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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《圓錐曲線復習課》北京
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《圓錐曲線復習課》北京
圓錐曲線復習課
李躍翔
一、教學內容解析
1．教學內容
本節課是一節圓錐曲線復習課，主要內容包括圓錐曲線與方程，選自選擇性必修課程中的幾何與代數主題，這些內容中蘊含著運動變化思想，數形結合思想，并在坐標法的應用過程中得到進一步的體現.
2．內容解析
解析幾何是在直角坐標系中通過代數的方法研究幾何問題的一門學科，其研究對象是幾何圖形，高中階段主要包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圖形.在初中階段平面幾何的學習中，學生通過直觀感知、操作確認的方式，主要研究了直線和圓這兩類基本幾何圖形的定性性質，是高中階段直線和圓的方程這一章的研究基礎.通過對直線和圓的方程的學習，學生基本形成了利用坐標法研究幾何圖形的認識，并初步掌握利用坐標和方程，對直線與直線、直線與圓、圓與圓相關的位置關系和度量關系問題進行定量研究.“圓錐曲線與方程”是在“直線和圓的方程”的基礎上，進一步用代數方法，在平面直角坐標系中研究圓錐曲線的幾何特征、性質及位置關系.與此同時，解析幾何把變量引入到數學中，使得人們可以借助數學對客觀現象中的運動變化規律進行定量分析，也為微積分的創立奠定了基礎.本節課知識上下位關系如圖：
本節課是在學生學習平面解析幾何之后，通過組織學生利用“平面解析幾何基礎測試卷”，診斷自身問題，對自己、同伴和全班同學在這一單元的學習狀態進行分析和評價，并為自己下一階段的有效復習制定個性化復習方案.在學習的過程中，發展發現和提出問題、分析和解決問題的能力，體會與同伴合作、共贏的作用，提高學生學習好解析幾何的自信心.
復習課的主要任務是提高學生對知識的自我認知，這類知識主要屬于元認知知識，其認知加工方式主要是分析、評價、創造.
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：通過分析數據、多向評價等活動，診斷出在平面解析幾何單元存在的知識漏洞，制定個性化學習方案;
二、教學目標設置
1．教學目標
通過本課學習，預計達到以下目標：
（1）經歷核對答案、填寫表格的自我檢測全過程，通過組內交流、評價、匯總分享，學生對平面解析幾何模塊基礎知識的學習狀態進行合理的自我評價，明確自身的優勢與不足，提高發現問題、分析問題的能力;
（2）通過同伴互助、小組交流、建構圓錐曲線的知識體系，能依據解析幾何相關知識學習質量的自我評價，明確個人學習目標，并會從多個角度制定下一階段的個人復習方案，提高解決問題的能力;
（3）經歷分析、評價、創造的認知加工過程，激發學習數學的興趣，增強學習好數學的自信心，體會合作共贏的作用，發展直觀想象、邏輯推理素養.
2．目標解析
達成以上目標的標志是：
（1）能結合具體問題，分析出其涉及的數學概念、公式的正確內容，清晰地指出自己的錯因，并能將個人已掌握的知識以及待解決的知識進行記錄;
（2）能針對自己待解決的問題，合理地寫出個人復習計劃的具體內容，并能對自己復習計劃的具體含義進行表述;
（3）在學習的過程中，高質量完成組長分配的個人任務，積極參與到課堂的各項活動中，有效地解決自己在解析幾何模塊存在的問題.
三、學生學情分析
1．學生認知基礎
學生經歷了直線和圓的方程、圓錐曲線的方程相關知識的學習，能夠將所學知識進行簡單的應用，初步掌握用坐標法研究解決平面解析幾何相關問題的一般程序.
學生在課前做了解析幾何基礎測試卷，共43道選擇題，1道解答題，統計情況如下：
班內21%的學生正確率達到了90%以上，具備較好的認知基礎；也有31%的學生錯了9道題以上，存在明顯的知識漏洞..
通過與學生的溝通，學生主要從以下三個維度反饋了自己的問題：
①一部分數學基礎薄弱的學生主要認為，主要因為自己對數學概念、公式的記憶與理解不到位，導致頻頻出錯，丟分嚴重，逐漸失去學習好解析幾何的自信心;
②基礎稍微好一些的同學也會出現知識上的問題，但更多的是運算出錯、作圖不準確、書寫解答步驟不規范等學習習慣方面的問題，導致丟分;
③對于基礎較好的學生，在解決綜合性較強的題目時，他們更多地是運用知識進行分析、推理時能力欠缺，對如何恰當應用數形結合、轉化與化歸等思想方法解決具體問題的認識不到位，十分困惑.
2．達成目標需要具備的認知基礎
為了較好達成教學目標，學生需要具備能準確找到相關薄弱知識的具體例子或例證進行舉例，能概述出出現錯誤的原因的認知基礎，并能根據個人在本章知識的認知情況制定合理的復習計劃.
