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視頻標簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》河北
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高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》河北定州中學
“祖暅原理與柱、錐、臺、球體的體積”的教學設計
教材：人教版高中數學必修2第二章
一．教材內容分析：
高中數學新課程標準提倡數學探究和數學文化,要求“數學文化應盡可能有機地結合高中數學課程內容,選擇介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物”.祖暅原理是我國傳統數學的一個非常重要的成就.為了使學生受到優秀傳統數學文化的熏陶、培養學生的探究能力,高中數學新教材安排了“探究與發現祖原理與柱體、錐體、球體的體積”這樣一個研究性專題.本課教學的主要內容是通過“祖暅原理”推導柱、錐、臺體及球的體積計算公式及應用。由于學生對長方體的體積計算公式已經比較熟悉，因此教學時可結合長方體體積計算公式及祖暅原理類比推導柱體的體積計算公式，并通過分析柱體、錐體、臺體空間結構的內在聯系，讓學生感受柱
體、錐體、臺體、球體的體積之間的關系，體會“數”與“形”的完美結合。 二、學生學情分析
對于高一的學生，在初中階段學習過正方體,長方體的體積公式,在前兩節中學習了棱柱、棱錐、棱臺等多面體和圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉體，對空間幾何體有了初步的認識。具備了初步的空間想象能力。另外，經過一年的學習，小組合作探究的學習模式在本班已經比較成熟，不足之處是缺乏對公式的推導能力和探究能力。 三、教學目標：
1、知識與技能：
（1）、了解錐體的體積可以通過柱體的體積求得，臺體的體積可以通過錐體的體積獲得； （2）、了解球的體積公式；
（3）、理解球的面積公式及探求球面積的“積分”思想，通過“準棱錐”的介紹，讓學生體會“無窮”、“極限”的思想；
（4）、能運用公式求解有關體積計算問題。
2、過程與方法：通過探究、思考、抽象，培養學生空間想象能力、理性思維能力以及觀察能力。
3、情感、態度、價值觀：
（1）、通過“祖暅原理”的介紹培養學生的愛國熱情和民族自豪感；
（2）、通過柱、錐、臺體體積公式的推導，進一步使學生明確數學概念的來龍去脈，體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性以及數學中的和諧美。 四、教學重點、難點：
1、教學重點：柱、錐、臺、球體的體積公式推導及其應用；
2、教學難點：（1）、柱、錐、臺體積之間的聯系； （2）、球體積與表面積的推導過程； 五、教學準備：多媒體課件，實物模型
六、教學過程：
教師活動
學生活動
設計意圖 [問題引入]
金字塔，水立方圖片展示，引出本節知識內容。 [問題一]：如果一個長方體的長、寬、高分別是a、b、c，那么它的體積是什么？
能否用另外一種形式來表示長方體的體積呢？
[問題二]：桌面上放有一堆書，改變一下形狀，底面積和高有沒有改變？
如果用一個平行于水平面的平面去截這堆書，這些水平截面的面積有什么關系？ 體積有沒有改變？
猜想：滿足怎樣條件的兩個幾何體的體積相等？
[介紹“祖暅原理”] （板書）
我國早在公元前5-6世紀，祖沖之的兒子祖暅就提出一條原理：“冪勢既同，則積不容異”，這里“冪”就是指水平截面的面積，“勢”指高，這句話的意思就是說：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。祖暅不僅首次明確提出這一原理，還成功的將其應用于球體積的推算，我們把這條原理稱為“祖暅原理”。祖暅原理在西方文獻中稱為“卡瓦列利原理”，它是由意大利數學家卡瓦列利提出的，比祖暅提出要晚1100多年。（情感）
長方體的體積公式和祖暅原理是計算其他幾何體的基礎，下面我們就以這兩個知識作為已知的事實來探究柱體、錐體、臺體和球體的體積。（板書）
