視頻標(biāo)簽：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》山東省淄博

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人教版A版（2019年版）高一必修1《4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》山東省淄博

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)第一課時(shí)
【教學(xué)設(shè)計(jì)】一、教材分析
本節(jié)內(nèi)容為人教版《普通高中教科書》A 版必修第一冊(cè)第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》第 5 節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用（二）》的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。這是一節(jié)概念課。
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈接點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程聯(lián)系在一起。方程本身就是函數(shù)的一部分，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究方程，就是將局部放入整體中研究，進(jìn)而對(duì)整體和局部都有一個(gè)更深層次的理解。
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，具備初步數(shù)形結(jié)合的能力基礎(chǔ)之上，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)來(lái)判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)奠定基礎(chǔ).因此本節(jié)課內(nèi)容具有承前啟后的作用，地位至關(guān)重要，從研究方法而言，零點(diǎn)概念的形成和零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)，符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力，也為數(shù)形結(jié)合思想提供了廣闊的平臺(tái)．二、學(xué)生分析：
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì),理解了函數(shù)圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系,尤其熟悉二次函數(shù),并且已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合思想,這為理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了直觀認(rèn)識(shí),并為判定零點(diǎn)是否存在和求出零點(diǎn)提供了支持;學(xué)生有一定的方程知識(shí)的基礎(chǔ),熟悉從特殊到一般的歸納方法,這為深入理解函數(shù)的零點(diǎn)及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系提供了依據(jù).但學(xué)生對(duì)于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)于綜合應(yīng)用函數(shù)圖象與性質(zhì)尚不夠熟練，這些都給學(xué)生在聯(lián)系函數(shù)與方程，發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的存在性事造成了一定的難度。又加上函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法表述較為抽象難以概括。因此教學(xué)中盡可能提供學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)中掌握知識(shí)與方法，充分利用學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象和一元二次方程通過(guò)直觀感受發(fā)現(xiàn)并歸納出函數(shù)零點(diǎn)的概念；在函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法的教學(xué)時(shí)應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的思維引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、計(jì)算、作圖、思考理解問(wèn)題的本質(zhì)。

• 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。

教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法。

• 目標(biāo)達(dá)成及數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系.理解并會(huì)用零點(diǎn)的存在性定理判定某區(qū)間上是否存在零點(diǎn)以及解決零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.
2.體會(huì)方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想.學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，提高創(chuàng)新能力。
3.在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過(guò)理解“方程的根與零點(diǎn)的關(guān)系”，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

4. 數(shù)學(xué)思想：方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、化歸思想
5. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)三、教學(xué)方法:類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法四、教學(xué)手段:媒體呈現(xiàn)生活素材輔助課堂教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程

• 設(shè)問(wèn)激疑--創(chuàng)設(shè)情境-新課引入

寫出下列方程的根：（1）2x²－3x－3=0   （2）2^x 3x7 0
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn):從學(xué)生較為熟悉的方程（一元一次、一元二次方程）出發(fā)，再提出稍微難一點(diǎn)的方程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到有些復(fù)雜的方程用以前的解題方法求解很不方便,需要尋求新的解決方法，讓學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲．

• 啟發(fā)引導(dǎo)，初步探究

【探究一】方程與函數(shù)的關(guān)系.
1.完成下表

方   程	x2 2x3 0	x2 2x1 0	x2 2x3 0
函   數(shù)	y  x2 2x3	y  x2 2x1	yx2 2x3
函數(shù)的圖象
方程的實(shí)數(shù)根
函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

問(wèn)題：上表中方程與相應(yīng)的函數(shù)有怎樣的關(guān)系?__________________
2.推廣到一般的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)：

判別式b24ac	0	0	0
方程ax2bxc0(a0)根的情況
函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象
函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

我們發(fā)現(xiàn)，方程有根即函數(shù)圖象______,方程的根就是函數(shù)圖象_______. 設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn):結(jié)合一次、二次函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，為理解函數(shù)的零點(diǎn)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系作準(zhǔn)備，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。把具體的結(jié)論推廣到一般情況,向?qū)W生滲透“從最簡(jiǎn)單、最熟悉的問(wèn)題入手解決較復(fù)雜問(wèn)題”的思維方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．由此的出結(jié)論: 二次函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。
【探究二】函數(shù)的零點(diǎn).
1.函數(shù) y=f(x)的零點(diǎn)概念：                                           
2.關(guān)系：方程 f(x)=0 有實(shí)數(shù)根Û ___________Û ___________
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，并與原有的知識(shí)形成聯(lián)系，利用方程與函數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，并滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
1
x
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：利用辨析練習(xí)，來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的理解．目的要學(xué)生明確零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)點(diǎn).
【探究三】函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.
問(wèn)題 1：方程2^x3x70的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)______________.
問(wèn) 題 2 ： 函 數(shù) f(x)2^x3x7在 區(qū) 間 [1,2] 上 ， f(1)=_______, f(2)=_______,
f(1)·f(2) ____0(<或>),因此函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)___（有或無(wú)）零點(diǎn).
問(wèn)題 3：

