視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《弧度制》寧夏—李

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寧夏—李靜—設(shè)計—弧度制

弧度制
李 靜 （寧夏回族自治區(qū)寧夏育才中學(xué)）
一、教材分析
1.內(nèi)容
1弧度的概念、弧度與角度的換算、弧度制下的弧長公式與扇形面積公式.
2.內(nèi)容解析
（1）知識上下位：三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)，通過本章的學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生進(jìn)一步完善函數(shù)的知識體系，掌握研究函數(shù)的思想方法，學(xué)會用三角函數(shù)的相關(guān)知識構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題.本節(jié)課的主要內(nèi)容是弧度制的概念及角度制與弧度制的互化，弧度制的引入統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量與因變量的單位，建立了角的集合與實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
（2）思想方法：本節(jié)課在初中已有的扇形弧長與面積公式的基礎(chǔ)上，通過數(shù)形結(jié)合、類比歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想構(gòu)建了度量角的新的單位制——弧度制，并簡化了角度制下扇形的弧長與面積公式，進(jìn)一步完善了學(xué)生對角的度量制度的認(rèn)知體系，強(qiáng)化了創(chuàng)新意識與辯證思維，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
基于此，本節(jié)課的教學(xué)重點：弧度制的概念及弧度制與角度制的互化.
二、目標(biāo)及解析
1.課程目標(biāo)
了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.
2.課時目標(biāo)
（1）了解弧度制的概念，體會其引入的必要性與定義的合理性.
（2）能夠應(yīng)用弧度制度量角的大小.
（3）了解角度制與弧度制的內(nèi)在聯(lián)系，能進(jìn)行角度與弧度的互化，并簡化弧度制下扇形的弧長與面積公式.
3.課時目標(biāo)解析
（1）通過具體實例抽象出數(shù)學(xué)模型，體會弧度制引入的必要性，并結(jié)合初中扇形的弧長與面積公式，尋找影響角大小的幾何量，借助數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想從數(shù)、形兩個角度說明弧度制量角的合理性，經(jīng)歷“背景—定義（單位1）—換算—應(yīng)用”的探索過程，完成弧度制概念的建構(gòu)，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
（2）通過裁角、量角的過程感受1rad角的大小，體會以“單位1”為基準(zhǔn)進(jìn)行測量的度量本質(zhì)，并舉一反三強(qiáng)調(diào)角的旋轉(zhuǎn)方向，發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng).
（3）經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題”的探索過程，建立角度制與弧度制互化的橋梁，通過扇形弧長與面積公式的再推導(dǎo)對弧度制加以應(yīng)用，提高知識的綜合運用能力，深化角度制與弧度制的內(nèi)在聯(lián)系，在完善角度量認(rèn)知體系的同時，體會揭示相同事物本質(zhì)所用的辯證統(tǒng)一思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
三、學(xué)情分析
 1.認(rèn)知與能力基礎(chǔ)
（1）初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過角度制下扇形的弧長與面積公式，具有基本的識圖與運算能力.
（2）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了角度制及任意角的相關(guān)知識，有用不同單位進(jìn)行度量的生活經(jīng)驗，具備用量角器量角的能力，這為本節(jié)課弧度制概念的構(gòu)建提供了必要的知識儲備和能力保障.
