視頻標(biāo)簽：二次函數(shù)的圖像,拋物線

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視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-1第二章《為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線》寧夏 - 銀川

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《為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線》教學(xué)設(shè)計(jì) 
教材：人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（A版）》選修2-1 課題：2.4探究與發(fā)現(xiàn)  為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線 課時(shí)：1課時(shí) 一.教學(xué)內(nèi)容分析 
二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像及其性質(zhì)的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占有重要地位，而拋物線及其幾何性質(zhì)是圓錐曲線一章中繼橢圓，雙曲線后的第三節(jié)內(nèi)容。本節(jié)課是拋物線及其幾何性質(zhì)后的“課后探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容，學(xué)生在充分學(xué)習(xí)拋物線的概念、幾何性質(zhì)之后，從曲線與方程的角度探究“為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”，它能夠讓學(xué)生進(jìn)一步了解拋物線的幾何特性，同時(shí)豐富學(xué)生的知識(shí)閱歷。 
因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：為什么二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的發(fā)現(xiàn)、探究及證明。 
二．教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 
1.回顧初中數(shù)學(xué)教材對(duì)拋物線的定義，引發(fā)學(xué)生思考“為什么二次函數(shù)
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線”，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)。 
2.引導(dǎo)學(xué)生探究“為什么二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線”，讓學(xué)生在經(jīng)歷經(jīng)歷觀察、分析、操作、論證、歸納的認(rèn)知過(guò)程，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解知識(shí)的本質(zhì)；體會(huì)運(yùn)用化抽象為具體、由特殊到一般等數(shù)學(xué)的思維來(lái)解決問(wèn)題的方式；體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想方法。 
三．學(xué)生學(xué)情分析 
本節(jié)課的授課年級(jí)是高二理科學(xué)生。從知識(shí)方面來(lái)說(shuō)。在高一年級(jí)已接觸了解析幾何初步，學(xué)習(xí)了直線與圓，高二又學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線與拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，對(duì)解析幾何的基本思想方法有了一定的認(rèn)識(shí)。基本掌握了求曲線方程的一般方法，對(duì)圖像的平移變換規(guī)律也有一定的了解和應(yīng)用；從能力方面來(lái)說(shuō)，具備了一定的知識(shí)遷移、歸納概括和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
 
2 
并對(duì)數(shù)形結(jié)合、化歸、綜合法及分析法等數(shù)學(xué)思想方法有一定的感悟。 
因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：探究二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的方法，及其推演過(guò)程。 
四．教學(xué)策略分析 
根據(jù)已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，本節(jié)課的教學(xué)采用合作學(xué)習(xí)、自主探究的方式。 
（1）完成學(xué)案中的課前預(yù)習(xí)部分，解決兩個(gè)問(wèn)題。一是函數(shù)圖像變換的方法：坐標(biāo)平移或向量平移；二是解決求證某個(gè)二次函數(shù)圖像是拋物線的問(wèn)題，為后續(xù)探究二次函數(shù)圖像是拋物線做鋪墊。 
（2）提出課題后，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明判斷二次函數(shù)2+bx+c0yaxa圖像是拋物線的方法，確定本節(jié)課的研究方案； 
（3）運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，從特殊到一般層層剖析為什么二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。 
同時(shí)，本節(jié)課充分運(yùn)用了多媒體信息技術(shù)，通過(guò)圖形的變換輔助學(xué)生理解圖像的變換，提升數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力。 
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.提出問(wèn)題 
【引課】前面我們類(lèi)比橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)過(guò)程，研究了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。然而，在初中階段我們就已經(jīng)接觸拋物線了。 
【展示】初中數(shù)學(xué)教材對(duì)拋物線的說(shuō)明。 
（教師：初中教材指出二次函數(shù)的圖像是拋物線，但并沒(méi)有說(shuō)明原因） 【問(wèn)題1】你認(rèn)為二次函數(shù)的圖像拋物線和我們學(xué)習(xí)的拋物線是一致的嗎？ （請(qǐng)學(xué)生相互談?wù)摚�說(shuō)明自己的看法。 
生一：一致的。二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線是開(kāi)口向上或向下的拋物線； 生二：一致的。不知道原因。） 
【過(guò)渡】同學(xué)們主觀上認(rèn)為二次函數(shù)的圖像就是我們學(xué)習(xí)的拋物線，那么原因是什么呢？本節(jié)課我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題——為什么二次函數(shù)
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線？（引入課題） 
 