                                      圖 1                                 圖 2
觀察函數(shù)yf(x) 的圖象（圖 1），并回答:
f（a）·f（b）_____0（＜或＞），區(qū)間[a，b]上______(有/無(wú))零點(diǎn)；  觀察函數(shù)yf(x) 的圖象（圖 2），并回答:
f（a）·f（b）_____0（＜或＞），區(qū)間[a，b]上______(有/無(wú))零點(diǎn)；由前面三個(gè)問(wèn)題,函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上滿足什么條件，才能使函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定存在零點(diǎn)？
函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù) y＝f（x）              ，那么函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c ∈（a，b），使得 f
（c）=0，這個(gè) c 也就是方程 f（x）＝0 的根.
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：三個(gè)問(wèn)題從不同角度讓學(xué)生總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否與函數(shù)的圖像的關(guān)系；函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，為下面的函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的歸納做好鋪墊。同時(shí)，對(duì)定理中的注意事項(xiàng)用實(shí)際例子加以強(qiáng)調(diào)。
練習(xí) 2：

1. f(x)=x3+x-1 在下列哪個(gè)區(qū)間上一定有零點(diǎn)(         )

  A.(-2,-1)   B.(0,1)   C.(1,2)   D.(2,3)
2 f(x)lnx

2. 函數(shù)    ^x 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（         ）

  A.1,2      B.2,3              C.3,4         D.e,3
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：利用辨析練習(xí)，來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的理解，對(duì)定理中易錯(cuò)易混淆的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行辨析。
【探究四】定理的深化.
辨析 1． 若函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有 f（a）·f（b）<0 時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只有一個(gè)零點(diǎn)？畫圖說(shuō)明.
辨析 2． 若函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有 f（a）·f（b）<0 時(shí)，且       ，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).畫圖說(shuō)明.
辨析 3．如果函數(shù) y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有 f（a）·f（b）<0 嗎？畫圖說(shuō)明.
注意：1.___________; 2.___________; 3.___________.
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步對(duì)定理進(jìn)行深入挖掘，理解定理的內(nèi)涵，并對(duì)定理中的特別注意事項(xiàng)進(jìn)行辨析，已達(dá)到對(duì)定理的透徹掌握。

• 典例分析，拓展提高:

x
例 1：求函數(shù) f(x)2 3x7的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
法一：                               法二：
練習(xí) 3：求函數(shù)                  f(x)lnx2x6 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：回扣本節(jié)開(kāi)篇提出的疑問(wèn)，同時(shí)升華零點(diǎn)存在性定理的靈活應(yīng)用；一題多法既鞏固了本節(jié)課的內(nèi)容，又拓展了學(xué)生的知識(shí)面，對(duì)提高學(xué)生的解題能力有極大的幫助。

• 總結(jié)收獲，反思提高：

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲?
我學(xué)會(huì)了__________________________________________; 我能解決__________________________________________; 我領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)思想是________________________________.

• 作業(yè)布置：課本 155 頁(yè)習(xí)題 4.5 Ａ組  第 1、2、3 題設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：1、自主小結(jié)，使學(xué)生充分思考，結(jié)合自身情況對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行梳理，比教師小結(jié)，學(xué)生被動(dòng)接受效果要好.

2、作業(yè)的布置，尤其是思考作業(yè)的設(shè)置，使學(xué)生在完成過(guò)程中加深對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的理解.

• 簡(jiǎn)單介紹本節(jié)的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史-中外歷史上的方程求解

設(shè)計(jì)意圖及要點(diǎn)：數(shù)學(xué)科學(xué)具有悠久的歷史，與自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)更是積累性科學(xué)，其概念和方法更具有延續(xù)性，比如古代文明中形成的十進(jìn)位值制記數(shù)法和四則運(yùn)算法則，我們今天仍在使用，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)史材料可以在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究中獲得發(fā)展。數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)更主要是一門有著豐富的知識(shí)體系。數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化的主要力量。因而數(shù)學(xué)史是從一個(gè)側(cè)面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分。作為數(shù)學(xué)史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數(shù)理分析、比較研究等方法。
數(shù)學(xué)史研究既要遵循史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學(xué)史研究的特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真?zhèn)文�辨的情況下，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對(duì)古代數(shù)學(xué)與方法進(jìn)行數(shù)學(xué)原理分析，以達(dá)到正本清源、理論概括以及提出歷史假說(shuō)的目的。數(shù)理分析實(shí)際上是“古”與“今”間的一種聯(lián)系。

• 板書設(shè)計(jì)

主題：基本概念： 注意事項(xiàng)：

多媒體投影

例 1、 例 2、

學(xué)生板演

 

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