視頻標簽：任意角的正弦函數,余弦函數的定義

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視頻課題：北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義_陜西省優課

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北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義_陜西省優課

一、 教學目標 1. 知識與技能目標 
（1） 掌握任意角的正弦函數、余弦函數的單位圓定義與終邊義。 
（2） 理解三角函數siny,cosy。 
（3） 了解任意角的正弦函數、余弦函數定義產生的背景和應用。 2. 過程與方法目標 
（1） 通過從銳角三角形過渡為任意角的過程培養學生對知識的遷移以及合理猜想的
能力。 
（2） 培養學生分析、自主探索的能力以及數形結合的思想。 3、情感、態度、價值觀 
   在學習中感悟數學概念的合理性、嚴謹性、科學性，感悟數學的本質，培養追求真理的精神，提高學生分析、解決問題的能力。 二、 教學重難點 
重點：任意角三角函數的單位圓定義與終邊定義。 難點：由銳角三角函數推廣到任意角的三角函數。 重難點突破：先由學生們熟悉的銳角放在直角三角形中定義的方法引入在直角坐標系中
依然構造出直角三角形有2
2
siny
xy
，2
2
cosy
xx
，簡化式子令
122yx，引導同學們得出選取終邊與單位圓的交點并用該點表示角的三角函數值，
引導同學們猜測對于任意角，與單位圓交于),(vuP有sinv，cosu在單位圓定義的基礎上利用三角形的相似性得出終邊的定義。 三、 教學方法與教學手段 
啟發式教學法、討論法、合理猜測及多媒體與傳統教學相結合的方法。 
四、 教學方法 
（一） 問題引入 
問1：關于三角函數大家不陌生初中我們就接觸過銳角的正弦函數、余弦函數大家回憶一下它是怎么定義的？借助了什么幾何圖形？   
    斜邊
臨邊
斜邊
對邊


cbAcaAcossin                         
問2：我們學習了角的概念的推廣，通過推廣使角動了起來，同時把角的范圍突破了
3600---的界限，它可以是任意的角。那么

4cos4sin，  的值，是否可以
在直角三角形中定義？ 
（學生回答不可以，產生認知沖突） 引出課題：任意角的正弦函數、余弦函數的定義 （二） 探索新知 
問3：在學習角的概念推廣是把角放在哪個平臺進行研究?（學生答放在直角坐標系）    
C
BA
a
b
c
 
                    
             
                    
                            從最熟悉的銳角開始研究，把銳角放在直角 坐標系中研究如圖，使角的頂點放在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合。    
                                                     
   引導學生構造出包含角A在內的直角三角形（學生提出自己的想法）在終邊上任取一個不同于原點的點yxp,過點p作x軸的垂線交x軸與M 
                           yxp,                 2
2
sinyxyOPPMA
 
                                                   2
2
cosy
xxOP
OM
A
  
問4：在終邊上取得的點不同三角函數值是否也不同？（學生小組討論） 
                                           OP
OM
OQOFOPPMOGQFOQFOPMOQ
OF
AOGQFA

,~cos,sin 
教師引導學生得出結論終邊上點的位置不影響角的三角函數值，并引導學生探索選取怎樣的點可以使式子盡可能的簡單   可以令2
2sinyxyOP
PM
A
2
2cosyxxOP
OM
A
中的分母為1，即12
2yx。 
這是一個圓心在原點，半徑為1的圓.稱為單位圓。即所選取的點為角的終邊與單位圓的交點 
（三） 類比推理定義 銳角 
xOMOP
OMAy
PMOP
PM
A
cos
sin 
  
 
A A M A P 
Q 
M F 
    
 x
 y 
O

y
x,
                    
             
                    
                            對于其他的角                     
                                            無法構造出包含角a在內的直角三角形，
所以以點為突破口，猜想有 
                                             
sinvcosu 
     
帶領學生思考猜想的合理性：只要角確定了終邊與單位圓的交點就唯一確定，點的橫、縱 坐標就唯一確定，符合函數定義且和初中的定義不產生沖突，猜想合理。 正余弦函數的單位圓定義  
                                            在直角坐標系中，作以坐標原點為圓心的
單位圓 對于任意的角a，使a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，
終邊與單位圓交于唯一的點vup.把點
的縱坐標 v 定義為a的正弦函數，記為 
                                            avsin，把點的橫坐標u定義為a的余
弦函數，記為aucos。 
  
（四） 深化定義 
正弦函數avsin  定義域R,值域1,1，- 余弦函數aucos  定義域R,值域1,1，- 
前面接觸的一次函數、二次函數、指數函數、對數函數都是xfy型 正弦函數xysin 定義域R,值域1,1，- 余弦函數xycos 定義域R,值域1,1，- （五） 例題講解 例一：已知4


a，則aacos,sin的值？ 
 
                                分析只要求出點p的坐標，利用直角三角形的勾股 
定理，以及點的位置


22,22p  
x
 
y
 
O

vu,
 
x
 
y
 
O

vu,
 
x
 
y
 
O
 
                    
             
                    
                            22sin
a。2
2cosa 例二：已知任一角 a 終邊上任一點 yxQ, ，求角 a的正弦函數值，余弦函數值。  
                  
由前面單位圓定義分析得到，至于求得與單位圓的交點坐標即可 
OQQNOPPM2
21
sinyxy，
2
2sinyxy
22cosyxx
 
推廣出終邊定義2
2yxr令  r
y
yxya
2
2sin
r
xyxxa
2
2cos （六） 學生練習 
1.已知角a 終邊與單位圓的交點 


2321， 求 a  的正弦值與余弦值。 
2.已知角 a  終邊上一點Q

22,22，- 求 a 的正弦值與余弦值 
3.已知角a 終邊上一點Q4,3- 求a的正弦值與余弦值 4.已知a的終邊在 xy2 上，求角的正余弦函數值 （七）小結 
                        
 
x 
 
y 
 
O 

yx
, Q  P 

sin,cos N M 
                    
             
                    
                            1.正余弦函數單位圓的定義 
2.正余弦函數單位圓定義的推廣——終邊定義 3.角的三角函數值在各個象限的正負 4求角的三角函數值的習題 
    已知角終邊與單位圓的交點 
    已知角終邊上一點---------點為單位圓上的點    已知角終邊上一點----------點不是單位圓上的點    已知角的終邊在一條直線上 （七） 作業布置   P24  3.5.6

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