視頻標簽：第十一屆全國高中青年

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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《二面角（1）》上�！�鄧

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上海—鄧佳敏—設計—二面角（1）

10.4.2 二面角（1）
上海交通大學附屬中學嘉定分校 鄧佳敏

• 教學內容解析

（一）教學內容
二面角的概念與二面角的平面角.
（二）內容解析
本節課選自上海教育出版社出版的《普通高中教科書 數學 必修第三冊》第十章第4節《平面與平面的位置關系》的第2課時——“二面角”，該課時內容主要分為二面角的平面角、平面與平面垂直兩部分.承接“平面與平面平行”，在學習了“平面及其基本性質”、“直線與直線的位置關系”、“直線與平面的位置關系”的基礎上展開，并為學生后續學習簡單幾何體做準備.
“10.4平面與平面的位置關系”是立體幾何的核心內容之一，作為“直線與直線”、“直線與平面”、“平面與平面”的內容邏輯主線中的最后一環，其教學應注重使用類比的數學思想.例如，在平行關系中，線線平行、線面平行、面面平行的判定和性質相互轉化、不斷推進；在“角”的度量中，異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角，都是將空間中的角轉化為平面中的角，其研究思路一脈相承，滲透將三維空間的問題轉化為同一個平面中的問題的基本思想方法.通過本節的學習,歐氏幾何體系的基礎內容——空間中點、線、面的位置關系便成為一個較完善的知識和邏輯體系.
《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求學生能夠運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念；了解、歸納平面與平面垂直的性質定理與判定定理，并對性質定理加以證明；對推理論證的要求較高.二面角是刻畫兩個相交平面位置關系的概念和一種度量方式，雖然在國家課程標準中沒有對二面角的概念提出要求，但二面角的教學一方面是為了知識體系的完整性，另一方面也是為學生進一步發展空間想象與邏輯推理能力提供機會.此處的重點應放在二面角的平面角的構造上，著重于對位置關系的認識，而把如何計算角的大小的問題，放在選擇性必修的空間向量及其應用時再具體處理.二面角的學習不僅僅是為定義面面垂直服務的，更是為了完善平面與平面的位置關系，培養學生的空間想象能力，有利于學生領會類比的數學思想，發展直觀想象、邏輯推理和數學抽象素養.
本節課是“二面角”的第一課時，圍繞著二面角的定義、二面角的度量展開，到給出平面與平面垂直的定義結束，而將平面與平面垂直的判定定理與性質定理放在后一課時.這樣處理有以下原因：（1）本節課是一節概念課，為了引導學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，使學生得以充分探索二面角的平面角構造的合理性與科學性，達到訓練數學思維、形成理性和科學精神的目標，在有限的時間內教學內容不宜過多，才能達到更好的育人效果.（2）基于授課學生的學情，該班學生具備深入探究立體幾何問題的知識與能力，并對此類問題有比較強的興趣，可以在解決問題的過程中收獲學習數學的自信.（3）二面角的內容起著承上啟下的作用，二面角的平面角與直線與平面所成的角的探究有異曲同工之妙，但要求略有遞進，二面角的平面角的探究過程既能幫助學生回憶、復習線面角的知識，又為后續學習平面與平面垂直的內容打下扎實基礎.
（三）教學重點
構造二面角的平面角.

