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視頻課題：高中數學人教A版選修2-3第一章1.2排列與組合1.2.2組合_重慶市優課

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高中數學人教A版選修2-3第一章1.2 排列與組合1.2.2 組合_重慶市優課

教學目標
1、 知識與技能目標：
（1）掌握組合的概念，理解排列和組合的區別和聯系；
（2）掌握組合數公式；
（3）能應用組合數公式解決簡單的計數應用問題。
2、 過程與方法目標：
（1）通過組合的學習過程，體會數學中類比的學習方法；
（2）在經歷了組合數公式推導過程，掌握由特殊到一般的歸納推理學習方法。
3、情感、態度和價值觀：
（1）通過學習，能夠深刻的感受到數學來源于生活并服務于生活；
(2)通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。
2學情分析
從學生現有的知識技能看，在經歷了兩個計數原理以及排列的學習，學生對“完成一件事情”、分步、分類等基本思想方法有比較深刻的認識。大部分學生已經能正確運用兩個計數原理，熟練地解決排列問題，還能遵循先特殊后一般、、先分類后分步的原則，解決典型的排列問題。
從學生的認知方式和學習習慣看，排列與組合的區別，從定義上來說是簡單地，但在具體糾結過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關系。這與平時憑經驗、靠感覺的做事習慣、思考習慣有密切的關系。對于公式的學習習慣，公式的的應用，學生能較快入手，但對于公式的來由和推導，卻知其然不知其所以然。要解決這一問題，需要師生一起，在分析問題的過程中，舍棄背景，化歸數學模型，借助適當的工具，模擬完成事情的過程，緊扣數學概念，提升邏輯思維能力。
因此，本課的主要任務是依托學生已有的知識和方法，類比歸納出組合的概念、推導出組合數公式，并能應用組合數公式解決基本的組合問題。
3重點難點
教學重點：組合的概念及組合數公式
教學難點：組合數公式的推導發現
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】創設情境
最近剛讀完一本書，書名叫《越努力，越幸運》，我終于給我一直以來的幸運找到了緣由：我一直都在努力呀！今天，我給我的幸運畫條延長線，通過游戲，把幸運傳遞給大家。游戲的名字叫“計數幸運星”。游戲規則：游戲以小組為單位，共分為兩輪。每一輪由組長執筆,代表本組從1，2，3，4四個數字中選出三個記錄在小黑板上。每一輪記錄結束時由老師宣布幸運號碼，符合幸運號碼規則的小組將是本輪游戲的計數幸運星.
從中獎的規則上，讓學生發現兩次幸運號碼的區別，并能查找根本原因——順序。再舍棄背景，提煉出數學模型。
問題1：從4個不同的元素里選出3個元素，按照一定的順序排列，有多少種不同的方法？
問題2：從4個不同的元素里選出3個元素，有多少種不同的方法？
此時指出：幸運號碼：421是一個排列，不分順序的4，2，1是一個組合，問題1就是學習過的排列問題，問題2就是要學習的組合問題。
活動2【講授】探究新知
一、組合的概念
類比排列，你能告訴我什么是組合嗎？
組合：從n 個不同元素中取出m 個元素合成一組，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合。
 
 
問題：排列、組合有什么區別和聯系？
      什么是相同的排列？
      什么是相同的組合？
 
 
小組交流：舉出身邊生活中的組合的例子。
 
 
 
 
 
例1、天星橋中學食堂中午有7葷8素共15樣菜品供同學們選擇，辨析下列排列組合問題：
（1）依次擺放菜品，有多少種不同的擺放方法？
（2）甲、乙分別選擇一種不同的葷菜，有多少種不同的方法？
（3）從7樣葷菜中選2樣，有多少種不同的方法？
（4）選出3樣不同的菜配成套餐，共能配成多少種不同的套餐？
在上述問題的判斷之后，請學生表示出（1）、（2）的排列數。
問題：例1中的（3）題有多少種不同的選法？ 
   這個結果“21”就是我們所求的從7個不同的元素中取出m個元素的組合的個數，稱作組合數。
 
二、組合數的概念：
組合數：從n 個不同元素中取出 m個元素的所有不同組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的組合數，用符號C^m_n  表示(combination) 
問題："組合”與組合數有什么區別？舉例說明。
 
