視頻標簽：導數的幾何意

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視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-吉林省 - 長春

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高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意-吉林省 - 長春

《導數的幾何意義》教學設計 
課題 1.1.3導數的幾何意義 
課時 
1課時 
教學
目標 
1．了解平均變化率與割線斜率之間的關系； 
2．理解曲線的切線的概念； 
3．通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義，并會用導數的幾何意義解題； 教學
重點 
曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義 
教學
難點 
導數的幾何意義 
教學過程 
  引入新課   師：在進入到本節知識之前，老師首先請大家觀看一段關于跳水的視頻。 生：觀看視頻 
師：從視頻中可以看出，跳水運動員的動作優美自然，取得了不錯的成績。如果將運動員看成一個質點，從起跳到到落水的過程中高度是隨時間變化的，就形成了一條曲線，如圖所示。設表示曲線的函數為h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根據圖象，如何描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況呢？帶著這個問題，我們進入到本節課的學習。 
        新知講解          
師：同學們課前已經進行了預習，老師將利用信息技術工具——幾何畫板演示書中圖1.1-2的動態變化效果，請同學們認真觀察。觀察后請同學們思考討論以下問題： 思考1：設yfx，0011,,,PxyMxy，割線MP的斜率？ 
思考2：當點M無限趨近于P時，割線MP的斜率即平均變化率的變化趨勢是什么？此時△x的變化趨勢呢？ 
思考3：根據函數在0xx處導數的定義00'lim
xy
fxx
和思考1,你能得出什么結論？ 
思考4：當點M無限趨近于P時，割線MP就有一個極限位置L,我們把這條直線叫做曲線在點P處的切線，那么這條切線的斜率是什么？ 生：觀察演示，討論思考題。 師生：共同完成思考題： 
思考1答案：00101000MPyyyyyy
kxxxxxx


，即01yfxxx從到的平均變化率. 思考2答案：MPk無限趨于Lk，△x趨于0，即0
0
limlimMPLxxkk 
思考3答案：00
0limlim
()MPxxy
kfxx
 
     新知講解      
思考4答案：0()Lkfx 
師：由此，我們可以得到導數的幾何意義： 
函數yfx在0xx處的導數0'fx就是函數在該點處的切線斜率k，即：  
0000()
lim()xfxxfxkfxx
 
由幾何畫板的演示可以知道，在點P附近，過點P的切線最貼近點P附近的曲線fx，因此，在點P附近曲線fx就可以用過點P的切線近似代替，這也是重要的一種思想方法——以直代曲。回答本節課開始時的問題：我們用這種思想方法對本題進行討論。設表示曲線的函數為h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根據圖象，如何描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況呢？ 
我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況。 （1）當t=t0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行于x軸，所以,在t=t0附近曲線比較平坦, 幾乎沒有下降。 
（2）當t=t1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率，即函數h(t)在t=t1附近單調遞減 
（3）當t=t2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0，所以,在t=t2附近曲線下降,即函數h(t)在t=t2附近也單調遞減。與t2相比,曲線在t1附近 下降得緩慢些。 
從導數的幾何意義可以知道，除了以直代曲的思想方程，它提供了求在曲線上某點切線的斜率的一種方法。既然導數的幾何意義是表示在該點的切線的斜率，那么如何求曲線yfx在點
00,Pxfx處的切線方程？ 
生：思考，歸納 
師：求在曲線上一點切線方程的步驟： 
(1)求出函數fx在點
00,Pxfx處的導數0'fx 
(2)根據直線的點斜式方程,得到切線方程為000()()()yfxfxxx 下面通過例題來將理論應用求切線方程 
 
    例 題 與 練 習     
師：板演例題 
22,3,yx例1：求曲線-1在點處的切線的斜率并寫出切線方程。  
    
生：完成練習 練習:已知曲線313yx上一點 82,3P

，求:(1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程。   
師生：完成變式 
 
                           
                  
                           
                                       
24
yx
變式:求在曲線上切線傾斜角為的點的坐標及切線方程。 
     
師：剛剛我們研究的是關于過曲線上一點切線方程，那么如果點在直線外，如何求解曲線的切線方程呢？板演例2 
例2:已知曲線21yx,求曲線過點2,1P的切線方程。      
求過曲線外某點
11,xfx處的切線方程的基本步驟: 
①設出切點的坐標
00,xfx; ②利用0'kfx及
1010
fxfxkxx
求出0x; 
③利用點斜式求切線方程。 
小結 師：小結：本節課我們學習了哪些內容？  1、導數的幾何意義 
2、求曲線的切線方程 
（1）在曲線上一點的切線方程 （2）過曲線外一點的切線方程 
課后
作業 
完成試卷第二練 ：導數的幾何意義 
板書設計 
1.1.3導數的幾何意義 
1、導數的幾何意義                           例1、               例2、 
函數yfx在0xx處的 導數0'fx就是函數在該點處的 切線斜率k，即： 
 0000()
lim
()xfxxfxkfxx
  切線方程為000()()()yfxfxxx 

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