• 教學目標設置

（一）教學目標
1. 經歷二面角的概念的形成過程，認識二面角的圖形，理解二面角的定義及相關概念，感悟類比的數學思想，提升數學抽象、直觀想象素養；
2. 經歷二面角的度量的探究過程，會構造二面角的平面角，體會類比、降維轉化思想在知識建構與問題解決中發揮的作用，培養嚴謹的理性思維和善于思考的科學精神；
3. 在交流與合作的學習過程中，探索、理解二面角的平面角的構造合理性，培養數學表達能力與合作精神，促進創新思維的發展.
（二）目標解析
對于目標1，通過類比平面中的角與三維空間中平面與平面所成的角，學生能夠認識二面角的圖形，理解二面角的定義，認識二面角中的面、棱以及二面角的記法，能夠從生活實例中抽象出二面角的幾何模型.
對于目標2，在如何度量二面角這一問題情境下，經歷“構造什么”——“如何構造”——“為什么這么構造”的探究過程，掌握二面角的平面角的定義，能在二面角中作出平面角，能用二面角的知識解決簡單的數學問題.提升在一般觀念指導下思考與解決問題的能力，形成有條理、合乎邏輯的思維品質，培養嚴謹的理性思維和善于思考的科學精神.
對于目標3，通過折紙活動，解決“為什么平面角的邊與棱垂直？”這一問題，深入剖析二面角的平面角構造的合理性與科學性，在實踐中訓練創新思維、在傾聽中培養嚴謹的科學精神、在交流中鍛煉邏輯思維與數學表達能力.

• 學生學情分析

（一）學生學情分析
本節課的授課對象為一所上海市實驗性示范性高中的學生，授課學段為高二學年上學期，學生已系統學習了平面及其基本性質、直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系.對公理、定理等有較好掌握，對立體幾何有較強的學習興趣，且已經歷過從定性到定量探究空間中兩個對象的位置關系的研究過程，具備探究立體幾何問題的基本活動經驗和能力.
然而，在學習立體幾何時，學生仍會面臨“知其然而不知其所以然”的難題，能從直觀上認識空間對象的位置關系，但在試圖說明其內在本質或原理時卻感到無從下手.因此，還應注重培養學生透過現象看本質、有理有據闡明觀點的理性思維.
（二）教學難點
基于以上分析，本節課的教學難點為理解二面角的平面角構造的合理性.

• 教學策略分析

本節課是《二面角》的第一課時，屬概念課.本節課遵循“情境與問題——分析與歸納——本質特征的抽象、定義——關鍵詞辨析——簡單應用——聯系與綜合”的概念形成方式安排學習過程，創設基于情境、問題導向的啟發式、探究式課堂，滲透數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學素養，從而達到把握數學本質、啟發思考的效果.
教學策略1 以問題驅動課堂，培養理性思維
數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用.數學思維、數學能力的提升應來自于學生內心的思考與感悟，本節課創設了符合學生認知規律的問題情境，由多個由淺入深、循序漸進的問題貫穿，以“如何定義二面角？”——“如何度量二面角？”——“如何構造角？”——“為什么這樣構造？”為主線，引導學生經歷發現問題、分析問題、解決問題的過程，深入挖掘、探究二面角的平面角構造的“情”與“理”，培養學生發現事物本質、關系和規律的科學精神，與有理有據闡明觀點的理性思維.
教學策略2 以交流靈動課堂，激發學習興趣
以學生為課堂主體，圍繞如何度量二面角這一主題，引導學生深入思考，啟發學生主動提出自己的想法，鼓勵其他同學進行說明和補充，形成開放、高效的課堂氛圍.“為什么這么構造？”——開放性的問題能夠提升學生作出多種解釋的發散性思維，激發學生的學習興趣和動力，從而推動師生之間、生生之間的互動和交流向縱深發展.
教學策略3 以技術輔助教學，降低想象難度
除了用教室的門和實物模型進行演示，本節課還利用GeoGebra軟件，生動地展現二面角的動態結構與平面角的大小變化.形象的軟件展示能為學生理解二面角提供直觀，讓學生在感性認識的基礎上再進行理性思考，循序漸進地幫助學生掌握平面上表示空間圖形的方法和技能、形成空間觀念、提高空間想象能力.
教學策略4 以情境豐富課堂，實現德育價值
創設首尾呼應的太陽能發電這一生活情境，培養學生的民族自豪感與愛國主義情懷，增強學生的公民意識和社會責任感；通過講述歐幾里得在《幾何原本》中對平面傾角的定義，滲透數學文化，感受立體幾何的研究貫穿古今的震撼；在講解二面角的概念時，以蛋白質折疊的二面角模型與北斗衛星的軌道面與赤道面夾角對比，極微觀和極宏觀的科學情境，可以調動學生的學習熱情，使學生獲得“數學來自于宇宙、數學是宇宙的語言”的體驗.

