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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《立體幾何與空間向量溫習課》北京

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《立體幾何與空間向量溫習課》北京

立體幾何與空間向量溫習課

• 教學內容分析

1.理論依據與指導思想
(1)課程標準要求
新課程標準中提到，教師在教學活動中既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習。教師要加強學習方法指導，幫助學生建立知識之間的聯系。教師要在教學活動中勇于創新，包括指導學生學習方式的創新，也包括對數學結構的梳理。
(2)信息加工理論
知識可以看作信息，信息可以以多種形式輸入，但只有經過編碼后才能存儲。存儲失敗或缺失，對信息的提取以及再次加工，就會形成阻礙。這個信息加工模式說明，僅僅靠做題，而不注意數學知識體系結構，是無法學好數學的。
2.教材內容
本節課是高三立體幾何與空間向量的章節溫習課,即本章復習的起始課。關注的學習內容是本章節所有知識內容之間的關系，特別是知識之間的結構。在新授課教學階段立體幾何初步屬于必修內容，空間向量與立體幾何屬于選擇性必修內容。它們同屬于幾何與代數主題，在高三復習中有必要對兩部分知識內容重新建立關系，如綜合幾何方法和向量方法解決一些立體幾何中的推理論證，度量計算問題的知識結構整合。學生通過本節課的學習，對本章知識建立結構性認識，為后續復習打下基礎。
表1 立體幾何與空間向量知識要素

1	柱、錐、臺、球概念	D立體幾何初步
2	平行六面體、直四棱柱、長方體的關系	D立體幾何初步
3	球、柱、錐的表面積計算公式	D立體幾何初步
4	球、柱、錐的體積的計算公式	D立體幾何初步
5	斜二測畫法	D立體幾何初步
6	三視圖與直觀圖的概念	D立體幾何初步
7	利用三視圖還原直觀圖的基本方法	D立體幾何初步
8	空間點、直線、平面的概念	D立體幾何初步
9	空間中點、線、面的位置關系	D立體幾何初步
10	確定一個平面的條件	D立體幾何初步
11	線在面內的判斷條件	D立體幾何初步
12	兩平面有一個公共點，則有公共直線	D立體幾何初步
13	平行于同一直線的兩條直線平行	D立體幾何初步
14	線面平行推直線與交線平行	D立體幾何初步
15	面面平行推第三面的兩交線平行	D立體幾何初步
16	一個平面的兩條垂線平行	D立體幾何初步
17	垂直于同一平面的兩條直線平行	D立體幾何初步
18	直線垂直平面內兩條相交直線推線面垂直	D立體幾何初步
19	面面垂直及面內直線垂直交線推線面垂直	D立體幾何初步
20	面外線與面內線平行推線面平行	D立體幾何初步
21	面內交線與面平行推面面平行	D立體幾何初步
22	面經過面的垂線推兩個平面垂直	D立體幾何初步
23	異面直線的夾角及范圍	D立體幾何初步
24	異面直線的垂直	D立體幾何初步
25	直線與平面垂直	D立體幾何初步
26	直線在平面上的射影	D立體幾何初步
27	直線與平面所成角及范圍	D立體幾何初步
28	二面角	D立體幾何初步
29	二面角的平面角及范圍	D立體幾何初步
30	兩個平面互相垂直	D立體幾何初步
31	空間直角坐標系（右手系）	F 空間向量及應用
32	空間兩點間的距離公式	F 空間向量及應用
33	空間中中點坐標公式	F 空間向量及應用
34	空間向量的概念	F 空間向量及應用
35	空間向量的模	F 空間向量及應用
36	空間兩向量的夾角	F 空間向量及應用
37	空間向量的線性運算法則	F 空間向量及應用
38	空間向量的線性運算的坐標表示	F 空間向量及應用
39	空間向量的數量積法則	F 空間向量及應用
40	空間向量的數量積的坐標表示	F 空間向量及應用
41	利用向量求n等分點坐標的方法	F 空間向量及應用
42	直線的方向向量	F 空間向量及應用
43	平面的法向量	F 空間向量及應用
44	求平面法向量的基本步驟	F 空間向量及應用
45	用向量方法證明空間中的平行垂直關系	F 空間向量及應用
46	求空間中的角的向量方法	F 空間向量及應用
47	異面直線成角與其向量成角的關系式	F 空間向量及應用
48	線面角與其向量成角的關系式	F 空間向量及應用
49	二面角與其向量成角的關系式	F 空間向量及應用
50	判斷二面角余弦值的正負	F 空間向量及應用
51	向量方法解決立體幾何問題的程序	F 空間向量及應用

 

