視頻標(biāo)簽：立體幾何中的平行問題

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版必修二第一章專題立體幾何中的平行問題_內(nèi)蒙古省級優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教B版必修二第一章專題立體幾何中的平行問題_內(nèi)蒙古省級優(yōu)課

專題   立體幾何中的平行問題 
（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教B版--必修2） 
 
Ⅰ、三維目標(biāo) 
1.知識與技能： 
（1）掌握線線，線面，面面平行的證明方法。 
（2）綜合運(yùn)用直線與平面，平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理解決空間中的平行問題。 
（3）會根據(jù)題意構(gòu)造輔助線將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 2．過程與方法：  
采用啟發(fā)式，引導(dǎo)式，參與式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法。通過層層遞進(jìn)的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和探究。加強(qiáng)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。在學(xué)生遇到問題時，適時指導(dǎo)，講解，讓學(xué)生體驗問題解決的思維過程，歸納總結(jié)常用方法。 3.情感、態(tài)度與價值觀： 
培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力和空間想象能力，以及培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)能力和“言之有理”的邏輯思維習(xí)慣。 Ⅱ、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)： 
重點(diǎn)：直線與平面，平面與平面平行的判定定理，性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用。 
難點(diǎn)：構(gòu)造輔助線將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 Ⅲ、課前預(yù)習(xí)內(nèi)容： 
      線面平行的判定定理和性質(zhì)定理 ，面面平行的判定定理和性 
定理。 Ⅳ、教學(xué)過程： 
一．點(diǎn)擊高考（近三年全國二卷（文數(shù))高考真題） 
1.（2019年17題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1. 
 
                    
             
                    
                             
2 
 
                                   
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（垂直問題） 
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐11EBBCC的體積．（體積問題） 2.(2018年19題）如圖，在三棱錐
中，
，
， 為
的中點(diǎn)．     （1）證明：平面；（垂直問題） 
    （2）若點(diǎn)在棱上，且
，求點(diǎn)到平面
的距離．（距
離問題） 
 
3.（2017年18題）如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,1
,2
ABBCADBAD
90.ABC 
（1）證明：直線BC∥平面PAD;（平行問題） 
（2）若△PCD的面積為27，求四棱錐PABCD的體積.（體積問題） 
 
                    
             
                    
                             
3 
圖(1) 
圖(2) 
 
通過近三年的高考題，我們看到高考中出現(xiàn)的頻率高的考點(diǎn)有平行問題，垂直問題，體積問題，距離問題。 今天我們來看平行問題： 二．例題講解 
例1: 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//DC,AB=6,DC=3,M是PA的中點(diǎn).求證:DM∥平面PBC. 
           
           
 
解：(法一)證明：(圖1）取PB中點(diǎn)N,連接MN,CN. 
在△PAB中,∵M(jìn)是PA的中點(diǎn),∴MN∥AB,且MN=3.又AB∥DC,且DC=3,∴MN//DC且MN=DC,∴四邊形MNCD為平行四邊形,∴DM//CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC. 
 
      
              
 
 
提問：上面我們應(yīng)用的是直線與平面平行的判定定理進(jìn)行的證明，還有沒有其它的方法？ 
(法二)證明:（圖2）取AB的中點(diǎn)E,連接ME,DE. 
在梯形ABCD中,BE//CD且BE=CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形, ∴DE∥BC.又DE ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在 △PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC, 又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME, ∴DM∥平面PBC. 
4 
提問：我們現(xiàn)在來回顧一下證明線面平行的方法，有哪些方法呢？             1. 線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。 
2.利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行。如果兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。 
下面我們來看一下線線平行，線面平行，面面平行的關(guān)系： 
   
      
    
提問:通過上圖我們看到：證明線面平行有兩個方向。一個是線面平行的判定定理，一個是面面平行的性質(zhì)定理。線面平行是把立體幾何中的平行問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行問題的中轉(zhuǎn)站。兩種方法的實質(zhì)是證明線與線平行，那么證明線線平行有哪些方法？ 1.轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行問題。常用的方法有利用平行四邊形的性質(zhì)，利用三角形中位線定理,平行線的傳遞性，還可以用同位角或同旁內(nèi)角進(jìn)行證明。 
2.從上圖中我們看到，證明線線平行還可以用線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的性質(zhì)定理。 
（1）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩個平面的交線平行。 
（2）面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 
3.還可以轉(zhuǎn)化為垂直于同一平面的兩條直線平行，兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例（課本46頁例5）。 下面我們來看這道例題; 例2.如圖（1），在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是CC1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:平面PMN∥平面A1BD. 
                             
