視頻標簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《古典概型》重慶—稅

本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服

重慶—稅長江—設計—古典概型

古典概型教學設計
教材：普通高中數學教科書數學必修第二冊（人民教育出版社A版）

• 教學內容解析

1. 本節課時是高中數學必修第二冊第十章10.1.3古典概型的第一課時，是在有限樣本空間與隨機事件，事件的關系與運算之后，又在概率的基本性質，事件的獨立性和計數原理之前，起著承上啟下的作用，通過古典概型的學習，學生進一步理解隨機事件和樣本點的關系、事件和樣本空間的關系，概率的意義，為研究概率的基本性質提供具體的案例支撐．
2. 古典概型的學習中對等可能性的重點剖析、實驗驗證有利于進一步理解概率的有關概念，深化對古典概型這一數學模型的認識．
3. 通過適當的表達形式和分類方法例舉出隨機試驗的樣本點和樣本空間，體驗從具體事件到數學抽象的過程，也為后面概率的基本性質，計數原理的學習做好了鋪墊．
4. 用隨機數表進行隨機試驗的模擬，培養學生數學建模思想的同時，也實現了借助數學的抽象思維擺脫了客觀物質條件的限制．利用計算機軟件產生的隨機整數，可以模擬某些隨機試驗，達到快速進行大量重復試驗的目的，也展示了計算機技術在數學上的廣泛運用．
5. 古典概型是一種特殊的數學模型，其與生活聯系密切，便于解釋生活中的一些問題，增加學生學習數學的興趣．

• 教學目標

1. 理解古典概型的兩個特征；
2. 能用適當的表達形式和分類方法通過列舉獲得古典概型的樣本空間；
3. 掌握古典概型的概率計算公式；
4. 能對樣本點的等可能性進行判斷；
5. 體驗用隨機數表模擬隨機試驗的過程，理解數學建模的思想，建立數學應用的意識；
6. 通過動手實踐，培養學生的自主探究和協作互助的能力，獲得數學探究活動的體驗．

• 學生學情分析

1. 我校為重慶市國家級重點中學，學生學習基礎較好，學生在初中對古典概型有了初步的學習，熟悉古典概型的計算公式，但對古典概型的兩個特征的認識和理解還有不足，需要通過具體案例，進一步提煉和辨析兩個特征，使學生深刻領會”有限”和”等可能”的含義．
2. 學生對古典概型中等可能性的要求認識尤為不足，常因未關注等可能性得出錯誤結論，如“同時投擲兩枚相同的硬幣出現一正一反的概率為1/3”等，需要通過辨析和實驗驗證，理解面對多個相同的物體時如何選取樣本點才能保證等可能性.
3. 以投擲兩個硬幣，出現一正一反的概率問題作為實驗探究，幫助學生體會“等可能性”在實際問題中如何呈現，并通過對“兩個相同的硬幣”與“一大一小兩個硬幣”兩種情景的辨析，使學生掌握在面對實際問題時，如何保證等可能性．讓學生自己動手，體會在試驗、合作中得到的新知，獲得更為深刻的理解和認識．

1. 學生沒有隨機模擬的經驗，通過隨機數表，引導學生探究用隨機數模擬隨機實驗的方法，培養學生數學建模思想，并利用計算機軟件產生的隨機整數，模擬隨機試驗，深化對隨機模擬這一建模過程的體驗．