 
知識結構圖：

圖1 立體幾何與空間向量知識結構圖
3.教學內容分析
由教育目標分類學，知識類型可以分為四類，事實類、概念類、程序類、元認知類。
而概念類中包含一類結構性知識，這類知識最為抽象。因此，要獲得此類知識，需要更為高級的認知加工方式。從認知過程分類的角度來說，想要獲得結構性知識，學生需要具有一定 的分析能力、評價能力、創造能力。

圖2 知識分類結構圖

圖3 認知過程分類結構圖
因此本節課的教學重點是建立優化知識結構圖的評價標準。教學難點在于如何使通過教學活動發展學生的分析、評價、創造能力。讓學生真正獲得結構性認識。

• 教學目標設置

根據教學內容，我設置本節課的教學目標如下：
在《普通高中數學課程標準（2020年修訂版）》的指導下，基于教育目標分類學理論，本節課作為本章節復習起始課，教學目標設置為：
1.以立體幾何與空間向量為問題情境，通過創造、評價、分析、優化等認知活動，溫習本章基本知識和知識之間的關系；
2.在不斷思考、交流、展示的過程中，獲得優化知識結構圖方法的共識。初步獲得自主建立知識結構體系的能力；
3. 通過探索式、合作式的課堂活動，獲得積極的情感體驗，在小組討論和交流的過程中更好地了解他人，認識自己。
以上目標達成的標準：
1. 能夠簡要說明本章節的知識的關系，可以繪制知識結構圖；
2. 能夠說出評價結構圖的若干要素和優化結構圖的標準；
3. 能通過小組合作，發展合作交流意識。

• 學生學情分析

 
 
 
 
 
 
 
 
圖4 學生前測試題得分率統計圖
授課班級為清華附中將臺路校區高三4班，在本章復習前，通過前測題目答題情況發現大部分同學對本章知識有所遺忘，缺乏對立體幾何與空間向量章節知識內容和結構的完整理解。如前測題2題中，大部分同學在求異面直線成角時不能想到更方便的綜合幾何方法；又如前測題3題中，對于相對冷門的知識點斜二測畫法，大部分同學不能得分。因此在復習的起始課，有必要幫助學生建立對本章節知識的結構性認識。
關于繪制知識結構圖的教學活動，通過課前的問卷調查和與學生談話交流我得出這樣兩個結論：
1.學生不缺乏繪制知識結構圖的活動經驗；
2.學生繪制知識結構圖的水平有待提高，對繪制知識結構圖意義認識不夠明確。
這說明，繪制知識結構圖和能夠獲得結構性認知是兩件不同的事，教師有必要通過設計教學活動，促進學生獲得結構性認知。

• 教學策略分析

高級認知加工能力的培養需要足夠的時間和活動，因此，本節課采取小組合作學習方式，學生為主體，教師為主導，積極組織認知活動，以達到發展能力的目標。
學生的主體地位，體現課程資源，主要來自于學生的表現和創造。活動形式主要以學生的獨立思考，相互交流，匯報展示為主。課堂生成資源如基本要素、評價標準不由教師給出，而由學生活動生成。
教師的主導作用體現在教師提前布置任務，設計學生活動。課堂上教師負責說明任務，組織學生有序開展活動。對學生的課堂生成資源進行點評、鼓勵。引導學生在制定標準的過程中關注知識點本身和知識間的關系。

圖5 教學策略示意圖

• 教學過程設計

【引入活動】展示兩位同學的知識結構圖和學生成績，讓學生猜想成績和知識結構圖的對應。

圖6 學生知識結構圖對比圖
【設計意圖】說明結構性知識在學習中的重要性；同時明確本節課的學習目標；激發學生的學習興趣．

圖7 學生知識結構圖1號
1號圖的優點是邏輯較為清晰。問題是缺少對空間向量及運算的整理，同時線面成角向量法的計算公式有誤。教師可以引導學生關注知識的準確性，強調知識結構圖的內容完整。

圖8 學生知識結構圖2號
2號圖的優點是對平行垂直之間的相互轉化整理的比較清楚，知識點的準確性較高。問題是缺少空間幾何體部分的知識整理，內容不完整。分類不夠合理。結構關系需要調整，如平行、垂直可以調到位置關系的下一層級。
 

