視頻標簽：指數(shù)函數(shù)的概念

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版高一數(shù)學必修一第三章4.2.1《指數(shù)函數(shù)的概念》浙江省-杭州

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北師大版高一數(shù)學必修一第三章4.2.1《指數(shù)函數(shù)的概念》浙江省-杭州

指數(shù)函數(shù)的概念 
 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 
內(nèi)容的本質(zhì)：指數(shù)函數(shù)刻畫了現(xiàn)實事物中增長率或衰減率為常數(shù)的變化規(guī)律，它的一般形式是xya，其中x是自變量，定義域為R. 
思想和方法：抽象是概念形成的基本方法，通過運算發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律，得到增長率或衰減率是常數(shù)，從而抽象出函數(shù)關(guān)系，歸納指數(shù)函數(shù)的概念.數(shù)形結(jié)合思想是函數(shù)研究的核心思想，借助冪函數(shù)的研究經(jīng)驗，通過觀察指數(shù)函數(shù)的圖象，從特殊到一般、具體到抽象，歸納得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 
知識上下位：函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)研究的上位.指數(shù)冪及其運算，是指數(shù)函數(shù)研究的基礎(chǔ).冪函數(shù)的研究方法，可類比遷移到指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，為指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的研究提供了活動經(jīng)驗. 
    
育人價值：通過運算發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，抽象出函數(shù)模型，在層層遞進地精確化過程中，形成數(shù)學概念，發(fā)展學生數(shù)學抽象的素養(yǎng).借助圖象和運算，研究指數(shù)函數(shù)，學會用數(shù)學的方式，研究一類變化規(guī)律，用數(shù)學的語言表達規(guī)律.在豐富的生活實例中，感受數(shù)學的文化價值、科學價值與應用價值. 
教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì). 二、目標和目標解析 1.單元目標 
（1）通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念. （2）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點. 2.目標解析 
達成上述目標的標志是： 
函數(shù) 
冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 指數(shù) 
 
                    
             
                    
                            2 
 
（1）學生經(jīng)歷對典型實例中蘊含的代數(shù)關(guān)系進行分析的過程，能通過運算，發(fā)現(xiàn)增長率或衰減率為常數(shù)這一特征，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，明確它的一般形式是xya，其中x是自變量，定義域為R，并能進行簡單的應用. 
（2）學生能畫出典型函數(shù)的圖象，觀察指數(shù)函數(shù)的圖象特征，得到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，并能初步應用． 
三、教學問題診斷分析 
1.學生在初中一次函數(shù)的學習中，已經(jīng)有用函數(shù)來刻畫事物變化規(guī)律的經(jīng)驗，但學生對“具體情境——發(fā)現(xiàn)問題——數(shù)學問題——數(shù)學表征——數(shù)學概念”這樣的抽象過程仍然有困難，對“用運算來發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律”的認識不足.學生不習慣從運算的角度去研究兩個變量之間的關(guān)系，對于層層遞進的代數(shù)化過程，有一定的困難.教學中應注重對利用運算來發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律這一研究方法的引導. 
2.學生在前一章已經(jīng)經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究，了解了研究一類函數(shù)的過程和方法.在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，只需要進行方法的類比遷移.有一些學生對于研究方法的認識不到位，在觀察指數(shù)函數(shù)的特征，歸納性質(zhì)的過程中，對于底數(shù)a的分類，性質(zhì)研究的一些角度（單調(diào)性，特殊點等），需要教師引導啟發(fā)，并且通過合作探究活動，讓學生自主. 
教學難點：指數(shù)函數(shù)的抽象過程，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解. 四、教學支持條件分析 
1.本單元涉及的函數(shù)模型源于生活實際，數(shù)據(jù)較多，不易處理，借助圖形計算器來計算，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的運算功能. 
2.從幾個特殊的指數(shù)函數(shù)圖象到一般的指數(shù)函數(shù)圖象，需要借助圖形計算器來畫圖，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的作圖功能. 
3.本單元注重研究方法的形成過程，及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結(jié)果，暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞，所以，需要借助黑板和多媒體投影及時有效地輔助教學. 
五、課時教學設(shè)計 
第一課時 
（一）課時教學內(nèi)容 指數(shù)函數(shù)的概念 
 
                    
             
                    
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（二）課時教學目標 
1.通過游客和碳14兩個實例，利用運算來刻畫增長率和衰減率為常數(shù)這一變化規(guī)律，概括出指數(shù)函數(shù)的概念，從中體驗抽象一類函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)； 
2．通過鞏固、應用，在問題解決的過程中，理解指數(shù)函數(shù)的概念，進一步深化對指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律的認識.  
（三）教學重點與難點 
重點：指數(shù)函數(shù)概念的抽象過程，指數(shù)函數(shù)對應關(guān)系特征的理解． 
難點：通過運算發(fā)現(xiàn)數(shù)的變化規(guī)律，利用增長率和衰減率抽象出指數(shù)函數(shù)的概念. 
（四）教學過程設(shè)計 
 