針對測試卷做錯的習題，學生容易將錯因歸結為概念、原理、公式等記憶不牢固，以及做題粗心大意、靈活性較差等因素導致出錯，因此往往忽視在基礎知識的理解層面出現問題,需要以個人分析為主，教師的反饋評價為輔，以較好地提升學生的自我認知；元認知知識的分析-評價-創造環節的順利進行，需要學生充分理解相關數學概念、公式，并能恰當結合例子對自己的失誤進行解釋、說明，對學生而言具備一定挑戰，需要借助教師的組織和指導.
基于以上分析，確定本節課的教學難點是：全面、客觀地評價自己在平面解析幾何單元的學習質量，制定合理的個人復習方案.
四、教學策略分析
（1）學習材料的選擇
平面解析幾何這一單元的知識主要屬于事實性知識、概念性知識，依據教材中知識的學習順序，設計主要包含單一知識要素的測試題，全面覆蓋本章知識，考查學生對數學概念、公式的理解程度.根據本單元知識設計知識內容分布圖，以幫助學生清晰地理解知識及其歸類；結合班級學生的實際學習情況，設計個人評價表和個人發展明細表，以幫助學生提高對自己在本章知識理解情況的認識，合理制定后續的復習計劃.
（2）教學方法分析
兼顧基礎薄弱學生和基礎相對較好學生的學習需要，以具體問題的展開為載體，進行啟發式教學，教師主要負責組織學生在一定要求下完成學習任務，組織合作交流、分析評價等課堂活動的及時、高效開展;學生主要以獨立思考、自主學習的方式解決難度適中的問題，通過小組合作學習的方式，解決難度較大、認知要求較高的問題，發揮同伴互助、合作共贏的力量.
（3）問題串的設計
通過問題1，組織學生統計數據，并利用自己的真實材料，自主學習，診斷自身存在的問題，通過具體問題的分析評價活動，學生初步認識到本單元學習狀態；通過問題2，組織學生匯總數據，引導學生結合班級、小組的數據，整體把握自己在本章的學習狀態；問題1和2主要達成對自我認知情況的合理分析.
通過問題3，基礎薄弱的學生借助同伴的力量，合作解決對自己有挑戰性的問題，在解決問題的過程中，學生不斷完善個人評價表，有助于將個人的優勢與待改進問題所涉及的知識進行客觀、及時記錄，更好地培養知識結構化意識；通過小組間的展示交流，有助于班級學生共性問題的充分思考與解決.
最后，通過問題5，學生能合理制定出適合自己的個性化復習方案，達成教學重點.
（4）學生的學習反饋
本節課的個人評價、小組評價、教師評價等多個評價活動，屬于形成性評價，教師主要扮演組織者、協作者，而占主體地位的是學生.這些評價活動的開展，不僅可以幫助學生鞏固強化已經學習到的知識，也有助于學生提高對自己認知情況的認識，對自己的學習情況起到及時反饋的作用，有效幫助學生在學習的過程中及時調整學習策略.
五、教學過程設計
課堂引入：
近兩年北京高考題在解析幾何模塊的考查，一般考察三小一大共四個題目，分值在27分左右.主要通過選擇題和填空題的形式考察直線與圓的位置關系，雙曲線、拋物線的標準方程和幾何性質．在解答題中，以考察直線和橢圓為主，考查圓錐曲線的綜合問題時主要包括面積問題、最值問題、定點(定值)問題以及存在性問題等.
不難看出，高考對于平面解析幾何這一章的考查，除了能力要求較高之外，對知識的考查也十分全面、深刻.因此，我們本節平面解析幾何明細課，希望通過對同學們自己基礎測試卷解答情況的分析，合理評價自己、小組同伴以及全班同學在本章相關知識的掌握情況，并制定適合自己的詳細復習計劃.
設計意圖:
教師介紹明細課的背景，學生明確本節課的學習材料、學習內容.
（一）個人核對，填涂表格
【問題1】借助測試卷判斷自己對解析幾何知識是否理解，可以先嘗試對涉及的知識和解答正誤情況進行歸類統計，你能高質量完成以下任務嗎？
任務一:
1.核對基礎測試卷答案;
2.在《平面解析幾何知識內容分布圖》中，將做對的題目序號用黑色筆寫在成功區，做錯的題目序號用紅色筆寫在失敗區.
師生活動：
1.學生自主核對答案，并且按要求填寫知識內容分布圖；
2.教師關注學生完成進度，調節課堂活動時間.
設計意圖：
引導學生經歷自我檢測的全過程，收集自己的數據，并能明確成功題目和失敗題目所屬的具體知識模塊，初步了解自己的優勢與不足.
（二）小組統計，匯總數據
【問題2】針對自己在本章各個子模塊的掌握情況和相關原因，你能初步嘗試進行自我評價嗎？
教師引言：在此之前，我們先看看本組和全班的學習情況，通過比較自己和整個小組掌握情況的異同之處，可以有更多視角對自己的學習狀態進行合理評價.
任務二：
1.以小組為單位，向組組長匯報個人的成功和失敗題目分布情況;小組長統計、匯總本組同學平面解析幾何模塊的優勢和劣勢.
