視頻標(biāo)簽：拋物線,及其標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-1第二章拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-北京市優(yōu)課

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教學(xué)基本信息 
課題 
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 
是否屬于 
地方課程或校本課程 否 
學(xué)科 數(shù)學(xué) 
學(xué)段： 選修2-1 
年級(jí) 
高二 
相關(guān) 領(lǐng)域 解析幾何 
教材 書名：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修2-1 出版社：人民教育出版社  出版日期：2007年2 月 
 
指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 
普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出：數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)的結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升數(shù)學(xué)的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)；將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。 
在提倡自主探索與合作學(xué)習(xí)的新課程理念下，數(shù)學(xué)不再是單純的知識(shí)接受，而是以學(xué)生為主體的教學(xué)活動(dòng)。本節(jié)課學(xué)生通過(guò)收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的資料，體會(huì)解析幾何的基本思想和研究方法，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想以及理性精神和人文精神。 
此外，本節(jié)課借助TI圖形計(jì)算器，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供一個(gè)實(shí)踐操作的重要載體，通過(guò)自主探究教學(xué)，使學(xué)生自由地暢游于數(shù)學(xué)知識(shí)的海洋中，使學(xué)生充分體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力所在，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和實(shí)用性。 
 
教學(xué)背景分析 
 
                                      
 2 
 
教學(xué)內(nèi)容： 
本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（人教A版選修2-1）第二章第四節(jié)的內(nèi)容�！稈佄锞�及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是圓錐曲線的第三部分，拋物線是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)上研究的又一種圓錐曲線。本節(jié)課的講解是在學(xué)生已經(jīng)對(duì)橢圓及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解比較熟練，并且掌握了求曲線方程的一般方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。此外，初中已經(jīng)在二次函數(shù)部分作了簡(jiǎn)單說(shuō)明，但初中所介紹拋物線更關(guān)注作為函數(shù)意義上研究數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用。本節(jié)課的研究是對(duì)初中內(nèi)容深層次的理解，從解析幾何觀點(diǎn)利用拋物線的定義推出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，為用解析法研究拋物線的幾何性質(zhì)起到鋪墊作用。學(xué)生經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線的定義及方程求解過(guò)程，經(jīng)過(guò)分析、探究、鞏固，使學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。  
學(xué)生情況： 
高二年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具有一定的幾何直觀想象能力、抽象概括能力和推理運(yùn)算的技能，有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法。在本節(jié)課之前，學(xué)生知道斜拋物體的軌跡是拋物線，對(duì)拋物線的幾何圖形己經(jīng)有了直觀的認(rèn)識(shí)；學(xué)生在必修1研究了二次函數(shù)及其圖像拋物線，在本章學(xué)習(xí)了曲線與方程、橢圓和雙曲線，對(duì)圓錐曲線的研究過(guò)程和研究方法有了一定的了解和認(rèn)識(shí)，這對(duì)于拋物線的學(xué)習(xí)有借鑒、遷移的作用。 
此前，學(xué)生已經(jīng)能夠借助TI圖形計(jì)算器作圖并研究相關(guān)函數(shù)性質(zhì)。利用TI手持計(jì)算器，能使學(xué)生親歷各種數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，觀察、思考和研究問(wèn)題，并且教師能夠通過(guò)網(wǎng)絡(luò)及時(shí)了解學(xué)生的反饋，學(xué)生從原來(lái)的被動(dòng)知識(shí)接受者轉(zhuǎn)化為主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)者，學(xué)習(xí)興趣明顯增強(qiáng)。 
 
教學(xué)方式和教學(xué)手段： 
采用自主互助教學(xué)模式，借助TI圖形計(jì)算器進(jìn)行探究，運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)。   
技術(shù)準(zhǔn)備：TI圖形計(jì)算器軟件，電子白板。    
 教學(xué)目標(biāo)(內(nèi)容框架) 
（一）教學(xué)目標(biāo) 
1.能從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出拋物線模型，并借助圖形計(jì)算器研究圖形的形成，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。 
2.利用圓錐曲線的研究方法，經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線方程進(jìn)行自助探究，通過(guò)數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。 
3.通過(guò)了解數(shù)學(xué)文化，深入體會(huì)解析幾何的內(nèi)涵及研究方法，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提升人文素養(yǎng)。 （二）重難點(diǎn)  
重點(diǎn)：拋物線定義的形成及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。 難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程中的運(yùn)算化簡(jiǎn)。   
教學(xué)流程示意(可選項(xiàng)) 
 