問題：如果不寫出所有的組合，該怎樣求組合數呢？
合作探究：前面已經提到，組合與排列有相互聯系，我們能否利用這種關系，通過排列數 來求組合數 呢？并小組合作找尋排列數和組合數之間的聯系。
讓學生寫出上述問題的所有的組合：
123，124，234，134
讓學生寫出上述問題的所有的排列：
123，132，321，312，231，213
124，142，214，241，421，412
234，432，243，423，324，342
134，143，314，341，214，241
思考：①請說出你是按照什么規律寫出排列的？這些排列與組合的關系是什么？
 ②請用學過的乘法原理進行解釋
  ③你能否猜出 的關系呢？
啟發引導學生借助組合與排列概念間的聯系，猜測組合數與排列數的關系；通過對問題1和問題2的分析、解決，按照由簡單到復雜，由具體到抽象，由特殊到一般的認識過程，歸納得出組合數公式。
三、組合數公式
      C^m_n=A^m_nA^m_m =n(n−1)(n−2)....(n−m+1)m!  
C^m_n=n!m!(n−m)! (m,n∈N⁺,且m≤n) 
規定：0!=1
利用組合數公式表示并計算例1的（3）（4）兩小題。
 
請小組組長命題，其他同學完成計算并相互驗證，然后個別展示。（建議m、n在10以內）
個別學生能夠發現 C^m_n=C^n−m_n ​，老師提出猜想，從選m留n-m對應關系解釋原理。
活動3【活動】合作探究
 
1、觀察組合數公式有結構特點，熟悉并記憶公式。推廣分享自己的記憶方法.
 
 
 
 
2、學生自主命題：計算組合數并個別展示。個別學生在計數中發現組合數的性質
 
 
活動4【活動】課堂小結
1、學到了什么？求組合數有那些方法？
2、本節課學到了什么數學思想方法？
3、大家還有什么疑問？
最后以一首小詩結束本節課的學習：
    排列組合兩兄弟，
    有無順序辨清晰；
    先選后排有條理，
    幸運計數就是你。
活動5【練習】課堂作業
(一)、書面作業:
    1、計算：（1）C³₁₅                       （2）C²₅·C³₅   
            （3）C³₆C⁴₈                   （4）C²₈+C³₈+C²₉ ​
2、從3,5,7,11這四個質數中任取兩個相乘，可以得到多少個不同的積？
3、 圓上有9個點
（1）以其中每兩個點為端點的直線有多少條?
（2）以其中每兩個點為端點的有向線段有多少條?
（3）過其中每三個點作圓的內接三角形,一共可以作多少個圓的內接三角形?
（二）、預習作業：組合數的兩個性質
 
 
活動6【活動】教學反思
“教然后而知困。”本節課已經上完了，但對“組合”這節課的思考我一直停不下來，回顧自己在教學設計過程和上課中的點點滴滴，我做了一些反思：
（1）對教材有些創造性的使用。
本節課的教學目標設置要求理解排列組合的區別和聯系。在對教材中的引入問題設計上，我切合實際地做了一些改進，設計成“計數幸運星”游戲環節，即使問題本身因為背景而站穩腳跟，又使學生的參與熱情空前高漲，并能從“幸運”的角度去體會“順序”的存在，從而達到對排列組合概念的深刻理解和體會。
在例題的編排方面，我拋開了排列問題中常見的站隊、涂色、安排活動等基本模型，從學生喜聞樂見的食堂打飯問題中提出數學為題，提升了學生興趣，并能使學生切身感受數學來源于生活，生活中蘊含著數學，從生活中提煉數學模型。
（2）切合生活實際地教學設計讓學生參與熱情高漲、課堂精彩紛呈。
在“計數幸運星”的游戲中，一開始大部分學生確實純屬賭運氣，因為沒有方向和目標，當第二輪我公布了幸運號碼的時候，學生突然似乎能明白了我的一點點意圖，也開始思考為什么第一輪很難，而第二輪比較容易，思考其中的數學問題，并發揮集體的智慧，小組合作抽象出其中的數學模型。
在對組合數公式的應用中，由學生自主命題的環節讓我發現群眾力量的強大。除了可以多練題之外，學生在組合數呈現較多的時候能夠發現其中的規律，包括組合數的性質。
（3）仍有一些遺憾讓我思考再教設計。
 課堂上給出的組合模型有限，應該再通過直接或者間接的方式給出更多常見的組合模型，包括與幾何有關的組合問題。另外，對個別學習小組的學生活動的關注還不夠到位。
思然后知不足，知不足而后進。以這節課為新的起點，我會朝更高的方向努力！
 

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