• 教學過程設計

（一）情境與問題
播放紀錄片《輝煌中國》片段，展示上海龍陽路地鐵站光伏發電項目的照片（圖1-3）.

圖1-1                        圖1-2                         圖1-3
問題1：用數學的眼光看，圖1-1中蘊含哪些幾何元素間的位置關系？
【設計意圖】在之前的學習中，學生已積累了較多立體幾何的學習經驗，借助太陽能發電的情境，啟發學生從實際情境中抽象出數學問題.介紹宏偉壯觀的新能源基地有利于培養學生的民族自豪感，激發學生的學習熱情.
問題2：圖1-2中，當光伏板轉動時，光伏板與水平面所在的兩個相交平面間的哪個量在變化？
【設計意圖】立體幾何的核心是空間中的距離與角度，當相交平面的位置關系發生變化時，它們之間的角度也在變化，從而體現研究二面角的必要性與意義，引出本節課主題.
（二）分析與探究

1. 二面角的概念

直線上的一點可以將直線分為兩部分，每部分稱為射線.類似地，在空間中，平面上的一條直線也將平面分為兩部分，每部分稱為半平面.
【設計意圖】給出半平面的概念，為二面角的定義做準備，滲透類比思想.
在平面內，兩條直線相交會形成四個角.在空間中，兩個平面相交也會形成四個二面角.
問題3：類比角的概念，你能給出空間中二面角的定義嗎？

	角	二面角
圖形
定義	平面內，從一點出發的兩條射線所組成的圖形.	空間中，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.
構成	頂點、邊	二面角的棱、二面角的面
表示方法		、 、

【設計意圖】通過類比平面幾何中直線的夾角與射線的夾角，得到立體幾何中面面夾角與二面角的定義，有利于學生聯想到通過平面內的角來度量二面角.問題3以學生為課堂主體，鼓勵學生大膽定義新概念，使學生感悟類比思想，發展邏輯推理素養，收獲探究新定義的自信.

1. 二面角的度量

問題4：在我們身邊有哪些二面角的形象？
【設計意圖】啟發學生用數學的眼光觀察世界，通過在生活中尋找二面角，感受二面角的幾何形象，深化二面角的概念.
展示蛋白質肽鏈的 折疊（圖2-1）與北斗導航衛星的軌道示意圖（圖2-2）.
   
圖 2-1                                  圖 2-2
【設計意圖】引出二面角的度量問題，突出二面角度量的重要性. 極微觀和極宏觀的科學情境，形成強烈對比，調動學生的求知熱情.
用教室的門演示：隨著兩個半平面位置關系的變化，二面角是有大有小的.
問題5：如何度量二面角的大��？
生：用一個平面內的角來刻畫二面角的大小.
【設計意圖】將二面角的度量問題轉化為構造平面內的角的問題，以簡馭繁，滲透將立體問題轉化為平面問題的降維轉化思想，為接下來的探究活動做鋪墊.
問題6：怎樣構造角來刻畫二面角的大小？
追問1：為什么將角的頂點取在棱上？
（1）度量直線與平面所成角時，將其轉化為平面內的角，角的頂點為直線和平面的交點，即兩個幾何對象的公共點.類似的，用一個平面內的角度量二面角，角的頂點也應取在兩個面的公共點，即二面角的棱上.
    （2）頂點取在棱上時，兩條邊就可以取在二面角的兩個面內，更好體現兩個面的相對位置.
【設計意圖】通過類比直線與平面所成角，建立新舊知識的聯系.
追問2：當二面角 給定時， 的大小與點 在棱上的取法有關嗎？
【設計意圖】通過等角定理證明所構造的角的大小與頂點在棱上的位置無關，強調二面角的構造的任意性與確定性.
追問3：為什么角的兩邊與棱垂直？不垂直可以嗎？
活動1 將半透明紙折成二面角，在二面角內畫出不同的角，驗證你的想法，并交流討論.