                    
             
                    
                                      
 
3 
         
教學(xué)過(guò)程(表格描述) 
教學(xué)階段 教師活動(dòng) 學(xué)生 活動(dòng) 
設(shè)置意圖 
技術(shù)應(yīng)用 時(shí)
間安
排 創(chuàng)設(shè)情境 
引入課題 
 
1. 請(qǐng)同學(xué)介紹解析幾何發(fā)展的過(guò)程            
 
   
借助笛卡爾解析幾何基本思想帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)求曲線方程的步驟        
2.請(qǐng)同學(xué)展示生活中拋物線的例子 
 學(xué)生展示  
讓學(xué)生了解解析幾何
產(chǎn)生背景，感悟其中蘊(yùn)含的解析幾何的基本思想及人文精神，              
梳理方法，為接下來(lái)學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程做鋪墊。      
展示生活中拋物線的例子，感受拋物線在實(shí)
 PPT 
 8 
 
                    
             
                    
                                      
 
4 
   
際生活中的廣泛應(yīng)用，提升文化素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。 
研究圖形 形成概念 
一、活動(dòng)探究 
問(wèn)題1：已知平面內(nèi)一定直線 和直線外一定點(diǎn) ，你能否在平面內(nèi)找到點(diǎn) ，滿足它到定點(diǎn) 和定直線 的距離相等？ 活動(dòng)1：請(qǐng)同學(xué)們借助TI圖形計(jì)算器嘗試找到滿足上述條件的點(diǎn)的軌跡，完成學(xué)案上的問(wèn)題。 
巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生問(wèn)題及閃光點(diǎn) 教師技術(shù)準(zhǔn)備： 
 
 
 
問(wèn)題2：滿足上述條件的點(diǎn)的軌跡
是          ；軌跡上所有點(diǎn)滿足的幾何條件是                 .  
二、歸納抽象 
1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和
          
小組合作 探究完成 得出結(jié)論                        
嘗試歸納定義    
完成學(xué)案 
 
引入一個(gè)開放性問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。       
學(xué)生通過(guò)合作探究，借助現(xiàn)有工具和已有知識(shí)畫出拋物線的軌跡                       
找到拋物線應(yīng)該滿足的幾何條件，為下面順利的抽象出拋物線定義做鋪墊。  
給出概念，讓學(xué)生正確的認(rèn)識(shí)拋物線及它的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線. 
 TI圖形計(jì)算器    
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 5 
一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線， 
點(diǎn) 叫做拋物線的焦點(diǎn)， 直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線。 
2.焦準(zhǔn)距： 
設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離|  |為 ，
       
 
數(shù)形轉(zhuǎn)化 推導(dǎo)方程 
三、推導(dǎo)方程 
活動(dòng)2：嘗試建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 
指導(dǎo)學(xué)生合作完成標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo). 
巡視、發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生的問(wèn)題 
 
預(yù)設(shè)：三種建系方式 
  
將學(xué)生不同建系方式的不同結(jié)果展示、對(duì)比，糾正問(wèn)題，得標(biāo)準(zhǔn)方程. 
 
 
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 
            
強(qiáng)調(diào)：此時(shí)拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上.
開口向右 
焦點(diǎn) 坐標(biāo)：  
 
    準(zhǔn)線 方程：    
 
  
小組合作
完成方程推導(dǎo)    展示小組討論結(jié)果   
對(duì)比得出圖3建系方式所得
方程最簡(jiǎn)單.  
 