2.小組長在黑板的表格中，將本組同學的優勢模塊畫“√”，劣勢模塊畫“△”;
師生活動：
1.教師發布任務，組織學生交流成功、失敗題目分布情況，指導學生統計、匯總數據；
2.教師巡視各小組的統計情況；
3.教師結合黑板上各小組的統計情況，和學生一起探討班級整體情況.
4.教師組織學生獨立思考，進行自我評價；
追問：獨立思考，你能結合具體例題對自己的學習情況和相關原因進行分析與評價嗎？
預設：學生結合具體例題，進行展示、交流.
設計意圖：
學生經歷分析、統計數據的過程，能發現自己和同伴的學習狀態的問題；可以結合具體例題，初步對自己在平面解析幾何這一章的學習狀態進行合理分析與評價，提升對自己學習狀態的認知.
（三）匯報共享，達成共識
【問題3】如何做才能更全面、客觀地評價自己對本章知識的真實認知情況呢？
教師引言：目前還有一些典型問題，我們自己獨立解決還是比較困難的，就需要同伴之間互相幫助.通過充分分析和交流，往往會給自己帶來新的認識、啟發，有助于提升自我認知.
任務三：
1.組長組織合作交流，共同分析解決劣勢模塊的失敗題目；
2.結合個人數據，從知識的角度分析：自己會什么、不會什么、已解決的、待解決的內容，將具體知識清晰地寫在個人評價表中；
3.結合本組數據，組長匯報本組的問題及其解決情況，并評價組員參與的積極性和貢獻程度.
師生活動：
1.教師發布任務；小組深入合作交流，分析解決失敗題目；
2.教師巡視各小組統計情況，適時、適當參與到小組討論中，并根據實際進度組織課堂活動；
教師提示：可以從知識、習慣、能力等多個角度分析原因，展開評價；小組長可以評價組內問題的解決情況、產生原因以及組員的參與情況、有效貢獻程度；
3.教師利用師生交互平臺收集、展示有代表性的小組的個人評價表，引導相關小組組長對本組學習情況、參與情況進行全班范圍的分析、評價；
4.教師結合小組的實際分析情況，適時引導學生進行補充、質疑；
追問：“針對該小組的分析與評價，你有不贊同或不一樣的想法嗎？”
5.教師針對學生的回答，進行提煉，并對全班同學學習情況、小組活動情況進行評價，明確下一階段的重點復習內容.
設計意圖：
學生獨立解決部分問題時，難度較大，此時需要發揮學生的主體性作用，在同伴互相指導、幫助的過程中，充分分析、解決問題，有助于加深對自我學習質量的認識，并從中獲得解決問題時的快樂，增強學習好數學的自信心；同時，學生及時記錄自己的優勢以及待改進的問題，制定個人評價表，有助于明確自己下一階段在圓錐曲線單元的重點復習內容，有利于后續有針對性地制定個人復習計劃.
（四）制定計劃，互相借鑒
【問題4】診斷出具體知識漏洞和原因后，我們有必要從不同角度制定具體的解決措施并進行落實，以指導自己更好的發展.你能說一說從哪些角度制定解析幾何這一章下一階段的復習計劃嗎？
任務四：
結合個人評價表中待解決的知識及相應例題，從“明確知識、培養習慣、提升能力（包含推理能力、作圖能力、運算能力）、規劃時間”角度，制定個人發展明細表；
師生活動：
1.教師提出問題；學生思考，并回答問題；
2.教師發布任務，學生獨立填寫個人發展明細表；
3.教師巡視，利用師生交互平臺收集、展示學生作品；學生結合個人發展明細表進行展示交流；
4.教師根據實際情況，適時適當地引導學生進行補充、質疑；教師適當提煉.
設計意圖：
引導學生將個人的薄弱知識進行提煉、記錄，并將這些知識與落實方案整理成為結構，制定出適合自己的個性化學習方案.在個人發展明細表生成的過程中，學生不斷思考自己在解析幾何單元的薄弱知識模塊及對應的知識，更清晰地認識自己的優勢與不足，為解析幾何的后續高效復習提供便利.
（五）課堂小結，歸納提升
【問題5】
1.結合本節課的內容，你能說說學到了哪些知識？體會到了哪些數學思想方法？
2.在解析幾何的后續復習中，自己該如何做才更有針對性和效果呢？
師生活動：
1.教師提出問題，學生獨立思考，并回答問題；
2.教師補充：通過試卷的測評診斷，我們應明確自己對知識的理解和掌握情況，明確復習目標，生成學習計劃，并在落實的過程中及時調整，不斷改進，循環往復.在基礎知識解決后，我們還會從基本方法，能力策略等角度深入考查大家在解析幾何這一章的掌握情況.
設計意圖：
學生對本課時的學習收獲進行反思，教師進行歸納、補充，在師生交流的過程中，引導學生在重視分析、解決問題的同時，更要注重落實、調整，提高學生學習好解析幾何的自信心.
（六）布置作業，鞏固深化
針對評價表和發展明細表中的薄弱知識，認真查閱課本內容，并將測試卷中的錯題進行改錯.
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