線線平行 
線面平行 
面面平行 
判定定理 
性質(zhì)定理 
判定定理 
性質(zhì)定理 
性質(zhì)定理 
判定定理 
              
  證明：（圖2）連接B1D1,B1C. 
∵N,P分別是B1C1,C1D1的中點(diǎn),∴PN∥B1D1.∵B1D1∥BD,∴PN∥BD.  又PN ⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,PN⊂平面PMN,MN⊂平面PMN,∴平面PMN∥平面A1BD. 
 
提問：我們這道題是用面面平行的判定定理證明面面平行。在用面面平行的判定定理證明時，關(guān)鍵我們要注意哪點(diǎn)？ 
面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。 
兩直線相交，必須是兩相交直線同時與已知平面平行。它的實質(zhì)也是證明線線平行。 感悟再提升： 
我們歸納為：一個中心，就是以線線平行為中心，解決兩個問題，即證明線面平行，面面平行。一個主要方法。  
                
三．當(dāng)堂練習(xí)：1.如圖（1）,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G和直線AP作平面
GAP,平面GAP交直線BD于點(diǎn)H.求證:AP∥GH. 
一個中心 
以線線平行為中心 
解決兩個問題 
線面平行問題  面面平行問題 
主要方法 轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 
圖（1） 圖（2） 
    
       
  證明：（圖2）連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接MO. 
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點(diǎn),∵M(jìn)是PC的中點(diǎn), ∴MO∥PA.又∵M(jìn)O⊂平面BDM,PA ⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM. ∵平面GAP∩平面BDM=GH,PA⊂平面GAP,∴AP∥GH. 以上這道題是我們應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理證明線面平行。 
V.板書設(shè)計： 
專題   立體幾何中的平行問題 一.線線平行，線面平行，面面平行之間的關(guān)系 
 
  
二．常用方法 
三．例題板書（板書例1的證明過程) VI.課堂小結(jié)： 
這節(jié)課我們主要講了立體幾何中的平行問題，以線線平行為中心解決兩個問題，有幾個方法，一個注意點(diǎn)。即證明線面平行問題時，相交是關(guān)鍵。 
Ⅶ、作業(yè)布置： 1.如圖（1）所示的是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為平面ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),求證:OC∥平面A1B1C1. 
線線平行 
線面平行 面面平行 
判定定理 性質(zhì)定理 判定定理 性質(zhì)定理 
性質(zhì)定理 
判定定理 圖（1） 圖（2） 
                    
             
                    
                             
7 
圖（1） 
圖（2） 
圖（2） 
       
 
 
證明：如圖（2）,作OD∥AA1交A1B1于點(diǎn)D,連接C1D,則OD∥BB1∥CC1.因為O是AB的中點(diǎn),所以O(shè)D=1/2(AA1+BB1)=3=CC1,則四邊形ODC1C是平行四邊形,因此有OC∥C1D,又C1D⊂平面C1B1A1且OC ⊄平面C1B1A1,所以 OC∥平面A1B1C1. 
2.如圖(1),在四面體A-BCD中,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BDC。 
          
            
  
證明：如圖(2),取MD的中點(diǎn)F,連接QF,PF.因為M是AD中點(diǎn),所以AF=3FD.因為P是BM中點(diǎn),所以PF∥BD.又AQ=3QC且AF=3FD, 所以  
QF∥CD,因為PF∩QF=F,BD∩CD=D,所以平面PFQ∥平面BDC,       且PQ⊂ 平面PQF,所以PQ∥平面BDC。 3.作課本46頁例5. VⅢ.課后思考： 
下一節(jié)課我們將講授空間幾何中的垂直問題，大家可以類比這節(jié)課的內(nèi)容作一下復(fù)習(xí)整理。

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