• 教學策略分析

1. 古典概型是一類與生活緊密聯系，廣泛運用的數學模型，可以充分的通過生活實例讓學生體驗、感知其中的數學原理，所以選擇了一條以“體驗、思考、表達”為主線的課程設計思路．通過丟硬幣與投籃的對比，提煉古典概型的兩個特征，通過動手實驗，理解樣本點的選擇方式和等可能性，使學生在學習過程中，獲得數學探究活動的基本體驗，并運用獲得的數學知識，思考，表達藏在猜拳游戲，及抽樣情景中的數學原理．
2. 引入采用了生活中常見的“十五二十”猜拳游戲，其背后的數學原理與教材在P235例8一致，以貼近生活的方式將其展開．在課堂的初始階段，通過生活中常見現象背后的數學原理引發學生關注，展開思考和探究．
3. 拋硬幣實驗前，設計了回顧“歷史上的拋硬幣實驗，實驗結果與理論吻合”這個環節，復習了可以通過大量重復實驗，用頻率估計概率這初中介紹過的知識點，即是對古典概型理論正確的驗證，也說明可以用頻率的分布來研究概率，為后面的拋硬幣實驗做好鋪墊．
4. 對于樣本點等可能性的認識是古典概型問題的分析重點．拋擲兩枚硬幣這個案例，在教材P227例3 也出現過，但這里強調了“兩個相同硬幣”這個干擾項，以及對樣本點是否等可能的探究，很多學生認為，將相同的物品進行編號，會破壞“相同物品”這一前提條件，故課程中設計了“同時拋兩枚相同的硬幣”與“同時拋兩枚不同的硬幣”的對比實驗，用所得數據驗證在“恰好出現一正一反的概率”這個問題上兩者的等效性，進一步說明編號才能保證樣本點的等可能性．而這一結論的獲得源于學生實際的動手操作，帶來良好的活動探究體驗．
5. 學生以往并沒有隨機模擬的經驗，故在實驗環節設計了讓其中一個大組通過隨機數表，進行模擬投硬幣實驗，引導學生探究用隨機數模擬隨機實驗的方法．
6. 通過實驗數據的反饋，訓練學生數據分析，數據處理的能力．
7. 由于本課在計數原理之前，學生目前只能通過例舉出所有的樣本點的方式計算概率，如何做到不重不漏，清晰明了就是問題的關鍵．通過在黑板上展示學生用例舉法獲得樣本空間的過程，引導學生思考列舉時怎樣創建合理的分類標準，怎樣選用適當的符號、形式、圖表來清晰簡潔的表示實驗結果．

• 教學過程

5.1介紹猜拳游戲，引出古典概型
 
引入：介紹“十五二十”猜拳游戲的規則，指出不同于其它猜拳游戲，“十五二十”存在著數學上的制勝策略，即：喊出哪一個點數獲勝概率最大？引起學生的思考，展開古典概型的教學．
【設計意圖】“十五二十”猜拳游戲，是對教材P235例8投擲兩枚骰子點數之和模型的等價轉換，通過貼近生活的方式將其展開．在課堂的初始階段，通過生活中的常見現象背后的數學原理引發學生關注，展開思考和探究．
 
5.2兩類概率情景的分析，引發認知沖突
 
提出三個問題：

1. 丟一枚質量均勻的骰子，丟出奇數的概率是多少？
2. 丟一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是多少？
3. 老師到操場上去投籃，結果有兩種，投進和投不進，請問老師投進的概率是多少？

分析：投骰子時，一共6個結果，奇數占其中3個,所以是.丟硬幣一共有正面反面兩個結果，正面是其中的一個，概率也是，但老師投籃投中的概率卻不能用計算。
提問：老師投籃的概率該怎么算呢？
【設計意圖】對比兩類情景的概率計算方式，創造認知沖突，雖然都是兩個樣本點，但是概率的算法卻不同，引導學生發現這是兩類不同的情景，通過比較，感知古典概型的特點，并引出用頻率估計概率的方法．
 
分析：初中知識告訴我們，反復投，用成功的次數除以總次數獲得頻率，大量重復實驗，用頻率估計概率．
但是大量重復的試驗費時費力，我們對于一些特殊的隨機試驗能否通過建立適當的數學模型，直接計算隨機事件的概率呢？
丟硬幣一共兩個樣本點，正面占其中一個，我們計算出的概率為，與歷史上的實驗結果高度吻合（展示歷史上的實驗）．
                               
 
【設計意圖】回憶初中的知識，可通過大量重復實驗，用頻率估計概率．一方面歷史上的丟硬幣實驗證明了古典概型的正確性，也說明了我們可以借助頻率的分布來研究概率的分布，為后面“拋擲兩枚相同的硬幣”實驗，通過樣本點的頻數來驗證等可能性，獲得概率的分布特點，打下理論基礎．
 