2.可能面臨的困難
由于弧度制與角度制量角的本質(zhì)截然不同，所以理解弧度制“用線段的長度來量角”的度量本質(zhì)，需要有一定的批判思維和創(chuàng)造能力，這對學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性.
3.教學(xué)難點
基于此，本節(jié)課的教學(xué)難點：弧度制的生成與理解.
四、教學(xué)策略分析
本節(jié)課是概念課的教學(xué)典范.擬采用問題驅(qū)動、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)式教學(xué)方法來教，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)、自主探究、合作交流的探究式學(xué)習(xí)方法來學(xué)，并借助信息技術(shù)直觀展示動態(tài)圖象幫助學(xué)生感受弧度制量角的合理性.具體教學(xué)策略包括以下幾點：
1.合作探究
   本節(jié)課在裁角、量角、建立角度制與弧度制互化橋梁的環(huán)節(jié)，都給予學(xué)生動手實踐、交流討論的機(jī)會，只有充分激活了學(xué)生的思維，這節(jié)課的各環(huán)節(jié)才能順利推進(jìn)，內(nèi)容才會豐富充實，方法才會異彩紛呈.
2.問題驅(qū)動
本節(jié)課緊緊圍繞如何用卷尺量角、怎樣說明弧度制量角的合理性、如何定義1rad角的大小、怎樣建立角度制與弧度制互化的橋梁等問題展開，以“問題串”的方式引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象構(gòu)建弧度制的概念，符合知識地生成與發(fā)展規(guī)律，有助于突破教學(xué)難點.
3.技術(shù)運用
借助計算機(jī)軟件動態(tài)展示同心圓中影響角大小的幾何量的變化情況，加深學(xué)生對弧度制本質(zhì)的理解；利用智慧課堂教學(xué)助手展示學(xué)生練習(xí)的完成情況，將信息技術(shù)與課堂教學(xué)高度融合的同時，提高課堂效率.
五、教學(xué)基本流程
1.創(chuàng)設(shè)情境，引出概念（3分鐘）  ------問題驅(qū)動
2.合作探究，建構(gòu)概念（15分鐘）
3.分析歸納，理解概念（11分鐘）   ------師生互動          三動課堂           
4.情景再現(xiàn)，應(yīng)用概念（6分鐘）                         
5.小結(jié)反思，升華概念（4分鐘）  -------培育自動
6.布置作業(yè)，鞏固概念（1分鐘）
1.創(chuàng)設(shè)情境，引出概念
教師引言：不同的度量規(guī)定會產(chǎn)生不同的度量單位.例如，物體的質(zhì)量可以用千克、斤、磅等度量單位表示；物體的長度可以用米、尺、碼等度量單位表示.《愚公移山》中有“太行、王屋二山，方七百里，高萬仞”.
問題1：仞是中國古代的一種度量長度的單位，如果讓你研究“仞”，你會怎樣研究？
師生活動：教師在引導(dǎo)學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，總結(jié)研究長度單位“仞”的方法路徑.
（1）明確度量規(guī)則：說出新的度量單位“仞”是怎樣產(chǎn)生的，如何規(guī)定的.
（2）確定度量單位：確定度量單位“仞”的具體長度，找到與已有單位的換算方法.
（3）學(xué)會正確度量：以“1仞”為單位，以累加或等分的方式度量其他物體的長度.
教師引言：相似的研究對象其研究路徑也有共通之處，以上我們梳理了研究度量單位的方法路徑，今天我們就沿著這條路徑學(xué)習(xí)新的度量角大小的方法——弧度制.那么什么是弧度制，又為什么要引入弧度制呢？帶著這些問題我們一起來看以下情境.
【設(shè)計意圖】仞是中國古代的長度度量單位，漢朝規(guī)定七尺為一仞.這里通過梳理“仞”的研究過程，總結(jié)研究度量制的一般方法路徑，為學(xué)生有序的研究新的度量制——弧度制，奠定方法基礎(chǔ)，同時注重數(shù)學(xué)文化的滲透.
2.合作探究，建構(gòu)概念
為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，落實“五育并舉”的育人目標(biāo)，寧夏育才中學(xué)開辟校園西北角一片土地作為勞動教育實踐基地，由各班承包耕種，讓學(xué)生在知行合一的勞動實踐中豐富生活體驗.如圖1為我班分到的扇形試驗田，現(xiàn)欲購種需知土地面積，思考：