                    
             
                    
                             
3 
2.新知探究 
【問(wèn)題2】你認(rèn)為判斷二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的方法是什么？ 
（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明： 
方法一：（定義法）二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿(mǎn)足拋物線的定義； 
方法二：（解析式法）二次函數(shù)的解析式可以寫(xiě)成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。） 【過(guò)渡】我們不妨從一個(gè)具體的二次函數(shù)入手來(lái)研究。 
【問(wèn)題3】你能將二次函數(shù)2
-2yxx+2寫(xiě)成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式嗎？ 
（學(xué)生嘗試：2
2
-2+2=11yxxx，不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。） 
【問(wèn)題4】那么如何說(shuō)明它的圖像是拋物線呢？ 
  
（請(qǐng)學(xué)生合作討論，并提出解決方法。 
生：圖像平移變換2
122
-2+2=1+1yxxxyx向右平移個(gè)單位向下平移1個(gè)單位
； 教師可引導(dǎo)學(xué)生用向量平移表示圖像的平移變換： 
 2
22
-2=11MOyxxxyx,-1,1MO。 
因?yàn)楹瘮?shù)2yx的圖像是拋物線，所以函數(shù)2
-2+2yxx的圖像也是拋物線。） 
【過(guò)渡】我們能否將上述過(guò)程一般化，從已知的二次函數(shù)2
yax0a是
拋物線這一結(jié)論出發(fā)進(jìn)行探究呢？ 
【探究1】函數(shù)2
yax
0a與函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像間有何關(guān)
x
y
y = x2  2∙x + 2
1
2345–1
–2–3
12345
–1
–2
–3
–4
O
A
                    
             
                    
                             
4 
系？由此，你可以得到怎樣的結(jié)論？ 
 
（請(qǐng)學(xué)生自主探究，并相互交流探究過(guò)程，并請(qǐng)某生展示推導(dǎo)過(guò)程。 
生：二次函數(shù)2
22
24=24MObacbyaxbxcaxyaxaa
，其中24,24bacbMOa
a。因?yàn)槎�次函�?shù)2
0yaxa的圖像是拋物線，
所以二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像也是拋物線。） 
【問(wèn)題5】在上述探究過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)00bc或時(shí)，二次函數(shù)
2+bx+c0yaxa不能寫(xiě)成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是
什么呢？ 
（學(xué)生說(shuō)明：當(dāng)b或c不等于0時(shí)，二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像的頂點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，所有解析式不能寫(xiě)成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。） 
【探究2】能否由此現(xiàn)象出發(fā)，另辟蹊徑，說(shuō)明為什么二次函數(shù)
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線？ 
（請(qǐng)學(xué)生合作探究完成。 
生：以二次函數(shù)2+bx+c0yaxa圖像的定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在此坐標(biāo)系下，二次函數(shù)的解析式可寫(xiě)成
20yaxa，其為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，所以二次函數(shù)
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。） 
x
y
y = a∙x2
y = a∙x2 + b∙x + c
1
2
3
4
5
–1
1
2345
–1
–2–3O拖動(dòng)
                    
             
                    
                             5 
【拓展】嘗試確定二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像上的定點(diǎn)和定直線，利用定義說(shuō)明二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。 
（請(qǐng)學(xué)生自主探究，學(xué)生提出方案：利用拋物線定義，找出定點(diǎn)F和定直線l,使得二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿(mǎn)足拋物線的定義。請(qǐng)學(xué)生展示做法：  
生：從坐標(biāo)平移的角度，由20yaxa的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，寫(xiě)出二
次函數(shù)2
+bx+c0yaxa圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)241,24bacbFaa

，及直線l
241
:4acblya，在二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像上任取一點(diǎn),Mxy，
檢驗(yàn)MlMFd。） 3.課堂小結(jié) 
【思考】在本節(jié)課的探究過(guò)程中，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？ 
（請(qǐng)學(xué)生發(fā)言，并相互補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)即可.教師可適當(dāng)總結(jié)本節(jié)課所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想與方法.） 
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容有一個(gè)更全面的認(rèn)識(shí). 4.課后作業(yè)： 
【思考】還有其他方法說(shuō)明二次函數(shù)2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線嗎？ 
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固知識(shí)，升華方法，讓學(xué)生帶著問(wèn)題回去，有利于學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展。

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