圖9 學生知識結構圖3號
3號圖的特點是按照大題和小題分別整理，這樣整理有優點，也有缺點。大題部分的平行垂直證明和小題部分的平行垂直判定內容重復，但又沒有說清證明的方法。
【師生活動一】從三位同學創作的知識結構圖中，評選最喜歡的知識結構圖，并給出三個理由。
（1）學生獨立思考；
（2）學生然后帶著自己的想法進行小組討論，達成共識，
     教師在巡視和傾聽的過程中指導、幫助和啟發學生；
（3）選一名代表上臺分享本組的選擇和評選理由。
【預設答案】
教師結合張知識結構圖的特點，對學生的分享進行點評，引導學生關注知識導圖的知識點完整性、準確性、知識結構是否合理，重點關注知識點和知識點之間的關系。
【設計意圖】引導學生關注其他同學的知識結構圖的優點，發現優秀的知識結構圖應該具備哪些要素，可以從那些維度來評價，學生在這個過程中通過分析具體的知識結構圖，獲得直觀的經驗。
【師生活動二】探討并制定知識結構圖的評價標準。
（1）學生通過獨立思考，討論，展示，確定關鍵詞，派代表將關鍵詞展示在黑板上；
（2）一名同學將關鍵詞分類，并確定優秀知識結構圖的評價維度；
（3）請每個小組將其中一個維度，總結為一句話，作為評價標準。
【預設答案】
關鍵詞：知識點、完整、準確、精煉、分類明確、層級清晰、結構合理、關聯準確
評價標準：
1.知識結構圖的內容應該完整、準確、精煉；
2.知識結構方面應該分類明確、層級清晰、結構合理、關聯準確。
教師提示學生寫關鍵詞時注意參考上一個任務的活動經驗。引導學生對關鍵詞的分類，合并等。引導學生關注知識內容、與結構關系，幫助學生概括出評價標準。
【設計意圖】引導學生結合實例，探索優秀知識結構圖的要素，構建優秀知識結構圖的評價標準，作為優化結構圖的依據。在這個任務中培養學生總結概括的能力。
【師生活動三】利用初步制定的評價標準對知識結構圖提出改進意見。
（1）獨立思考，用評價標準評價同學的知識結構圖，提出調整、改進、優化的建議；
（2）小組討論，交流想法，并最終達成共識；
（3）選一名學生到講臺前，分享本組的優化建議。
【預設答案】
教師引導學生在修改知識結構圖時要應用評價標準，先補充知識內容，修改錯誤的知識內容，確保知識內容完整、準確。然后再根據知識關系進行結構調整，重新分類，確定層級。
【設計意圖】通過應用評價標準，提升學生構建章節知識結構圖的能力；強化學生對立體幾何與空間向量的知識結構的理解。
【課堂小結】學生總結自己這節課的收獲，知識層面，能力層面。
【預設答案】
1.知識層面
  知識內容，對某個知識點錯誤認知的糾正。知識間的關系，如分別可以利用綜合幾何法和向量法證明平行垂直的問題。因此，這兩部分可以建立關系。
2.如何繪制知識結構圖
     確定知識點     發現知識點的關系    設計結構     調整布局
【課后作業】
1.總結優秀知識結構圖的評價標準，根據評價標準進一步優化自己的知識結構圖。
2.應用知識結構圖，分析自己測試情況，找到自己的知識漏洞或理解誤區。
3.用兩種方法解決下面的問題，并在自己的知識結構圖上指出用到的知識點：
1）已知正四棱柱 中， ， 為 中點，則異面直線 與 所形成角的余弦值為（　　）
A．                    B．                           C．                  D．
2）如圖，在三棱錐 中， ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求點 到平面 的距離．
 
 
 
 
 

 
附錄1前測試題
                     立體幾何與空間向量小測試
                  時間：30分鐘     姓名：         班級：     成績：
1．在 中， ，若將 繞直線 旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是（　　）
A．                      B．                        C．                      D．
2．已知正四棱柱 中， ， 為 中點，則異面直線 與 所形成角的余弦值為（　　）
A．                    B．                           C．                  D．
3．一個水平放置的正方形的面積是 ，按斜二測畫法所得的直觀圖是一個四邊形，這個四邊形的面積是（　　）
A．                    B．                        C．                    D．
二、填空題
4．把邊長為 的正方形 沿對角線 翻折，則過 四點的球的體積為　   　．
5．關于直線與平面，有下列四個命題：
（1）若 ∥ ， ∥ ，且 ∥ ，則 ∥ ；
（2）若 ⊥ ， ⊥ 且 ⊥ ，則 ⊥ ；
（3）若 ⊥ ， ∥ 且 ∥ ，則 ⊥ ；
（4）若 ∥ ， ⊥ 且 ⊥ ，則 ∥ ；
其中不正確的命題為　   　．
三、解答題
6．如圖，在三棱錐 中， ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求點 到平面 的距離．
 
 
 
 
 
附錄2 訪談問題
 
1.談談你高三復習的經驗？
2.你希望高三復習章節的起始課是怎樣的？
3.說說立體幾何與空間向量這一章有哪些知識？
4.你認為要獲得數學知識有哪些方法？
5.你在以往的學習過程中會主動繪制知識結構圖嗎？為什么？

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