[合作探究]
探究一、柱體的體積計算公式 [問題三]：兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓
（討論回答）沒有
處處相等 沒有
思考，嘗試回答）
1、回顧長方體的體積公式，為后面求柱體的體積作好鋪墊；
實物演示，讓學生直觀感知 2、引出“祖暅原理”，并通過介紹“祖暅原理”，激發學生的愛國熱情和民族自豪感，也為求空間幾何體體積作好鋪墊 使用“祖暅原理”
柱）的體積之間有怎樣的關系呢？為什么？
（教師演示棱柱、圓柱的形成過程）
[問題四]：長方體的體積計算公式能否推廣到一般的棱柱（圓柱）體積的計算呢？
[小結1]、柱體的體積計算公式：
[說明]：對直棱柱而言，高就等于側棱長，斜棱柱則不是。
探究二、錐體的體積計算公式 [問題五]：兩個底面積相等、高也相等的棱錐（圓錐）的體積之間有怎樣的關系呢？為什么？ （演示水平截面的特征）
【問題六】：你能找出三棱錐和與它同底等高的三棱柱體積之間的聯系嗎？
（演示把一個三棱柱分成三個體積相等的棱錐的過程，引出棱錐的體積計算公式）
[小結2]：錐體的體積計算公式：
探究三、臺體體積的計算公式
[問題7]：你能根據錐體的體積計算公式推導臺體的體積計算公式嗎？ （引導） [小結3]：
（學生討論回答）
棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，水平截面與底面是全等的多邊形（圓），當底面積相等時，水平截面的面積也相等，符合祖暅原理，因此他們的體積相等。 可以，只要使長方體的高與底面積分別與他們相等就可以了。
（學生討論）
符合祖暅原理，所以他們的體積相等。
（學生討論，得出關系）
小組合作探究
學生代表展示討論結果 解釋體積的關系
幾何畫板演示,形象直觀的演示截面面積相等
體現從特殊到一般的思想方法
幾何畫板演示,形象直觀的演示截面面積相等
體現柱體和錐體體積之間的聯系
[問題8]：柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？
（當臺體的上底面不斷變大，趨向下底面時，幾何體就逐漸趨向柱體，當面積相等時，量變
引起質變，幾何體就成為了柱體，在公式上反映了他們之間的內在統一；臺體到錐體同樣可
得）
學以致用
例1：如圖，在長方體 DCBAABCD中，截下一個棱錐 DDAC,求棱錐的體積與剩余部分的體積之比。
探究四、球體積的計算公式 [問題9]：一個底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積有什么關系？
（引導注意水平截面的形狀，怎樣計算水平截面的面積） 你能從中得到球體積的計算公式嗎？ [小結4]：
[學以致用] 例、下圖是一個獎杯的三視圖(單位:cm),試講出它由那些幾何體構成,并計算這個獎杯的體積(精確到0.01cm)。
（生討論，得出如下結論）
學生練習,板演,展示學習效果
水平截面分別是圓環和小圓
，
所以
體現錐體和臺體體積之間的聯系
體現數學的和諧與統一，體會數學美以及極限思想
練習鞏固柱體,錐體的提及體積公式以及割補思想,換底思想,檢驗學生學習效果
提高運用所學知識解決問題的能力
所以這個獎杯的體積為
[回顧反思]
1、本節課我們主要學習了哪些知識？
2、還記得我們推導這些公式的原理嗎？
祖暅從身邊的數學中得到啟發，通過長期的觀察、思考、實踐，取得了重大的成就。
只要你多留心身邊的數學，只要你敢于大膽的去探究、嘗試，你必定會獲得巨大的收
反思提升：
多面體和圓柱，圓錐，圓臺的表面積我們可以用展開幾何體的方式得到，球能展開嗎？你能否用我們今天學到的球的體積公式得到球的表面積公式呢？
畫出獎杯的水平直觀圖
并計算體積
柱體、錐體、臺體和球體的體積計算公式
化歸思想、極限思想.
課下思考,解決問題
組合體的體積計算
總合運用所學知識解決問題
回顧本節課內容，鞏固知識，啟發學生貼近生活，留心身邊的數學問題
拓展知識,開拓思維
七、板書設計：
空間幾何體的體積
祖暅原理：冪勢既同，則積不容異
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