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視頻課題：高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》寧夏 - 銀川市

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高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》寧夏 - 銀川市

祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積  
一、 祖暅原理 
為了求一般柱體、錐體的體積，我們簡要介紹一下祖暅（gèng）原理. 
祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣（今河北省淶源縣）人，南北朝時代的偉大科學家.祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等. 
祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個屏幕的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等. 
如圖1，夾在平行平面間的兩個幾何體（它們的形狀可以不同），被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面（陰影部分）的面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等. 
這個原理是非常淺顯易懂的.例如，取一摞紙堆放在桌面上組成一個幾何體（圖2），將她改變一下形狀，這個幾何體形狀發生了改變，得到了另一個幾何體，但兩個幾何體的高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而兩個幾何體的體積相等.利用這個原理和長方體體積公式，我們能夠求出柱體、錐體、臺體和球體的體積. 
祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數學家早一千多年.在歐洲直到17世紀，才有意大利數學家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述結論. 
 
二、柱體與錐體的體積 
下面我們用祖暅原理推導柱體和錐體的體積公式. 
設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使他們的下底面在同一平面內（圖3）.根
據祖暅原理，可知它們的體積相等.由于長方體的體積等于它的
底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式 
VSh柱體 
其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.  
設有底面積都等于S，高都等于h的兩個錐體（例如一個棱錐和一個圓錐），使它們的地面在同一個平面內（圖4）.根據祖暅原理，可推導出它們的體積相等.這就是說，等底面積等高的兩個錐體的體積相等. 
如圖5，設三棱柱ABCABC的底面積（即ABC的面積）為S，高（即點A到平面ABC的距離）為h，則它的體積為Sh.沿平面ABC和平面ABC，將這個三棱柱分割成3個三棱錐.其中三棱錐1、2的底面積相等（AABABBSS），高也相等（點C到平面ABBA的距離）；三棱錐2、3也有相等的底面積（BBCBCCSS）和相等的高（點A到平面BCCB的距離）.因此，這三個三棱錐的體積相等，每個三棱錐的體積是Sh1
3
. 
圖3
                    
             
                    
                            三棱錐AABC（即三棱錐1）如果以ABC為底，那么它的底面積是S，高是h，而它的體積是Sh13
.這說明三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一. 
事實上，對于一個任意的錐體，設它的底面積為S，高為h，那么它的體積應等于一個底面積為S，高為h的三棱錐的體積，即這個錐體的體積為=
VSh錐體13
 這就是錐體的體積公式. 
柱體和錐體是兩種基本幾何體，它們的體積公式有著廣泛的應用.  三、球體的體積 
先來研究半球（半徑為R）的體積計算.為了應用祖暅原理，我們需要找到一個能夠求體積的，使它和半球高度一樣，并且用任何一個水平面去截它們時，得到的截面面積都相等的幾何體. 
如圖6（1），設平行于大圓且與大圓的距離為
l
的平面截半球所得圓面的半徑為r，
rRr22
，于是截面面積
ππ()ππSrRlRl222221.S1可以看成是在半
徑為R的圓面上挖去一個半徑為l
的同心圓，所得圓環的面積. 
為此，我們取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上（圖6（2））. 
用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環面.有上述可知： 
圓環大圓半徑為R，小圓半徑為
l
，面積πππ()SRlRl22222.所以，
SS12.根據祖暅原理，這兩個幾何體體積相等.即 
πππVRRRRR223112
233
球 所以球的體積   πVR34
3
球 
根據祖暅原理求幾何體的體積，關鍵是找出一個滿足條件的能夠求出體積的幾何體. 

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