視頻標(biāo)簽：祖暅原理

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》吉林省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》吉林省優(yōu)課

探索與發(fā)現(xiàn)   
祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積 
 
一、教學(xué)目標(biāo) 
1、介紹祖暅原理，運用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體體積公式，幫助學(xué)生掌握公式，運用公式解決實際問題。 
2、動畫演示由祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體體積公式的過程，動畫演示體積公式的正確性。 3、充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，輔助教學(xué)活動，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 二、學(xué)科素養(yǎng) 
理論來源于實踐需要，又對實踐具有指導(dǎo)作用 
通過實踐觀察，抽象幾何體，并通過對幾何體的現(xiàn)論研究，指導(dǎo)社會實踐，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維：即先將實物抽象成數(shù)學(xué)模型，進行理論研究，再用來指導(dǎo)實踐；通過對幾何圖形的觀察分析，進行必要的數(shù)學(xué)運算、培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和實踐能力；通過動畫演示，沖擊學(xué)生視覺，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣同時，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性能力，用數(shù)學(xué)眼光來觀察世界，以掌握知識，形成技能，掌握數(shù)學(xué)思想方法，形成各種能力。 
三、重點、難點： 
1、重點：運用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體的體積公式；應(yīng)用公式解決相關(guān)問題。 2、難點：對公式的理解掌握及靈活運用 四、教學(xué)過程： 導(dǎo)入：（動畫演示） 
當(dāng)今社會大氣污染現(xiàn)象己經(jīng)非常嚴(yán)重，污染區(qū)的人們時刻渴望著能呼吸到新鮮的空氣，如果我們有一天遇到好的空氣資源，用某種容器把空氣收集起來，制成空氣罐頭，人們就可以隨時隨地呼吸到新鮮的空氣。而制造這種容器，我們即要考慮人的肺活量，還要考慮是否攜帶方便。所以就要考慮容器的容積，也就是所盛裝物體的體積問題。我們都知道，求物體的體積問題，是日常生活和生產(chǎn)實踐中的一個常見問題。比如：計算容器的容積以了解所盛物體的體積；生產(chǎn)機器零部件所需原料的體積；機械工程鑄造零件、工程建筑所需原料的多少等等問題。 
這堂課，我們利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體的體積公式。 （動畫演示祖暅原理） 1、祖暅原理 
祖暅 ，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣人，南北朝時代的偉大科學(xué)家。在數(shù)學(xué)上有突出貢獻，他在實
 
                    
             
                    
                            踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出下面的體積計算原理： 
祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。“勢”即是高，“冪”是面積。意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。 
祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。 
（動畫演示） 2、柱體和錐體的體積 
設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一個平面內(nèi)。根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長方體的體積等于它的底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式 
V柱體=Sh 
其中S是柱體的底面積，h是柱體的高。 
設(shè)有底面面積是S，高都等于h的兩個錐體，使它們的底面在同一平面內(nèi)。根據(jù)祖暅原理，可推導(dǎo)出它們的體積相等。 
事實上，對于一個任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么它的體積應(yīng)等于一個底面積為S，高為h的三棱錐的體積，即這個錐體的體積為 
V錐體=1/3 Sh 
（動畫演示） 3、球體的體積 
取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一個水平面上，用任意平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面。 
設(shè)截面與底面的距離為L，截半球所得圓面的半徑為R，設(shè)截面面積為S1則r2=R2—L2 ，于是截面面積為 
 S1= 
=
(R2—L2) = 
R2—
L2. 
由上述可知：圓環(huán)大圓半徑為R,小圓半徑為L,設(shè)其面積為S2，則S2=
 R2—
L2. 
所以，S1= S2。截面面積相等，根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等。即 
1/2V球=
R3—1/3 
R3= 2/3 
R3 
所以球的體積 
V球=4/3 
R3. 例1、（動畫演示）在一個底面面積為S，高為h的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底面，頂點在下底面圓心上的圓錐，求剩下部分的幾何體的體積。 
例2、（動畫演示）將一個長方體沿相鄰三人面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的
 
                    
             
                    
                            體積與剩下的幾何體體積的比。 
例3、（圖片）己知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。 求證：球的體積等于圓柱體積的2／3; 
例4、（動畫演示）己知一個球的內(nèi)接正方體的棱長為2，求球的體積。 
思考題：己知一個半徑為R半球內(nèi)，有一個內(nèi)接正六棱錐，棱錐底面在切面的大圓上，求六棱錐的體積。 
小結(jié)：（動畫演示）這堂課我們利用祖暅分別推導(dǎo)出了柱體、錐體還有球體的體積公式。前題是我們知道長方體的體積公式，然后由長方體的體積公式和祖暅原理，推出了一般柱體的體積公式，接著又根據(jù)三棱柱的體積公式，推出了三棱錐的體積公式；接著用祖暅原理推出了一般錐體的體積公式，然后又利用圓柱體和圓錐體的體積公式推出了球體的體積公式。 
利用本節(jié)課學(xué)到的知識，我們我們己經(jīng)可以計算一些呈幾何體形狀的物體的體積或容器的容積，比如我們前面提到的制做空氣罐頭的容器的容積。一個容器如果能分割成多個比較規(guī)范的幾何體，可以分別求各個幾何體體積然后再求它們的和。便可求得整個容器的容積，也就是所能裝物體的體積；如果容器不規(guī)范，我們可以用實驗去驗證它的容積。 
課后作業(yè) 
教材《復(fù)習(xí)參考題》B組1、2、4題。

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