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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《斐波那契數列與黃金分割》安徽

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《斐波那契數列與黃金分割》安徽

斐波那契數列與黃金分割

• 教學內容解析

1. 內容與要求

通過實際情境引入斐波那契數列，通過代數運算導出黃金分割；聯系初中階段的黃金矩形與黃金三角形，欣賞黃金分割在研究自然規律、藝術創作等跨學科研究中的應用.

1. 教學內容解析

  斐波那契數列是人教A版選擇性必修第二冊數列第一節《數列的概念》后“閱讀與思考”，在等差數列和等比數列之前，意在拓寬學生視野，幫助學生了解數學文化，激發學生學習數學的興趣.
閱讀材料中以兔子繁殖問題創設情境，分析其中的數量關系，得到斐波那契數列，并由具體到抽象，研究了這一數列的遞推公式. 與上一版本教科書中內容相比，新教材增加了斐波那契數列的性質. 事實上，斐波那契數列有很多有趣的性質，這也是這個數列有廣泛應用的原因. 教材介紹了斐波那契數列的前n+1項滿足的一個等式，這個等式可以用圖形直觀地表示出來，還可以由此得到“斐波那契螺旋”，這個螺旋在項數n不斷增大時越來越接近“黃金比例螺旋”，這體現了數學美，讓學生體會數形結合的數學思想. 在研究斐波那契數列性質時通過代數運算導出黃金分割數，初中階段黃金分割是從比例線段、一元二次方程引入的，這反映了數學的統一性.在研究斐波那契數列性質時，讓學生感受“觀察——歸納——猜想”的過程，體會從特殊到一般的數學思想. 通過欣賞斐波那契數列和黃金分割的應用，讓學生對美的感受能夠從感性走向理性，在形象思維的基礎上增強理性思維能力.
 基于以上分析，確定本節課的教學重點：認識斐波那契數列，發現斐波那契螺旋，代數運算導出黃金分割數.
 

• 教學目標設置

1. 目標

1. 了解斐波那契數列及其遞推公式；
2. 理解斐波那契數列的部分性質，了解斐波那契數列與黃金分割數的關系，了解斐波那契螺旋的發現過程；
3. 欣賞黃金分割在研究自然規律、藝術創作等跨學科研究中的應用.

2、目標解析
達成上述目標的標志是：

1. 學生通過對兔子繁殖問題的討論，認識斐波那契數列并能歸納出斐波那契數列的遞推公式，體會從具體到抽象的過程，發展數學抽象素養；
2. 學生通過計算，能歸納出斐波那契數列的部分性質，能通過代數運算得到黃金分割數，體會“觀察——歸納——猜想——驗證”的過程，感悟特殊到一般的思想，發展邏輯推理、數學運算素養；
3. 學生通過經歷發現“斐波那契螺旋”的過程，體會數形結合思想；
4. 學生通過查閱資料，能了解到斐波那契數列以及黃金分割的廣泛應用，體會數學美，認識數學的應用價值和審美價值.

 

• 學生學情分析

學生已經學習了數列的概念，會通過觀察得到簡單數列的通項公式或遞推公式，會通過數列的通項公式和遞推公式求數列的某一項. 高二的學生已經具備了一定的運算能力、動手操作能力和分析問題的能力，也會簡單操作Excel軟件和幾何畫板軟件.
學習本節內容需要學生通過計算、觀察、總結規律并歸納出結果，需要學生具備一定的抽象概括能力. 但學生的抽象概括能力和提煉總結意識較弱，課堂上教師可通過“問題串”的形式引導學生觀察發現和歸納總結. 學習本節內容時學生還沒有學習累加法和數學歸納法等，所以對斐波那契數列的性質只能采用歸納的方法，無法給予嚴格證明.
基于以上分析，確定本節課的教學難點是：觀察、分析、歸納斐波那契數列的部分性質.
 

