視頻標簽：函數的零點與方程的解

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函數的零點與方程的解》費縣

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人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函數的零點與方程的解》費縣§4.5.1  函數的零點與方程的解費縣第二中學   李雪
學習目標
1.理解函數零點的概念以及函數零點與方程根的關系.（易混點）
2.會求函數的零點.（重點）
3.掌握函數零點存在定理并會判斷函數零點的個數.（難點）
核心素養
1.借助零點的求法培養數學運算和邏輯推理的素養.
2.借助函數的零點同方程根的關系，培養直觀想象的數學素養.

自主探究：函數零點與方程的根的關系

問題：

• 方程 x²  2x 30 的解為         ，函數 y x²  2x 3的圖象與 x 軸有     個交點，坐標為             ．
• 方程 x²  2x10的解為         ，函數 y x²  2x1的圖象與 x 軸有     個交點，坐標

為              ．

• 方程 x²  2x30 的解為         ，函數 y x²  2x3的圖象與 x 軸有     個交點，坐標為              ．

一般結論：

判別式

2

4

b

ac

D= -



>

0



0

=



0

<

方程

)

0

(

0

2









a

c

bx

ax

的根

函數

)

0

(

2









a

c

bx

ax

y

的圖象

函數的圖象

與

x

軸的交點

根據以上結論，可以得到：

x

y

x

1

x

2

0

x

y

0

x

1

x

y

0

一元二次方程 ax² bx c 0(a 0) 的根就是相應二次函數 y ax² bx c(a 0) 的圖象與 x 軸交點的             .
你能將結論進一步推廣到 y  f (x)嗎？
新知 ： 對于 函 數 y  f (x)，我 們 把 使 f x( ) = 0 的實 數 x 叫做 函 數 y  f (x)的 零點
（zero point）.
反思：
函數 y  f (x)的零點、方程 f x( ) = 0 的實數根、函數 y  f (x)的圖象與 x 軸交點的橫坐
標，三者有什么關系？
小試牛刀：
1．函數 y = x² - 4x + 4 的零點為              ．
2．函數 y x³ 的零點為              ．
3．函數 f (x) log₅(x  1)的零點是(　　) ．
A．0　　　　　 B．1           C．2           D．3
小結：方程 f x( ) = 0 有實數根 Û 函數 y = f x( ) 的圖象與 x 軸有交點 Û 函數 y = f x( ) 有
零點.

合作探究一：零點存在性定理

問題：

• 作出 y x= ² - 4 3x+ 的圖象，求 f (2), f (1), f (0) 的值，觀察 f (2) 和 f (0) 的符號．
• 觀察下面函數 y = f x( ) 的圖象，

在區間[a b, ]上      零點； f (a) f (b)      0；在區間[b c, ]上      零點； f (b) f (c)      0；
在區間[c d, ] 上      零點； f (c) f (d)      0．
新知：如果函數 y = f x( ) 在區間 [a b, ]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 f (a) f (b)  0 ，那么，函數 y = f x( ) 在區間 (a b, )內有零點，即存
在 cÎ (a b, ) ， 使 得 f c( ) = 0 ， 這 個 c 也 就 是 方 程
f x( ) = 0 的根.
小組討論： 1．若 f (a) f (b) 0，則 f (x) 在(a,b) 內的零點個數一定是一個嗎？
  2．若 f (x) 在(a,b) 內有零點，則 f (a) f (b)  0 一定成立嗎？
3．在零點存在性定理的條件下，如果函數具有單調性，函數 y = f x( ) 在區間(a b, ) 內存在唯一零點嗎？
判斷：若函數 y  f (x)在區間[a b, ]上的圖象為連續不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（
 ）．
A．若 f (a) f (b)  0，不存在實數c(a,b)使得 f (c) 0 ；
B．若 f (a) f (b)  0，存在且只存在一個實數c(a,b)使得 f (c) 0 ；
C．若 f (a) f (b)  0，有可能存在實數c(a,b)使得 f (c) 0 ；  
D．若 f (a) f (b)  0，有可能不存在實數c(a,b)使得 f (c) 0 ．
小試牛刀：
2
1.函數 f (x) ln x   的零點所在的大致區間是(　　) ．
x
A．(1,2)        B．(2,3)         C．(3,4)          D．(e,3)
2．根據表格中的數據，可以判斷方程e^x  x 2 0必有一個根在區間(　　) ．

x

－

1

0

1

2

3

e

x

0.37

1

2.78

7.39

20.09

x

＋

2

1

2

3

4

5

A.(－1,0)      B．(0,1)          C．(1,2)        D．(2,3)

合作探究二：數形結合方法探討方程的根的個數

求函數 f x( ) =ln x +2x - 6 的零點的個數．（你有哪些方法？你會證明這個函數的單調性嗎？）
1       1 變式：分別求函數 g(x) x         ,h(x) x        的零點個數． x      x
感悟：函數 y =f x( ) 的零點 Û 求兩個簡單函數圖象的交點橫坐標 Û 方程 f x( ) =0 的根．
1．已知函數(小試牛刀：) f (x) 的圖象是連續不斷的，有如下對應值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

)

(

x

f

23

9

–

7

11

–

5

–

12

–

26

那么函數在區間[1，6]上的零點至少有（   ）個 ．
A．5 個      B．4 個    C．3 個       D．2 個 2.函數 f (x) ＝的零點個數為(　　) ．
A．0               B．1               C．2               D．3

當堂達標

1.函數 y 2x 1的零點是（  ）

A.1   B.^ ¹ ,0^   C.^0, ^1   D.2

         2      2         2
2.函數 f x 3^x  4 的零點所在區間為（  ）
 A.(0,1)   B.(-1,0)   C.(2,3)   D.(1,2)

 2^{ x},x 0

3.函數 f (x)  的零點是           lg x,x  0 回顧小結
1、本節課你學到了那些知識？

1. 函數零點的定義．
2. 零點的存在性定理．
3. 函數的零點或相應方程的根的存在性以及個數的判斷．

2、本節課滲透了什么數學思想方法？

課后檢測，自主學習

【基礎檢測】
1．已知函數 f (x) x²  1，則函數 f (x  1) 的零點是________．
2．若函數 f (x) ax b只有一個零點 2，那么函數 g(x) bx²  ax 的零點是(　　) ．
A．0,2              B．0，－             C．0，            D．2，
【能力提升】

                                                2x  2,    x[1,),                      1

         3．設函數 f (x) x2  2x,  x( ,1).，則函數 f (x)  4 的零點是________．

4．定義在 R 上的奇函數滿足：當 x0時， f (x) 2017^x log₂₀₁₇ x ，則在 R 上方程
f (x) 0的實根個數為________．
【綜合拔高】
5．設 aR ，試討論關于 x 的方程 lg(x  1)lg(3 x) lg(a  x) 的實根個數．（選

做）
6．已知函數 f (x) log x ，求方程( ) x  f (x) 的實根個數．

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