5.3討論交流，通過比較，提煉古典概型的特點和計算公式
 
提問：投籃投中的概率就不能用來算，投籃和丟硬幣，都是兩個樣本點，它們有什么不同？請學生相互交流討論．
分析：丟硬幣，每個結果發生的可能性是相同的，投籃受到技術的影響，兩個結果發生的可能性不同．
提問：擲骰子的六個樣本點發生的可能性是否相同？
生：發生的可能性是相同的．
分析：丟硬幣，丟骰子都一個共同的特征，即樣本點發生的可能性相同，概括出古典概型的第一個特征：等可能性．
【設計意圖】對比兩類不同的情景的樣本點特點，獲得古典概型對等可能性的要求．
 
例舉另外一類隨機事件：比如在[0,1]之間任取一個實數，有多少種結果？對比丟硬幣，丟骰子的樣本點個數，概括出有限性：樣本空間的樣本點只有有限個．
【設計意圖】有限性的直接獲得較為困難，通過對比“在[0,1]之間取任取一個實數，有多少種可能”這個問題，引導學生反向注意到古典概型樣本點有限這個特點．
 
概括得到古典概型的定義及計算式：如果隨機試驗E的樣本點和樣本空間同時具有等可能性和有限性，我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數.
投籃的概率不能用1/2來算，就是因為我們選取的樣本點不具有等可能性，用了古典概型的公式，卻不符合古典概型的定義．所以遇見一個隨機事件，應該先判斷它是否為古典概型．
【設計意圖】概括古典概型的定義，介于學生對古典概型的計算公式也在初中學習過，而且非常熟悉，所以不對公式的獲得進行展開．
 
5.4反例辨析，深化理解概念
 
提問：（1）向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么？
(2)某同學隨機地在一個圓環靶子上取一點，這一試驗的結果從點所在的環數來看只有有限個：點在10環、點在9環……點在5環．你認為這是古典概型嗎？為什么？
分析：都不是古典概型．（1）不符合有限性，（2）由于各環數所代表的面積大小不一，不符合等可能性．兩個要求，缺一不可．但是隨機實驗是不是有限個樣本點很容易判斷，等可能性這一要求卻沒有那么明顯．
【設計意圖】反例辨析，深化對等可能的性和有限性的理解．
 
5.5實驗探究，理解等可能性
 
問題：同時擲兩枚一模一樣的硬幣，出現一正一反的概率是多少？
分析：學生往往認為有和兩個不同的結果，這是由于樣本點的選擇不同導致的．樣本點的選擇有兩類：“全是反面，恰好一個正面，恰好兩個正面”和“全是反面，A硬幣正面，B硬幣反面，A硬幣反面，B硬幣正面，全是正面四種”，提出問題：
認為有4個樣本點的同學將硬幣編為A，B，為什么要編號？編號丟出的數據和不編號丟出的數據是否一致？
另外得出的兩個不同的結論，根本原因是選取的樣本點不同，但是哪一種選法才是等可能的？
展開課堂實驗：
第一組：拋兩個完全相同的硬幣，一個同學拋，另一個同學記錄一正一反，兩正，兩反分別出現了多少次；
第二組：拋兩個不同的硬幣，記錄數據；
第三組：提出問題：硬幣不夠了，每兩人只能分到一個硬幣，能不能用一個硬幣模擬兩個硬幣的效果呢？分析出將一個硬幣拋兩次，第一次記為A硬幣，第二次記為B硬幣即可．
第四組：提出實在沒有硬幣了，在生活中我們也常受到客觀條件的限制，無法實際操作隨機試驗，那有沒有數學的方法，幫助我們進行思想實驗？介紹隨機數表的構成原理，引導學生運用隨機數表，設計方案模擬丟硬幣的實驗．分析出可以選取相鄰兩個隨機數，用隨機數的奇偶模擬硬幣出現的正反．