• 教學策略分析

本節課共設計課堂上四個活動、課后一個活動，總計五個數學活動，分別是尋找數列、計算找性質、探究數學美、計算找規律、查閱資料成果匯報. 通過數學活動結合幾何畫板軟件、Excel軟件幫助學生攻克本節課重難點.
“尋找數列”的活動中設計兔子繁殖問題引入斐波那契數列，目的是展示數學知識生成的文化背景，使學生了解數學史的知識，感受數學文化，體會其中蘊含的趣味性、文化性和思想性. 這個環節里學生對大量的數據不敏感，少部分學生能夠很準確地發現數據之間的聯系，故這里采用了引導性教學手段. 將問題拆分成三個部分完成，先讓學生分析討論1至5月的兔子數目，再尋找6-10月的兔子數目，最后思考如何得到第50個月兔子總數. 讓學生經歷從單純的“數”到尋找相鄰兩個月兔子數目規律，最后抽象成數列問題的過程，體會數學抽象的過程，降低大部分學生課堂上認知的難度，發展數學抽象素養.
“計算找性質”和“計算找規律”的兩個活動中均設置計算題，預計學生能準確計算結果，但學生往往不注重歸納，故通過“問題串”引導學生發現規律，讓學生經歷從觀察到歸納的過程. 以學生目前知識水平沒有辦法嚴格證明學生歸納出的結果，故增加了用Excel軟件驗證的過程和數學史知識. 發展學生的邏輯推理和數學運算素養.
“探究數學美”的環節設置了拼圖游戲，此游戲用了卡紙和幾何畫板軟件，目的是讓課堂上所有學生都可以動手實際操作，感受發現美的過程，增加課堂趣味性，提高學生數形結合的能力.
斐波那契數列與大自然的聯系、黃金分割在各學科領域的廣泛應用都需要查閱資料了解，學生自己查找會有更深刻的印象和感受，故設計成課后活動，學生以小組形式查閱資料，再集中匯報成果. 這可以有效的反饋學生課堂上的學習情況.
 
五、教學過程
引導語：有人說，大自然是懂數學的，樹木的分杈、花瓣的數量、植物種子的排列都遵循了某種數學規律. 這個數學規律與一個數列有著密切的聯系.我們一起來尋找這個神奇的數列.
【活動一】尋找數列
《兔子繁殖問題》
如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子. 假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？
問題1：請同學們結合表格，算一算前5個月每月每一類兔子的對數.
師生活動：分小組計算討論，填寫表格. 老師追問以下問題：
（1）表格中6-10月的數據是多少呢？
（2）第50個月的兔子數要這么一直列表格算下去嗎？根據我們所學的數學知識，該如何研究這個問題？能否將它轉化成一個數學問題？
（3）什么是數列？
（4）對于該數列，應該如何求第50項？請同學們小組討論，尋找解決問題的方法.
師生活動：通過分析前5個月兔子數目之間的規律，完成表格中6-10月的數據，再引導學生將問題轉化為數列問題，估計學生可能會想到通過數列的通項公式來求第50項，但該數列的通項公式不容易觀察得出。故引導學生尋找數列的遞推公式，當知道數列首項或前幾項，以及遞推公式時，也可以求出數列的每一項.
學生回答：記數列的第n項為，則

教師指出：這個數列可以認為是由遞推公式給出的.兔子繁殖問題是1202年意大利數學家斐波那契在《算盤全書》中提出的，故這個數列稱為斐波那契數列，其中的每一個數是斐波那契數.
設計意圖：通過兔子繁殖問題引入斐波那契數列，引導學生將實際問題轉化成數學問題中的數列問題，讓學生體會數學抽象的過程.同時展示了數學知識生成的文化背景，使學生了解數學史的知識，感受數學文化，體會其中蘊含的趣味性、文化性和思想性.
 
斐波那契數列有很多有趣的性質，我們通過計算來發現它的一些性質.
【活動二】計算找性質
計算：

問題2：這些式子的和可以用斐波那契數表示嗎？
師生活動：學生計算出以上式子的結果，小組討論將計算結果用斐波那契數表示出來.
追問：根據這六個式子的規律，你可以歸納出一般情況嗎？
師生活動：學生通過觀察，歸納得出，教師指出斐波那契數列的這條性質可以在同學們學習了累加法或者數學歸納法之后證明.
設計意圖：讓學生經歷“觀察——歸納——猜想”的數學發現、發展過程.
 