圖 2-3
預設回答1 符合直觀：當兩個半平面重合、完全展開成一個完整平面時，邊與棱垂直的角分別是 、 ，與我們對二面角大小的直觀認識符合.
預設回答2 唯一確定：當頂點 確定時，在兩個面內只能作唯一一條垂直于棱的射線，此時角唯一確定.
Geogebra軟件演示：

圖 2-4
【設計意圖】基于學生的實際情況，容易得到二面角的平面角的構造方法，但說理與論證卻比較困難.問題6及追問的設計，是在問題5的基礎上將角的構造問題拆解為取頂點、作邊等一系列環節，一步步啟發學生思考每個環節的內在原理.活動1旨在讓學生在實踐中體驗二面角的平面角的建構過程，在交流討論中互相啟發，發現事物的本質關系，從而培養發現和提出、分析解決問題的能力，鍛煉有理有據、邏輯連貫地闡明觀點與透過現象看本質的理性思維，樹立善于思考的科學精神.
（三）閱讀與辨析
       
圖 3-1                                  圖 3-2
歐幾里得編著的《幾何原本》第XI卷中定義：從兩個相交平面的交線上同一點，分別在兩平面內各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫做該兩平面的傾角（也可叫交角）.^[1]
[1] 歐幾里得著.蘭紀正, 朱恩寬.幾何原本[M]. 譯林出版社, 2014, 477.
【設計意圖】數學承載著思想和文化，是人類文明重要的組成部分.通過了解歐幾里得在《幾何原本》中對相交平面的傾角的定義，感受厚重的數學歷史和輝煌的數學文明.今日所學的知識依賴于一代代的大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵學生直面未知、勇敢探索，喚起學生的科學奉獻精神.
活動2 閱讀課本第41頁、第2段二面角的平面角的定義，并在學習單上補全定義中的關鍵詞.
【設計意圖】閱讀是重要的課堂活動，可以幫助學生加深對概念的理解，并通過對定義進行辨析，落實、鞏固二面角的平面角的相關知識，培養嚴謹的思維習慣.
二面角的平面角應滿足：（1）角的頂點在棱上任取；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個面上；（3）角的兩邊垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范圍是 .
當二面角確定時，其平面角就唯一確定，反之亦然.
（四）練習與實踐
活動3 在正方體 中，作出以下二面角的一個平面角，并求它的度數：（1） ； （2） ； （3） .
      
圖4-1
     思考：在第三幅圖中，二面角 的平面角是哪個角？大小是多少？
在（1）中，當二面角的大小等于 時，其平面角是 ，此時，我們稱這個二面角為直二面角.當兩個平面相交所成的二面角是直二面角時，我們就說這兩個平面相互垂直.

圖 4-2
【設計意圖】正方體是一個直觀的模型，可以此為載體幫助學生掌握二面角的表示方法、學會構造簡單的二面角的平面角并求解大小.利用正方體可以使學生更直觀地認識和理解空間對象的位置關系，培養“空間感”和洞察力.同時在具體問題中更自然地引出下節課的主題——平面與平面垂直.
（五）聯系與綜合
活動4 在學校北邊的天臺上，布置了若干巨大的太陽能光伏板，它的支架可以帶動光伏板轉動，使光伏板正對太陽光發電，為校園提供了清潔電能，使綠色低碳科技變得觸手可及.
鄧老師發現，秋分這天正午，上海的太陽高度角是 ，此時光伏板與水平面所成的二面角的大小是多少？（*太陽高度角指太陽光線與水平面所成角）
     
圖5-1                                        圖5-2
【設計意圖】從學生身邊的實例出發，經歷從實際情境到幾何模型的構建，體會數學的應用價值，啟發學生用數學的眼光觀察身邊的事物、培養善于用數學思維思考生活的習慣. 題目情境與課堂引入相呼應，使本節課更具整體性.
（六）小結與作業