四組同學分別通過實驗采集數據，一四組完成第一個表格，二三組完成第二個表格．

兩正	一正一反	兩反	總計

 

兩正	A正B反	A反B正	兩反	總計

 
 
 
 
 
 
 
 
完成表格，匯總數據，讓學生進行數據分析，表達觀點．
可以相互討論的問題包括：如果一正一反的概率為，則數據比例大約是多少？數據是否能看出樣本點的等可能性？第一組的數據和第二組的數據比例是否一致？如果數據差異較大，產生的原因是什么？
最后在計算機上展示模擬實驗，通過表格軟件中的RANDBETWEEN函數可以返還兩個整數間的隨機數，為了模擬拋硬幣，可以設定在（0,1），分別代表正面，反面，這樣就可以輕松模擬出多次丟硬幣的實驗．展示模擬了丟一萬次的結果，分析得到編號后，四個樣本點是等可能的．
分析數據知：兩反，A正B反，A反B正，兩正，是等可能事件，而一正一反是它們的和．而兩個相同的硬幣，在思想上編號以后，與兩個不同的硬幣原理一致．
小結：同時拋擲兩個相同的硬幣/同時拋兩個不同的硬幣/先后拋同一個硬幣兩次，在原理上是等效的．
計算古典概型時，需要對物品進行編號，方能保證等可能性．
【設計意圖】以投硬幣實驗作為切入點，設計了四組不同的實驗，在學生動手實踐、動腦思考、數據分析的學習活動中，驗證怎樣選擇樣本點才能做到等可能．
通過四組不同的實驗，一是幫助學生理解“同時拋擲兩個相同的硬幣/同時拋兩個不同的硬幣/先后拋同一個硬幣兩次”三種情景的一致原理；二是用實驗驗證相同的物體編號后樣本點才具有等可能性；三是引導學生設計、體驗用隨機數模擬隨機實驗．在實驗過程中，突出了本節課的重點，培養了學生合作探究的能力，并進一步加深了學生對古典概型的理解．
 
5.6古典概型的實際運用
 
例1：考慮下面兩個隨機實驗，求事件A和B發生的概率．
    （1）一個班級中有18名男生，22名女生，采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學生，事件A=“抽到男生”；
分析：（1）共40個樣本點，它們是等可能的，抽到男生占18個樣本點，故事件A發生的概率為；
提問：第一問若改為袋子里有18個一模一樣的藍色小球，22只一模一樣的紅色小球，從中任取一只，抽到藍色的概率是多少？
分析：仍然為．樣本點一共40個，抽到每一個小球就是一個樣本點，需要對每一個小球編號才能保證等可能性，所以樣本點共有40個．
【設計意圖】簡單運用古典概型概率計算公式，再次體會對物品進行編號以保證樣本點的等可能性．
 
例1（2）：一枚質地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．
請學生到黑板上例舉出所有樣本點。
對學生的例舉過程進行點評，提醒學生例舉時是否建立了良好的分類標準，能否用樹狀圖和有序數對的形式表達樣本點．
【設計意圖】練習用例舉法得到樣本空間，引起學生對分類標準的關注，并練習通過樹狀圖和有序數對等形式對樣本點進行清晰的表達．
 
回到開頭提出的問題：
例2.甲乙兩人在進行“十五二十”游戲，假設雙方出拳時都等可能的在“0”“5”“10”中任選一種．
（1）請寫出樣本空間中所有的樣本點并判斷該試驗是否為古典概型；
（2）請問游戲時喊出哪一個數字獲勝概率最高？
（請同學上臺寫出樣本空間）
分析：（1）該試驗的樣本空間為，，，，，，，，共9個樣本點，因為是出拳是等可能的，所以是古典概型；
（2）喊出10獲勝的概率最大．
對學生的書寫進行點評，展示也可以通過表格來例舉出樣本空間．分別得到了喊各個數字獲勝的概率，從而得到“十五二十”猜拳游戲的制勝策略，提出即使是生活中的一件小事，處處都藏著數學，激發學生對數學學習的興趣．
【設計意圖】回答引入時提出的問題，進一步訓練樣本點的表達，也可以看出喊5和10，0和20獲勝的概率，從而制定“十五二十”猜拳游戲的制勝策略，體現數學原理在生活實際中的運用，激發學生對數學學習的興趣．
 