【活動三】探究數學美
問題3：這個性質也可以用圖形來表示，請同學試一試用圖形表示
. 首先思考該借助什么圖形表示這個等式.
師生活動：通過觀察式子的結構特征，引導同學們從面積的角度出發，小組討論，動手操作.
請4個小組同學上黑板展示成果，教師追問以下問題：
（1）為什么這個圖形可以表示等式“”
（2）你可以在圖形中找到其余式子的圖形表示嗎？
師生活動：請同學結合圖形指出其余式子的圖形表示
設計意圖：用圖形表示等式，讓學生體會數與形的完美結合.通過對其他幾個式子的圖形表示的描述，讓學生了解這個性質中對n取任意正整數都是可以找到對應的圖形表示.描述的過程中引導學生關注到圖形中所構成的所有長方形的寬與長都是斐波那契數列中相鄰兩項，為下一個活動做準備.
 
問題4：如果在每個正方形內做四分之一的圓弧，在原有圖形的基礎上，能使得這些弧線連成一條連續的螺旋線嗎？
師生活動：學生操作，拼出螺旋線
教師指出：圖形中的正方形都是以斐波那契數為邊長的，因此這條優美的螺旋線稱為“斐波那契螺旋”.如果我們在圖中不斷增加邊長是斐波那契數的正方形，那么“斐波那契螺旋”也將不斷向外延伸.
設計意圖：讓學生經歷發現美的過程，體會數學美.
 
在上一個活動中我們找到了圖形中的長方形，這些長方形的寬與長均是斐波那契數列的相鄰兩項，那他們的比值有什么規律呢？
【活動四】計算找規律
計算：（結果保留到小數點后三位）
問題5：根據計算結果，你認為斐波那契數列中的值有什么規律？
師生活動：學生計算，尋找規律:當n值增大，接近0.618；利用計算機Excel軟件，驗證大家的猜想.
教師指出：其實早在1611年著名的天文學家開普勒就指出了斐波那契數列的這一性質.可見斐波那契數列與黃金分割有著密切的聯系.
設計意圖：讓學生通過代數運算研究斐波那數列的性質，在研究性質中發現黃金分割數，讓學生經歷“觀察——猜想——驗證”的過程.培養學生數學計算能力.
 
問題6: 0.618這是一個神奇的數字，同學們還記得它嗎？請一位同學帶著大家一起回憶初中學習的黃金分割和黃金分割數
追問：如果一個長方形的寬與長之比為黃金分割數，那這個長方形叫什么？
師生活動：學生回答“黃金分割數”，復習黃金分割的概念、黃金分割數的求法以及黃金矩形的概念.
教師指出：回到前面的圖形上，如果我們在圖中不斷增加邊長是斐波那契數的正方形，構造出的矩形寬與長比就越來越接近黃金分割數，故不斷延伸的“斐波那契螺旋”的形狀將越來越接近“黃金比例螺旋”.
設計意圖：通過復習黃金分割（數）讓學生理解斐波那契螺旋線的形狀只是接近黃金比例螺旋，初步體會極限的數學思想.
 
【結束語】
這節課我們通過分析兔子繁殖問題認識了斐波那契數列，通過計算發現了該數列的兩條性質和黃金分割數，發現了一條優美的螺旋線“斐波那契螺旋”.
在本節課的開頭所提到的樹木的分杈、花瓣的數量、植物種子的排列與斐波那契數列之間有怎樣的聯系呢？黃金分割在研究自然規律、藝術創作等跨學科研究中有廣泛應用，請同學課后查閱資料.以小組的形成匯報活動成果.
 
六、課后活動安排
1、查閱資料，尋找樹木的分杈、花瓣的數量、植物種子的排列與斐波那契數列之間的聯系；
2、查閱資料，欣賞黃金分割在研究自然規律、藝術創作等跨學科研究中的應用.
 
 
 
 

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