1. 課堂小結與學習評價

1.研究問題：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.
2.研究過程：
（1）類比平面內的角，得到二面角的概念；
（2）將二面角的度量問題轉化為構造平面內的角的問題；
（3）在折紙活動中感受二面角的平面角構造的合理性，經歷從直觀感知、操作確認到簡單推理論證的過程.
3.思想方法：
（1）聯系新舊知識的類比思想；
（2）將空間問題轉化為平面問題的降維轉化思想.
【設計意圖】從研究問題、研究過程、思想方法等方面梳理本節課內容，幫助學生歸納總結，實現知識的內化.
課堂學習情況自評表
任務1：結合現實生活情境，通過問題1-4，認識二面角的圖形，理解二面角的定義及相關概念，能在活動3的正方體中正確找到對應的二面角.
    任務2：通過問題5、6與活動1（折紙活動），能認識二面角的平面角構造的合理性，經歷活動2（閱讀活動），知道如何作出二面角的平面角，并會在簡單情形中求二面角的大小，完成活動3中平面角的構造與求解.
    任務3：在活動4中，能將實際情境抽象成二面角的幾何模型，即畫出二面角的圖形、將情境條件抽象為幾何元素之間的關系、正確作出該二面角的平面角、求解二面角的平面角.

評價任務	順利完成	基本完成	未能完成	未完成的具體活動或問題
任務1
任務2
任務3

1. 課后作業

【基礎練習】
教材P44 習題10.4 A組6、7、8，補充題.
教材 習題10.4 A組
6.在正方體 中，平面 與正方體的各個面所成的二面角的大小分別是多少？
7.在 二面角的一個面內有一個點，它到另一個面的距離是 .求這個點到二面角的棱的距離.
8. 如圖，在四面體 中，已知 ， ，且 .試作出二面角 的平面角，并求它的度數.
     
（第8題）                     （補充題）
補充題：埃及是歐氏幾何的誕生之地，歐幾里得在此編撰的著作《幾何原本》，奠定了理論幾何的基礎.同樣聞名于世的，還有埃及的金字塔，早在《幾何原本》誕生前的2300年，金字塔就已建造而成，它的出現展現了古埃及人的才能與智慧.
胡夫金字塔是最古老、最宏偉的金字塔之一.它是由一個正方形底面、四個全等的等腰三角形側面構成的幾何體.其底部邊長為230米，側壁三角形的腰（側棱）長214米（計算結果保留兩位小數）.
（1）求胡夫金字塔的側壁與地面所成的二面角大��；
（2）若一只羚羊在金字塔側壁，沿著與底邊成 角的直線向上攀行了100米，此時羚羊所在海拔高度上升了多少米？
答案：習題10.4 6. ；7. ；8. . 補充：（1）  ；（2） 米.
評價建議：（1）完成習題10.4的6、7、8題，并能畫出金字塔的直觀圖，可評價為合格；（2）完成習題10.4的6、7、8題和補充題第一問，可評價為良好；（3）能夠全部完成正確，可評價為優秀.
【拓展探究】（選做）
本節課我們用半平面內垂直于棱的兩條射線構造了二面角的平面角，由等角定理，平面角的大小與頂點的取法無關.某同學受到啟發，提出了另一種構造平面角的方法：取一個垂直于棱的平面，與二面角的兩個半平面相交的射線所構成的角，它與我們今天所學的平面角是一致的.

1. 證明該方法構造的平面角的大小與平面的位置無關；
2. 如果所作的平面與棱成 角，所截得的角的大小是否依然與平面位置無關？請說明理由.

評價建議：（1）能用等角定理證明第一問，并在第二問中回答出所截得的角與平面位置有關，可評價為合格；（2）能用等角定理證明第一問，在第二問中能舉出兩個不同位置的截面，使截得的角大小不同，可評價為良好；（3）能用等角定理證明第一問，并能通過幾何軟件、模型等演示出當平面圍繞二面角的棱旋轉時所截得的角的變化，可評價為優秀.

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