引言：前幾節(jié)課，我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪拓展到實數(shù)指數(shù)冪，經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究方法，認識了冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).今天，我們繼續(xù)研究一類與此相關(guān)的基本初等函數(shù). 
【設(shè)計意圖】回顧舊知，建立新舊知識的聯(lián)系. （一）創(chuàng)設(shè)情境，探究模型 問題1游客人數(shù)增長模型 
隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.表格中給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次. 
探究1：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？ 【學生回答】 隨著年份的變化，游客人數(shù)隨之增長，且B地人次比A地增長快. 【教師追問1】這是數(shù)據(jù)給我們的宏觀印象，你能用什么數(shù)學方法來描述這種變
1 •創(chuàng)設(shè)情境，探究模型 2 •抽象特征，形成概念 3 •概念應用，加深理解 4 
•課堂總結(jié)，提煉升華 5 
•目標檢測，練習鞏固 
 
                    
             
                    
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化？ 
【學生回答】畫出散點圖. 
【學生活動】學生機器作圖，分別畫出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖像，投影展示圖象. 
【教師追問2】為了便于觀察，可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點，然后用光滑的曲線將離散的點連起來.觀察圖象，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？ 
【學生回答】A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長. 
【教師追問3】你能解釋什么是線性增長嗎？ 【學生回答】圖象近似于一條直線.  
【教師追問4】以一次函數(shù)y=kx+b的形式增長，刻畫均勻增長，也就是說在相同的時間間隔，增加的量相同.那我們再回到數(shù)據(jù)去，請同學們算一算兩地人次的逐年增加量. 
【教師追問5】你從增加量上發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？ 
【學生回答】后一年與前一年人次作差.A地年增加量大致相等（約為10萬次） 【教師追問6】A地景區(qū)年增長穩(wěn)定在10萬次左右，這個10是個常量，那么，我們可以通過后一年與前一年人次的差，用逐年增加量10來刻畫他的增長規(guī)律. 你能寫出這個一次函數(shù)嗎？ 
【學生回答】設(shè)自變量為年份，游客人次為因變量，600102001yx 【教師追問7】在這里，我們更關(guān)注的是年份的增量，我們可以怎么表示？ 【學生回答】不妨設(shè)經(jīng)過的年數(shù)為x，可得60010yx. 
【教師追問8】我們可以通過作差運算，用逐年增加量來刻畫A地的增長規(guī)律.但是，我們也發(fā)現(xiàn)B地年增加量越來越大.這依然是一種定性的刻畫，能不能像A地一樣，從定量的角度來表達它的變化規(guī)律？ 【學生回答】能不能試試其他運算. 
【設(shè)計意圖】首先，學生直觀感知表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，建立初步認識.教師在學生回答的基礎(chǔ)上追問，引導學生觀察圖象，從形到數(shù)，回歸數(shù)與數(shù)之間的運算.類比年增加量，遷移運算思路，從對給出的數(shù)據(jù)的認識，抽象到對數(shù)學運算的認識. 
探究2：我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請你試一試. 
 
                    
             
                    
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【學生活動】學生機器運算，并展示運算結(jié)果.允許學生嘗試各種不同的運算，進行比較分析. 
從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次.結(jié)果表明是一個常數(shù)，我們可以將1.11-1=0.11稱之為年增長率.提出增長率的概念. 像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們成為指數(shù)增長（指數(shù)部分的變化）. 因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長. 
探究3：寫出B地景區(qū)人數(shù)變化規(guī)律的函數(shù)解析式. 
【學生活動】引導學生用增長率來描述每年的游客人次，得到游客人次的增長倍數(shù)與年數(shù)之間的關(guān)系. 
顯然，從2001年開始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為： 1年后，游客人次是2001年的11.11倍； 2年后，游客人次是2001年的21.11倍； 3年后，游客人次是2001年的31.11倍 …… 
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍 
如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么1.110,xyx，這是一個函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量. 
【設(shè)計意圖】通過問題串，啟發(fā)學生思維.引導學生經(jīng)歷從表格到圖象，再到解析式的研究過程，分析游客人次的增長倍數(shù)與年份之間的關(guān)系，體驗數(shù)學函數(shù)模型的抽象過程，體會函數(shù)模型的發(fā)生發(fā)展過程，體會學會研究問題的一類方法. 問題2碳14衰減模型 
    1936年，良渚遺址第一次被發(fā)現(xiàn).2007年，考古專家根據(jù)古城墻邊的碎陶片，作出判斷：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年，浙江省考古研究所與北京大學碳14實驗室合作，對從良渚古城發(fā)掘出的一系列樣本進行碳14測年.十幾組數(shù)據(jù)顯示，良渚古城城墻的年代大致在距今4300年至4500年之間. 思考1：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），若年衰減率為p，你能刻畫死亡生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間
 
