視頻標簽：任意角的正弦函數(shù),余弦函數(shù)的定義

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義_安徽省 - 阜陽

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北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義_安徽省 - 阜陽

教學目標
1.知識與技能:
借助單位圓認識和理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義。
2.過程與方法:
在借助單位圓認識任意角三角函數(shù)的定義的過程中,體會數(shù)形結合的思想,并利用這一思想解決有關定義應用的問題.
3.情感態(tài)度與價值觀
通過本節(jié)的學習,使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的,體會轉(zhuǎn)化思想。
2學情分析
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在初中,學生已學過銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應邊長的比值.在此基礎上,隨著本章將角的概念推廣,以及引入弧度制后,這里相應地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù).任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集(角的弧度數(shù)構成的集合)到另一個實數(shù)集(角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合)的對應關系,認識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助,這中間體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù),它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學模型,不僅在高中數(shù)學中有廣泛的應用,而且在其他領域中也具有廣泛的應用.而任意角三角函數(shù)的概念又是整個三角函數(shù)內(nèi)容的基礎,所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念,同時在高中數(shù)學中還占有重要的地位.本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開,任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點,能夠利用單位圓認識該定義是解決教學重點的關鍵.
3重點難點
重點: 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號);
難點: 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學目標
1.知識與技能:
借助單位圓認識和理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義。
2.過程與方法:
在借助單位圓認識任意角三角函數(shù)的定義的過程中,體會數(shù)形結合的思想,并利用這一思想解決有關定義應用的問題.
3.情感態(tài)度與價值觀
通過本節(jié)的學習,使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的,體會轉(zhuǎn)化思想。
4.1.2學時重點
重點: 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號);
 
 
4.1.3學時難點
難點: 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4.1.4教學活動
活動1【活動】1、創(chuàng)設情境，提出問題
1、創(chuàng)設情境,提出問題
我們知道,在日常生活中,到處都有圓周運動的現(xiàn)象,如鐘表的旋轉(zhuǎn)、車輪的轉(zhuǎn)動等.而函數(shù)是研究現(xiàn)實生活中變量之間具有依存關系的一種手段和方法,那么,針對具有周而復始現(xiàn)象的圓周運動,我們該選用什么樣的函數(shù)模型刻畫它呢?
 
活動2【導入】2、思考交流，認識本質(zhì)
(幾何畫板動畫演示)設質(zhì)點P繞坐標原點O做圓周運動,連接OP形成射線,點P在轉(zhuǎn)動的過程中,射線OP隨之旋轉(zhuǎn)形成了角,那么刻畫圓周運動的函數(shù)模型就一定會與角有密切的聯(lián)系.在大家已有的知識儲備中,哪一個函數(shù)模型與角有關系?
問題1:初中的銳角三角函數(shù)是如何定義的?
【設計意圖:溫故知新,為新定義尋找知識的生成點】
通過上節(jié)課的學習,角的范圍已拓展到任意角,很顯然,再借助直角三角形定義任意角的三角函數(shù)已不可能,那么,該如何定義任意角的三角函數(shù)呢?(書寫課題:單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(第一課時))
前面的學習中,我們都是借助直角坐標系認識角的,請思考下面的
問題2:怎樣把直角三角形ABC放入直角坐標系符合我們研究角的習慣?
師:很好!請接著思考
問題3:把 放入如圖所示的坐標系,此時,直角邊長a,b,斜邊c有新的寓意嗎?
【設計意圖:換個角度認識銳角三角函數(shù),為用角 終邊上點的坐標定義三角函數(shù)埋下了伏筆】
 
       師:非常好!創(chuàng)新思維和發(fā)散思維的體現(xiàn)!也就是:
              
         
師:讓我們繼續(xù)下面的思考,
問題4:使用銳角 終邊上點B的坐標來定義銳角 的三角函數(shù),點B的位置選擇在哪兒呢?點B的位置選擇的差異,會改變給定的銳角 的三角函數(shù)值嗎?
問題5:既然點B位置選擇的差異,不會影響銳角 的三角函數(shù)值,為了簡潔地表述定義,能簡化上述表示嗎?
師:銳角 的正弦、余弦和正切可以進一步表示為:
                   
      
【設計意圖:培養(yǎng)學生的數(shù)學求簡意識,從“終邊定義法”自然過渡到 “單位圓定義法”】
師:請大家繼續(xù)思考
問題6:你能從函數(shù)的觀點,說明上述表示是函數(shù)嗎?
【設計意圖:既彌補了初中銳角三角函數(shù)對“函數(shù)性”解釋的缺失,又為“任意角的三角函數(shù)定義”的函數(shù)性解釋做了必要的鋪墊.】
活動3【活動】3、合作探究，升華認識
師:上述表示可以稱之為銳角三角函數(shù).現(xiàn)在我們對角的認識已經(jīng)擴大到了任意角范圍,
請大家思考下面的
問題7:用銳角 的終邊與單位圓的交點坐標定義的銳角三角函數(shù),能從銳角推廣到任意角嗎?說說你的理由.
(幾何畫板演示)
4.抽象概括,得出定義
師:既然大家都同意這種推廣,你能用自己的語言定義任意角的三角函數(shù)嗎?
    【設計意圖:用文字語言、圖形語言、符號語言分別描述數(shù)學概念,深入理解數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延,掌握概念的本質(zhì),在師生交流、反饋中去偽存真,完善定義.】
既然任意角的三角函數(shù)可以用坐標來表示,而坐標本身是有正負的,那么來思考一個問題,
問題8:如圖,當角 的終邊分別落在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限時,角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是正還是負?
 
 
 
 
 
 
歸納:由于角 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是用角 的終邊與單位圓的交點P的坐標 來定義的,因此,任一角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的符號,分別和該角與單位圓交點的縱坐標、橫坐標符號一致。
5、例題練習:
例1.在直角坐標系的單位圓中, ,
(1)畫出角
(2)求角 的終邊與單位圓的交點坐標。
(3)求角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。
(學生)歸納: 定義法解題步驟
第一步:根據(jù)條件畫出圖形
第二步:找到所求角的終邊
第三步:求出角終邊與單位圓的交點坐標
變式:已知角a的終邊在直線 上,求                                                 
   【設計意圖:考察學生是否知道找角終邊與單位圓的交點,深入理解任意角的概念,掌握概念的本質(zhì).】
思考:已知角a終邊上任一點P (x, y),如何求它的三角函數(shù)值呢?
活動4【講授】【課堂小結】
①通過本節(jié)課的學習,談談你有哪些收獲
②初中學習的銳角三角函數(shù)與今天定義的任意角的三角函數(shù)的區(qū)別是什么?
③為什么可以用今天學習的“任意角的三角函數(shù)”來刻畫圓周運動?
 

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