修改、得
出正確標(biāo)
準(zhǔn)方程 
 
觀察焦點(diǎn)、準(zhǔn)線
特點(diǎn)  
不限制學(xué)生的思維，由學(xué)生自己選擇建系方式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。      
沒(méi)有比較就沒(méi)有最優(yōu)方法，對(duì)比得出標(biāo)準(zhǔn)方程之后與學(xué)生分析產(chǎn)生問(wèn)題的原因。    
帶領(lǐng)學(xué)生分析觀察方程特征，總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為后面三種方程的推導(dǎo)做準(zhǔn)備 
  PPT            
  12                 3 
 
                    
             
                    
                                      
 
6 
數(shù)形結(jié)合 完善結(jié)論 
推導(dǎo)不同情況的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程  引導(dǎo)學(xué)生尋找不同類型拋物線圖形之間的關(guān)系，對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程之間的關(guān)系  
  
獨(dú)立思考  
小組討論  
完成學(xué)案        
尋找記憶
方法   
利用圖形間關(guān)系推導(dǎo)不同類型的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程          
強(qiáng)化學(xué)生記憶及理解方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線間的關(guān)系 
  PPT   6 
回顧過(guò)程 歸納要點(diǎn) 1.回顧總結(jié)解析幾何問(wèn)題的研究
方法 
2.拋物線定義 
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程  回憶 體會(huì) 
引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程，概括出研究解析幾何問(wèn)題的思想方法. 
PPT 2 
課后作業(yè) 鞏固成果 
1.畫出四種拋物線的圖象，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)并記憶. 2. 紙質(zhì)作業(yè) 
記錄 
鞏固所學(xué)知識(shí) 
 
1 
學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 
評(píng)價(jià)方式 
1. 分析不同圖形對(duì)應(yīng)方程特征并記憶，能夠畫出四種拋物線的圖象，并寫出標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程
及焦點(diǎn)坐標(biāo).  
2. 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是     ，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.  
3. 已知拋物線焦點(diǎn)在x軸上，并且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6，請(qǐng)寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.  
評(píng)價(jià)量規(guī) 
1.結(jié)果性評(píng)價(jià)：通過(guò)課堂練習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行測(cè)評(píng).本節(jié)課學(xué)生能夠較為順利地達(dá)到教學(xué)目標(biāo)中知識(shí)目標(biāo)的要求，通過(guò)率86.1％，個(gè)別學(xué)生對(duì)四種不同類型的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程混淆。 
2.過(guò)程性評(píng)價(jià)： 
（1）積極發(fā)表個(gè)人觀點(diǎn)和意見(jiàn)的表現(xiàn)程度。 （2）課前準(zhǔn)備階段任務(wù)的完成情況。 
（3）活動(dòng)實(shí)施過(guò)程中的參與程度及研究結(jié)果。 （4）展示交流階段專注程度以及理解程度。 （5）學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)體會(huì)。 
 
                    
             
                    
                                      
 7 
 
本教學(xué)設(shè)計(jì)與以往或其他教學(xué)設(shè)計(jì)相比的特點(diǎn)(300-500字?jǐn)?shù)) 
1.教學(xué)設(shè)計(jì)的立意。本節(jié)課學(xué)生通過(guò)收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的資料，了解解析幾何產(chǎn)生背景，體會(huì)解析幾何的基本思想和研究方法，將方法梳理，利用到方程推導(dǎo)過(guò)程中去，發(fā)掘數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)家的優(yōu)良品質(zhì)及重要的數(shù)學(xué)思想，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。 
2.設(shè)置問(wèn)題開放，給思維以空間，給思考以時(shí)間。數(shù)學(xué)是一個(gè)承擔(dān)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的科目，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，更多的要關(guān)注學(xué)生如何學(xué)。在本節(jié)課的問(wèn)題設(shè)置中，將問(wèn)題開放，預(yù)設(shè)學(xué)生可能產(chǎn)生的結(jié)果并帶領(lǐng)學(xué)生加以分析，不僅提升了學(xué)生數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)，還培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性。  
3.將信息技術(shù)融入課堂。教學(xué)中使用圖形計(jì)算器最大的優(yōu)勢(shì)，是對(duì)于一些復(fù)雜的作圖和動(dòng)態(tài)的變化，使用圖形計(jì)算器不僅作圖更準(zhǔn)確，而且更直觀的展示了變化的過(guò)程，更有操作性，加深了學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解。除此之外，它能使學(xué)生真正動(dòng)起來(lái)參與到課堂中，雖然有時(shí)學(xué)生的結(jié)論不夠準(zhǔn)確，但在思考后此類問(wèn)題留下的印象會(huì)很深刻。

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