                    
             
                    
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的關(guān)系嗎？ 
【學生活動】自主嘗試建立模型. 
如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，設(shè)生物死亡年數(shù)為x，生物體內(nèi)碳14含量為y， 
死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為1
1p； 死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為21p； 死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為31p； …… 
死亡x年后，生物體內(nèi)碳14含量為1xp. 
1x
yp 
思考2：科學家發(fā)現(xiàn)，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這是時間稱為“半衰期”.你能求出p嗎？ 

5730
112p
，從而1
5730
112p

，所以15730
112p


， 
可得1
573010,2x
yx

. 
這也是一個函數(shù)，指數(shù)x是自變量.死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以
15730
112

的衰減率衰減.像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.
因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減. 
【設(shè)計意圖】從已有的科學結(jié)果出發(fā)，引導學生進行數(shù)學表達，在數(shù)學化的過程中，歸納推理出指數(shù)函數(shù)模型.兩個實例側(cè)重點不同，實例1重在體驗函數(shù)模型的形成發(fā)生過程，實例2重在數(shù)學化過程，所以教師在處理方法上也應有所區(qū)別，體現(xiàn)層次性. 
（二）抽象特征，形成概念 
思考1：你還能舉出其他類似的函數(shù)模型嗎？ 
 
                    
             
                    
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思考2：這些函數(shù)有什么共同特征？ 
思考3：推廣到一般,xyaxR，，底數(shù)a有什么要求？ 
【設(shè)計意圖】通過幾個不同的函數(shù)模型，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷從特殊到一般，具體到抽象的過程，從中體驗抽象一類函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).教師引導分析結(jié)構(gòu)特征，理解概念，并通過追問，引發(fā)學生思考，完善底數(shù)的取值范圍.抓住自變量在指數(shù)位置這一基本特征，理解底數(shù)取值的合理性． （三）概念應用，加深理解 
例1 已知指數(shù)函數(shù)0,1xfxaaa且，且3fe，求0,1,3fff的值. 
【設(shè)計意圖】對函數(shù)概念的理解和應用 
例2 （1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛��?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況. 
【學生活動】同桌合作完成，借助機器計算作圖，分享交流. 
（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？ 
思考：連續(xù)兩個半衰期是否就是一個“全衰期”？（閱讀材料） 
從特殊到一般，得到一般地指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N，每次的增長率為
p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則
1x
yNpxN. 
形如,00,1xykakRkaa且；且的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型. 
【設(shè)計意圖】進一步加深理解，例1是數(shù)學內(nèi)部的指數(shù)函數(shù)概念應用，例2是實例中的指數(shù)函數(shù)概念應用，解答中要使用大量的符號語言，文字語言，引導學生恰當?shù)妹枋鼋Y(jié)果.（1）中引導學生體會增長模型的增長速度.（2）中引導學生體會衰減模型的衰減速度，從而對指數(shù)函數(shù)的圖象形成初步的認識，為下一課作鋪墊. 
（四）課堂總結(jié)，提煉升華 
從實際問題到數(shù)學問題，經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，認識、表達、理解指數(shù)函數(shù)
 
                    
             
                    
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的概念，體會通過運算來發(fā)現(xiàn)不變關(guān)系，用函數(shù)來刻畫規(guī)律的基本方法. 【設(shè)計意圖】總結(jié)提煉，內(nèi)化概念，明晰研究方法. （五）目標檢測，練習鞏固 
1.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（   ） 
 
A.            B.              C.              D. 
2.已知函數(shù),yfxxR，且 




0.510.503,
2,2,,
2,*00.50.51fffnfnNfffn，求函數(shù)
yfx
的一個解析式
. 3.在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，那么經(jīng)
過30天，該湖泊的藍藻會變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?nbsp;
【設(shè)計意圖】3個目標檢測練習，鞏固提升，3個問題的檢測目標不同，第1題，在于對指數(shù)函數(shù)圖象的認識.第2題，是對指數(shù)函數(shù)概念的理解.第3題，指數(shù)函數(shù)概念在簡單情境中的運用，是聯(lián)系實際的應用. 研究性問題： 
類比研究冪函數(shù)性質(zhì)的過程和方法，進一步研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì). 【設(shè)計意圖】承上啟下，為下一課作鋪墊. 

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