圖1
問題2.現(xiàn)若僅有卷尺為測量工具，你認(rèn)為可以測得土地面積嗎？為什么？
預(yù)設(shè)1：不能，中圓心角未知.（追問：我們能否用借用卷尺測量的數(shù)據(jù)來求出圓心角？）
預(yù)設(shè)2：可以先用卷尺測出弧長和半徑，借助弧長公式求出圓心角，再利用計算面積.
問題3：觀察上述表達(dá)式，你認(rèn)為可以用什么量來刻畫角的大小？
追問：該性質(zhì)可以作為度量角的依據(jù)嗎？為什么？
預(yù)設(shè)：可以，圓心角所對的弧長與半徑的比值，與半徑的大小無關(guān)，只與的大小有關(guān)，也就是說，這個比值隨的確定而唯一確定．因此用弧長和半徑的比值表示圓心角是合理的．
【設(shè)計意圖】問題2以生活中的實際問題引入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)學(xué)生用已有知識解決實際問題.在解決問題的過程中，得出圓心角的計算公式.教材中由圓的弧長公式直接變形得出，為什么做這樣的變形，學(xué)生會感到唐突.問題3根據(jù)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，得到公式，通過分析公式結(jié)構(gòu)，找到圓心角與弧長半徑的的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生自然的發(fā)現(xiàn)：圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與的大小有關(guān)，也就是說，這個比值隨的確定而唯一確定.
師：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了可以從代數(shù)的角度來證明結(jié)論，還可以從幾何的角度更加直觀地解釋其合理性.
問題4：觀察圖2中的同心圓及左側(cè)的數(shù)據(jù)，當(dāng)角確定時，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖2
預(yù)設(shè)：雖然兩個圓的半徑和所對的弧長不同，但其比值相同.
師生活動：首先，保持角不變，教師改變圖2中兩個圓的半徑，帶領(lǐng)學(xué)生觀察左側(cè)的比值依舊不變，總結(jié)出圓心角的大小與半徑的大小無關(guān)，當(dāng)角一定時，其弧長與半徑的比值也唯一確定；接著教師提出該結(jié)論是否對于其他的圓心角也成立呢？然后改變圖2中角的大小，再觀察左側(cè)數(shù)據(jù)，如此往復(fù)，帶領(lǐng)學(xué)生得到結(jié)論：弧長與半徑的比值隨的確定而唯一確定，反之也成立，二者之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系.
【設(shè)計意圖】滲透對應(yīng)轉(zhuǎn)化的思想，如果兩種對象具有一一對應(yīng)的關(guān)系，常常可以用一種對象表示另一種對象.例如用實數(shù)表示數(shù)軸上的點，用有序?qū)崝?shù)對表示平面直角坐標(biāo)系中的點，為后繼學(xué)習(xí)三角函數(shù)以及復(fù)數(shù)的表示提供方法支撐.
問題5：按照前面我們梳理研究度量單位的方法路徑，接下來我們該研究什么了？
追問1：你認(rèn)為應(yīng)該如何規(guī)定弧度制中“1單位的角”的大小？
預(yù)設(shè)：時弧長所對的圓心角定義為“1單位的角”.
追問2：此時半徑與弧長有何關(guān)系？
師：大家的想法與數(shù)學(xué)家們不謀而合，我們把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.弧度單位用符號（rad）表示，讀作弧度.這種利用弧度度量角大小的方法稱為弧度制.
追問3：既然角的大小與半徑無關(guān)，不妨令半徑為1，我們把這樣的圓稱為單位圓，在單位圓中有何結(jié)論？
如圖3所示∠AOB=1rad，∠AOC=-1rad，在弧度制中角的正負(fù)依然由旋轉(zhuǎn)方向決定，逆時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，順時針旋轉(zhuǎn)為正，因此正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.