例3.從兩名男生（記為和），兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，估算四人的平均身高．
（1）分別寫出依次有放回的簡單隨機抽樣，不放回的簡單隨機抽樣，和“先抽一男生，再抽一女生”三種抽樣方法的樣本空間；
（2）分別求三種抽樣下，抽到兩人都是男生的概率．
分析：依次有放回簡單隨機抽樣的樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，，,共16個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為.依次無放回簡單隨機抽樣的樣本空間為，，，，，，，，，，，,共12個樣本點，抽到兩人都是男生有兩個樣本點，概率為.
按比例“先抽一男生，再抽一女生”的樣本空間為，，，,共4個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為0.
提問：如果男女生身高存在較大差異，應該選擇那種抽樣方式更加科學？
分析：應該避免出現樣本中兩個均為男生或者兩個均為女生這樣的極端樣本，比例抽樣最佳，其次是無放回的抽樣．
如果時間充足，則進一步提問：再提供一種抽樣方法：如果一次性從4人中抽取兩人，不講順序，樣本空間是什么？抽到兩名男生的概率又是多少？留給學生思考．
【設計意圖】對比了三種不同的抽樣方法對樣本空間的影響，通過抽取出兩人都是男生的概率的比較，解釋了分層抽樣的科學性．
 
5.7總結回顧，提煉要點
 
課堂小結：
求解古典概型問題的一般性思路：
    （1）明確實驗的條件及要觀察的結果，用適當的符號表示實驗的可能結果；
（2）根據實際問題情景判斷樣本點的等可能性；
（3）計算樣本點個數及事件A包含的樣本點個數，求出事件A的概率．
【設計意圖】學生總結反思，進一步強調本節課內容的重點和難點和方法，培養學生提煉、總結、概括的能力．
 
5.8課后拓展，自主探究
 
課后調查：買彩票結果無非中與不中，那中獎的概率是不是？怎樣選擇樣本點才是等可能的？學校后門有個賣彩票的小店，請調查常見彩票的中獎規則，并嘗試算一算中獎率是多少？
【設計意圖】有意識地將數學與生活結合，借助常見的彩票中獎率的問題，激發學生探究的熱情，做到學以致用，鞏固基本知識的同時又提升了學生分析問題和解決問題的能力．
 
5.9課后練習
 
1、課后練習
教科書238-239頁，第1題、第2題、第 3題．
2、思考提升
下面有三個游戲規則，袋子中分別裝有球，從袋中無放回的取球，分別計算甲獲勝的概率，則游
戲是公平的是（     ）

游戲1	游戲2	游戲3
1個紅球和1個白球	2個紅球和2個白球	3個紅球和1個白球
取1個球	取1個球，再取1個球	取1個球，再取1個球
取出的球是紅球，則甲勝	取出的兩個球同色，則甲勝	取出的兩個球同色，則甲勝
取出的球是白球，則乙勝	取出的兩個球不同色，則乙勝	取出的兩個球不同色，則乙勝

A．游戲1             B．游戲1和3           C．游戲2           D．游戲2和3
   3、實踐應用
課后調查：請調查常見彩票的中獎規則，并嘗試算一算中獎率是多少？
【設計意圖】在作業的布置中，注意將雙基訓練與能力發展相結合．創新性地設計探究問題，有意識地將數學與生活結合，使學生能夠學以致用，既鞏固了基本知識，同時又提升了學生運用知識分析問題和解決問題的能力．

視頻來源：優質課網 www.www.fsyixinda.com -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“第十一屆全國高中”其中的單個詞或詞組，搜索以字數為3-6之間的關鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《古典概型》重慶—稅”，所屬分類為“高中數學優質課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《古典概型》重慶—稅”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優質課網 的成長和發展，離不開您的支持，感謝您的關注和支持！有問題請【點此聯系客服QQ：9899267】 -----