師需糾正后再給于表揚(yáng)，教師板書通項(xiàng)公式。 板書：通項(xiàng)公式 
②問題的答案是什么？學(xué)生回答：2
2nnqaa教師追問 
③問的答案：m
nmnq
aa 
問：如何得到的。說明你的過程 
學(xué)生答，教師展示結(jié)論，由上面我們得到的通項(xiàng)公式來解決下面的問題 【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生自己解決問題的能力，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。 （四）學(xué)以致用，例題分析 
例1一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)。預(yù)計(jì)：學(xué)生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比數(shù)列的定義，三是等比中項(xiàng)的思想來做題，但現(xiàn)在還不知道等比中項(xiàng)的概念） 
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能靈活應(yīng)用之。結(jié)合例2，鍛煉學(xué)生思維的靈活性，并為引入等比中項(xiàng)的概念做鋪墊，使知識(shí)點(diǎn)過渡自然。 預(yù)計(jì)用時(shí)：12分鐘 
例2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長（精確到1年）？ 
【設(shè)計(jì)意圖】例1加強(qiáng)學(xué)生對概念的理解，能夠靈活運(yùn)用公式；例4增強(qiáng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。 預(yù)計(jì)用時(shí)：6分鐘 
教師對習(xí)題給學(xué)生一個(gè)整體的認(rèn)識(shí) 
總結(jié)通過例題的鞏固與練習(xí)，不管是11nnqaa還是mnmnqaa都是含有四個(gè)量，在這里我們體會(huì)了知三求一的方程思想 而數(shù)列又是一個(gè)特殊的數(shù)列，等差數(shù)列的圖象是一條直線上孤立的點(diǎn)，那么等比數(shù)列的圖像呢？ 
（五）等比數(shù)列的圖象探索 
我們來看這樣的一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)是11a，公比q=2,則通項(xiàng)公式是12nna。我們能做出它的圖象嗎？而數(shù)列的圖象就是它嗎？ 
學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)，展示學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生能否把結(jié)論推廣到一般 問：是不是所有的等比數(shù)列都是指數(shù)型函數(shù)呢？ 
學(xué)生思考后答：q>0且q≠1時(shí)的等比數(shù)列的圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上的孤立的點(diǎn) 
【設(shè)計(jì)意圖】通過用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決類似的數(shù)學(xué)問題，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的。啟發(fā)學(xué)生從不同角度去看問題。 第3/5頁 
預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘 
三、課后探究（數(shù)學(xué)興趣小組課下活動(dòng)） 
課件顯示：探究一：1、利用推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，由下列數(shù)列的遞推公式求出通項(xiàng)公式： 
探究二：做課后練習(xí)1，3，4，結(jié)合練習(xí)，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，自主研究等比數(shù)列的性質(zhì)。 
【設(shè)計(jì)意圖】課后探究給學(xué)有余力的學(xué)生創(chuàng)造更廣闊的數(shù)學(xué)空間。 預(yù)計(jì)用時(shí)：1分 
四、小結(jié)。①從知識(shí)與方法技巧兩方面說說你本節(jié)課的收獲 ②問題過程中所用的數(shù)學(xué)思想 
 
  
 
                    
             
                    
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【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)計(jì)用時(shí)：1分鐘 
五、作業(yè) 
布置作業(yè)：課后習(xí)題A組1，6，8 
【設(shè)計(jì)意圖】1題鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力及對通項(xiàng)公式的應(yīng)用，6題鞏固對等差（比）中項(xiàng)的認(rèn)識(shí)，8題綜合考查本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。

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