視頻標(biāo)簽：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

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視頻課題：人教A版高中選修2-1《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》綿陽

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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》四川省綿陽

2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【教學(xué)內(nèi)容分析】
本節(jié)是《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》（第一課時(shí)），是圓錐曲線的入門課.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念也有了一定的了解，對運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識.本節(jié)課既是運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的一個(gè)實(shí)例，又為研究雙曲線、拋物線提供了基本模式.因此，這節(jié)課具有承前啟后的作用.另外，對橢圓的定義與方程的研究，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的重要思想，而這種思想是貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想.
【學(xué)情分析】
知識基礎(chǔ)方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念也有了一定的了解.能力基礎(chǔ)方面，授課學(xué)生具有一定的觀察和分析能力，對由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)已有一定的體會(huì)，對橢圓的定義與方程的探究具有一定的基礎(chǔ).
【教學(xué)目標(biāo)】

1. 通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)探究橢圓的定義，掌握橢圓的定義.
2. 理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【教學(xué)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.
難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).
【設(shè)計(jì)思路】
本節(jié)主要是研究橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.以學(xué)生自主探究為主，通過課前預(yù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、教師點(diǎn)評，完成橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，并設(shè)置對應(yīng)練習(xí)進(jìn)行理解及應(yīng)用.
【教學(xué)流程】
情境引入知識探究（探究一：橢圓的定義，探究二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）課堂小結(jié)
【教學(xué)過程】
一、課前準(zhǔn)備
預(yù)習(xí)課本P38—P42，嘗試畫出橢圓，給出橢圓的定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
二、課堂教學(xué)
（一）情境引入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，也對曲線與方程的概念有了初步認(rèn)識，從今天開始我們進(jìn)入圓錐曲線的學(xué)習(xí).首先來看第一種圓錐曲線：橢圓.在我們的日常生活中隨處可見橢圓，比如，圓柱形水杯傾斜時(shí)的水面，陽光下圓球的影子，太陽系中行星運(yùn)行的軌跡，等等.那什么是橢圓呢？
古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法得到了幾種曲線：橢圓，拋物線，雙曲線，也就是我們現(xiàn)在稱的圓錐曲線.我們一起來看（視頻）.根據(jù)對橢圓的這個(gè)認(rèn)識，能判斷某個(gè)物體是橢圓嗎？顯然是難以判斷的，因?yàn)槲覀冸y于將物體放在一個(gè)圓錐的曲面上.但是，橢圓不僅存在于圓錐上，更是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式.所以，可以從運(yùn)動(dòng)的角度定義橢圓.

• 知識探究

探究一：橢圓的定義
我們首先來做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（學(xué)生演示）：(1)取一條細(xì)繩；(2)把它的兩端都固定在黑板的同一點(diǎn)處；(3)套上粉筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么？（一個(gè)圓）；

4. 如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在黑板的兩點(diǎn)處套上粉筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是怎樣的呢？（橢圓）

思考：(1)在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？說明了什么？
（在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端位置是固定的，可以看作是兩個(gè)定點(diǎn).）
(2)在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？
（在畫橢圓的過程中，繩子的長度沒有變化.）我們再通過幾何畫板演示一下剛才的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：點(diǎn)看作是繩子的兩端，點(diǎn)看作是筆尖.（幾何畫板演示）可以發(fā)現(xiàn)：整個(gè)過程中，線段的長度不停地變化，但是它們的和始終不變.這說明了到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).
我們知道：圓上的點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離等于定長，所以將圓定義為平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.因?yàn)樵诳臻g中滿足條件的點(diǎn)形成的應(yīng)該是一個(gè)球面，所以圓的定義限定在平面內(nèi).根據(jù)橢圓上的點(diǎn)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)，如何定義橢圓呢？
橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn).兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.
為什么要規(guī)定？當(dāng)或時(shí)，軌跡會(huì)是什么呢？
（當(dāng)時(shí)，軌跡是一條線段，以為端點(diǎn)的線段；當(dāng)時(shí)，軌跡不存在.）
橢圓的定義中要注意：(1)平面內(nèi)；(2)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)；(3).
小試牛刀：判斷　(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓.
(2)已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓.

3. 已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓.

探究二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
研究曲線就要研究曲線的方程.根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程？請大家回顧求曲線方程的步驟是哪五步？（我們簡稱：建，設(shè)，現(xiàn)（限），代，化.）
第一步，建系：建系的原則是讓點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程簡單，怎樣建系簡單？
取過焦點(diǎn)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
第二步，設(shè)點(diǎn)：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距，與的距離的和等于正常數(shù)  ，則的坐標(biāo)分別是， .
第三步，找限制條件：這個(gè)問題是什么限制條件呢？
由橢圓的定義得，.
第四步，代入坐標(biāo)，得方程：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有.
第五步，化簡：怎樣化簡？
等式中出現(xiàn)根式，我們一般考慮等式兩邊平方，但是由于這個(gè)等式左邊有兩個(gè)根式，可以考慮先移項(xiàng)后平方.

1. 移項(xiàng)：；
2. 平方：；
3. 整理得：；
4. 再平方：；
5. 整理得：，即；
6. 為了得到更加簡潔得方程，由于，所以可以等式兩邊同時(shí)除以得：.

請看圖片：你能從圖片中找出對應(yīng)長的線段嗎？
取橢圓與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，從而.
為了得出更加對稱的方程形式，在方程中，令，且，則橢圓的方程為.我們把它稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
我們把橢圓的焦點(diǎn)放在軸上，得出橢圓的方程為.如果把橢圓的焦點(diǎn)放在軸上建系，又會(huì)得出怎樣的方程？請大家小組合作討論得出方程.
容易得出：橢圓的焦點(diǎn)放在軸上建系，對應(yīng)的方程是.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們通過把橢圓的焦點(diǎn)分別放在軸和軸上建系，得出了橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：和.其共同點(diǎn)是：表示焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓，方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)在于：焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程中項(xiàng)分母較大，焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程中項(xiàng)分母較大.
小試牛刀：
(1)已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是________.
(2)已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是________.

• 課堂小結(jié)

以上我們主要探究了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，一起回顧一下：
橢圓的定義是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.通過把橢圓的焦點(diǎn)分別放在軸和軸上建系，得出了橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：和.

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