圖3
早在18世紀(jì)，偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707-1783）在他的名著《無窮小分析引論》中就提出把圓的半徑作為弧長的度量單位，這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來， 大大簡化了三角的運算.數(shù)學(xué)教師湯姆生首先使用了“弧度”一詞，將“半徑” (radius) 的前四個字母與“角”(angle)的前兩個字母合在一起，構(gòu)成radian,并被人們廣泛接受和引用.
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比長度單位“仞”的研究路徑，明確接下來要研究的任務(wù)，進(jìn)一步經(jīng)歷研究度量制的一般路徑，積累學(xué)習(xí)度量制的活動經(jīng)驗.
3.分析應(yīng)用，理解概念
問題6.在提前準(zhǔn)備的圓中做出1rad的角，并將其裁出與其他同學(xué)比較，大家制作的1rad的角大小相同嗎？
方案1：任意畫一個圓，用頭發(fā)度量出和半徑長度相同的弧長，該弧長所對的圓心角即為1rad的角.
方案2：由.
練習(xí)1：用制作的1弧度的角測量圖4中角的大小，結(jié)果用弧度數(shù)表示.

圖4
【設(shè)計意圖】第1個角讓學(xué)生直觀感受1弧度的大小；第2、3個角讓學(xué)生在測量角的過程中認(rèn)識到，與角度制一樣，可以用正負(fù)號表示角的旋轉(zhuǎn)方向；第4個角引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，當(dāng)用1弧度的角不能準(zhǔn)確測量角的大小時，如何更準(zhǔn)確的用弧度表示角的大小呢？需要研究弧度與角度的換算關(guān)系.
問題7：角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算呢？
教學(xué)活動：學(xué)生討論，教師總結(jié)得出
，

1. 按照要求完成下列角的互化.（精確到0.001）

1. 將67°30′化為弧度；（2）將3.14rad化為角度

  解：（1）
  （2）.
  練習(xí)2：完成下表1：

表1
教學(xué)活動：學(xué)生在學(xué)案上完成，教師拍照上傳進(jìn)行講解，并介紹卡西歐計算器角度與弧度互化的方法.
師：這樣在弧度制下正角就對應(yīng)正實數(shù)，負(fù)角就對應(yīng)負(fù)實數(shù)，零角就對應(yīng)零，如圖5，現(xiàn)在我們就將角與實數(shù)一一對應(yīng)起來了，這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，如圖6，為接下來三角函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來了便捷.

圖5
 

圖6
【設(shè)計意圖】首先通過例題加深學(xué)生對角度制與弧度制互化的理解，其次通過總結(jié)帶領(lǐng)學(xué)生感受弧度制引入的必要性.
4.情景再現(xiàn)，應(yīng)用概念
例2：現(xiàn)在你能直接用弧長與半徑表示出我班試驗田如圖7的面積嗎？

圖7
追問：由此你認(rèn)為引入弧度制有何優(yōu)勢？
【設(shè)計意圖】該例題的設(shè)置在完整課堂結(jié)構(gòu)的同時，帶領(lǐng)學(xué)生利用所學(xué)知識解決實際問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活而服務(wù)于生活，不僅加深了對弧度制的理解，還簡化了扇形的面積公式，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理的核心素養(yǎng).
5.小結(jié)反思，升華概念
（1）今天我們學(xué)習(xí)了弧度制，對照黑板中的研究路徑如圖8，說說你是如何研究弧度制的？
預(yù)設(shè)：如圖8.

圖8
（2）在生成這些知識的過程中我們使用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？
    預(yù)設(shè)：如圖9.

圖9
 結(jié)束語：這節(jié)課我們通過以上路徑，學(xué)習(xí)了度量角的新的單位制——弧度制，其實它的引入不僅讓公式變得簡單，也為后面三角函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來了極大的便利.也啟發(fā)我們在以后的學(xué)習(xí)生活中，要有一雙善于發(fā)現(xiàn)問題的眼睛，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.相信接下來三角函數(shù)的學(xué)習(xí)能夠帶給大家一段更加奇妙的旅程.
【設(shè)計意圖】帶領(lǐng)學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容歸納反思，領(lǐng)悟研究數(shù)學(xué)概念的一般路徑，完善認(rèn)知體系，感受揭示相同事物本質(zhì)所用的辯證統(tǒng)一思想.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.
6.布置作業(yè)，鞏固概念
（1）必做題：
①　課本P175練習(xí)題第6題 .
②　完成平板推送的素養(yǎng)達(dá)標(biāo)小練.
（2）選做題：
①　查閱資料了解弧度制的發(fā)展史.
②　查閱資料了解度量角的另一種單位制——密位制，并結(jié)合角度制、弧度制、密位制的定義和應(yīng)用，撰寫小論文談?wù)勀銓Χ�義單位制的理解.
【設(shè)計意圖】 作業(yè)布置分為必做題選做題，體現(xiàn)了分層教學(xué)的理念.其中選做題的設(shè)置旨在讓學(xué)生通過課后查閱資料了解與弧度制相關(guān)的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史，加深學(xué)生對弧度制理解的同時激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣.
7.板書設(shè)計（如表2）

5.1.2 弧度制 背景 定義 換算 應(yīng)用

投影屏

表2
【設(shè)計意圖】媒體固然精彩，但翻頁的過程中也把每一階段的重難點一起帶過，而板書可以把教學(xué)內(nèi)容形象精煉地呈現(xiàn)在黑板上，對學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容、啟發(fā)思維、發(fā)展能力，都起著畫龍點睛的作用.
參考文獻(xiàn)
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